【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第37讲合情推理与演绎推理学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第37讲合情推理与演绎推理学案

第37讲　合情推理与演绎推理 考试说明 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,体会并认识合情推理在数 发现中的作用.‎ ‎2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 类比推理 平面几何类比空间几何,实数类比复数,等差数列与等比数列的类比等 ‎★☆☆‎ 归纳推理 式的归纳、图形的归纳 ‎★☆☆‎ 演绎推理 三段论 ‎2017全国卷Ⅱ7,2016全国卷Ⅱ15‎ ‎★☆☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2017·全国卷Ⅱ 甲、乙、丙、丁四位同 一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 (　　)‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎[解析 D　由于甲不知道自己的成绩,故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好,所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩,乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩.故选D.‎ ‎2.[2016·全国卷Ⅱ 有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎,丙说:“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎,则甲的卡片上的数字是　　　　. ‎ ‎[答案 1和3‎ ‎[解析 由题意得,丙不拿2和3.‎ 若丙拿1和2,则乙拿2和3,甲拿1和3,满足题意;‎ 若丙拿1和3,则乙拿2和3,甲拿1和2,不满足题意.‎ 故甲卡片上的数字是1和3.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎1.[2016·北京卷 袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 (　　)‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎[解析 B　取两个球放入盒子有4种情况:①红+红,则乙盒中红球个数加1;②黑+黑,则丙盒中黑球个数加1;③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球个数加1;④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球个数加1.因为红球和黑球个数一样,所以①和②的情况一样多,③和④的情况完全随机,所以A,C,D错误.③和④对乙盒中的红球与丙盒中的黑球个数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的,所以乙盒中的红球与丙盒中的黑球个数一样,故选B.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.(1)归纳、类比　猜想　(2)归纳推理　类比推理　(3)部分对象　全部对象　某些类似　部分　整体　个别　一般　特殊　特殊　部分对象　某些相同性质　相同性质　一个明确表述的一般性命题(猜想)　相似性或一致性　性质　另一类事物的性质 ‎2.(2)一般　特殊 对点演练 ‎1.91　[解析 观察正方体的个数依次为1,1+5,1+5+9,…,归纳可知,第n个叠放图形中共有n层,构成了以1为首项,以4为公差的等差数列,所以Sn=n+=2n2-n,所以S7=2×72-7=91.‎ ‎2.　[解析 在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等.‎ 故由数列是等差数列,且bn=,则数列也是等差数列.类比推理:若数列是各项均为正数的等比数列,则当dn=时,数列也是等比数列.‎ ‎3.大前提错误　[解析 对数函数不一定是增函数,故大前提错误.‎ ‎4.小前提错误　[解析 由三角函数的定义可知f(x)=sin(x+1)不是正弦函数,即小前提错误.‎ ‎5.　[解析 从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,可得如下结论:正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1,故=.‎ ‎6.　[解析 通过观察所给的三个不等式,由归纳推理可得,当n∈N 时,1+++…+<.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)按照等差数列与等比数列的运算规律进行类比;(2)按条件中提供的方法,令=x(x≥0)即可求得结果. ‎ ‎(1)　(2)A　[解析 (1)由等差数列的特征和等比数列的特征,运用类比推理的思维方法可得T4,,成等比数列,应填答案.‎ ‎(2)由题意结合所给的例子类比推理可得=x(x≥0),整理得(x+1)(x-3)=0,则x=3,即=3,故选A.‎ 变式题　(1)=　(2)b1b2…bn=b1b2…b2019-n(n<2019)　[解析 (1)在平面几何中类比几何性质时,一般为:由平面几何点的性质,类比推理线的性质;‎ 由平面几何中线段的性质,类比推理平面几何中面的性质.故由EF=,类比到关于△OEF的面积S0与S1,S2的结论是=.‎ ‎(2)在等差数列中,a1009=0,则a1+a2+…+am= a1+a2+…+a2017-m(m<2017)成立,所以在等比数列中,b1010=1,则有等式b1b2…bn=b1b2…b2019-n(n<2019)成立.‎ 例2　[思路点拨 (1)观察三个等式左边各项特征,然后再观察等式右边分数的构成规律从而解出n;(2)首先根据条件考虑凸四边形与凸五边形的对角线条数与边数n之间的关系,然后可猜想归纳出一般情况,再计算凸十三边形的对角线条数.‎ ‎(1)C　(2)B　[解析 (1)观察所提供的式子可知,等号左边最后一个数是n3时,等号右边的数为,因此,令=3025,则=55,∴n=10,故选C.‎ ‎(2)由题设可知当n=4时,对角线的条数f(4)=2=3-1=-1;当n=5时,对角线的条数f(5)=5=6-1=-1.由此可以归纳:对角线的条数f(n)与边数n的函数关系为f(n)=-1,则当n=13时,对角线的条数f(13)=-1=65,故选B.‎ 变式题　(1)B　(2)B　[解析 (1)(1,1),两数的和为2,共1个;(1,2),(2,1),两数的和为3,共2个;(1,3),(2,2),(3,1),两数的和为4,共3个;(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),两数的和为5,共4个;……;(1,n),(2,n-1),(3,n-2),…,(n,1),两数的和为n+1,共n个.∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66,∴第70对数是两个数的和为13的数对.又两个数的和为13的数对为(1,12),(2,11),(3,10),(4,9),…,(12,1),∴第70对数为(4,9),故选B.‎ ‎(2)由题意可得f2(x)=f1[f1(x) =f1==,同理可得: f3=,f4=,f3=,…,fn=.由fm=(m∈N ),可得 = 256 = 28,即有m-2=8,即m=10,故选B.‎ 例3　[思路点拨 (1)转化为证明AC⊥平面BCC1B1,再转化为AC⊥BC,与AC⊥C‎1C即可;(2)设BC1与B‎1C交点为O,然后转化为证明AC1∥OD,此由三角形的中位线性质可证.‎ 证明:(1)在直三棱柱ABC - A1B‎1C1中,C‎1C⊥AC(结论).‎ ‎∵AC⊥BC,C‎1C∩BC=C(小前提),∴AC⊥平面BCC1B1(结论).‎ 又∵BC⊂平面BCC1B1(小前提),∴AC⊥BC1(结论).‎ ‎(2)设BC1与B‎1C的交点为O,连接OD.‎ ‎∵点O,D分别为线段C1B,AB的中点(小前提),∴OD∥AC1(结论).‎ 又∵AC1⊄平面B1CD,OD⊂平面B1CD(小前提),∴AC1∥平面B1CD(结论).‎ 变式题　B　[解析 根据题意,对A,B,C,D四位运动员进行选拔,只选一人参加比赛.假设参赛的运动员为A,则甲、乙、丙、丁的说法都错误,不符合题意;假设参赛的运动员为B,则甲、丁的说法错误,乙、丙的说法正确,符合题意;假设参赛的运动员为C,则乙的说法错误,甲、丙、丁的说法正确,不符合题意;假设参赛的运动员为D,则乙、丙、丁的说法错误,甲的说法正确,不符合题意.故参赛的运动员是B.‎ ‎【备选理由】例1为与几何相关的问题,通过类比开阔 生的视野,增强 生的理解能力;例2是创新试题中的归纳推理问题;例3是一道演绎推理试题,难度相对大一点.‎ ‎1　[配合例1使用 如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为ai(i=1,2,3,4),此四边形内一点P到第i条边的距离记为hi(i=1,2,3,4),若==== ,则h1+3h2+5h3+7h4=.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4),若==== ,则H1+3H2+5H3+7H4= (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎[解析 C　连接Q与三棱锥的四个顶点,则将原三棱锥分成了四个小三棱锥,其体积和为V,即 (S1H1+S2H2+S3H3+S4H4)=V.又由==== ,得S1= ,S2=3 ,S3=5 ,S4=7 ,则(H1+3H2+5H3+7H4)=V,即H1+3H2+5H3+7H4=,故选C. ‎ ‎2　[配合例2使用 [2017·南阳六校联考 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a‎0a1a2,其中ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h‎0a0a1a2h1,h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为: 0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列信息一定有误的是 (　　)‎ A.11010 B.01100‎ C.00011 D.10111‎ ‎[解析 D　A选项原信息为101,则h0=a0⊕a1=1⊕0=1,h1=h0⊕a2=1⊕1=0,所以传输信息为11010,A选项正确;B选项原信息为110,则h0=a0⊕a1=1⊕1=0,h1=h0⊕a2=0⊕0=0,所以传输信息为01100,B选项 正确;C选项原信息为001,则h0=a0⊕a1=0⊕0=0,h1=h0⊕a2=0⊕1=1,所以传输信息为00011,C选项正确;D选项原信息为011,则h0=a0⊕a1=0⊕1=1,h1=h0⊕a2=1⊕1=0,所以传输信息为10110,D选项错误.故选D.‎ ‎3　[配合例3使用 已知数列满足a1=,an+1=an-,数列的前n项和为Sn.证明:‎ ‎(1)0n-.‎ 证明:(1)由于an+1-an=-≤0,则an+1≤an.‎ 若an+1=an,则an=0,与a1=矛盾,从而an+1a2>a3>…>an.‎ 又=1-≥1->0,则an+1与an同号.‎ 又a1=>0,则an+1>0,即0-.‎ 当n≥2时,=-+-+…+-+>-+-+…+1-+=3-=>0,‎ 从而an<.‎ 当n=1时,a1=,从而an≤.‎ ‎(3)=1-≥1-=1--,‎ 则Sn=++…+≥n-1- >n-. ‎