【数学】江西省赣州市崇义县崇义中学2019-2020学年高一上学期开学考试数学试卷(理)

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【数学】江西省赣州市崇义县崇义中学2019-2020学年高一上学期开学考试数学试卷(理)

江西省赣州市崇义县崇义中学2019-2020学年高一上学期 开学考试数学(理)‎ 一、单选题(每题5分,共60分)‎ ‎1.已知向量,且,则m=( )‎ A.−8 B.−6 C.6 D.8‎ ‎2.如图,已知,,,则( ) A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3.不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知,,并且,,成等差数列,则的最小值为  ‎ A.16 B.9 C.5 D.4‎ ‎5.已知向量,点,,则向量在方向上的投影为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步并不难,次日脚痛减一半,六朝才得至其关,欲问每朝行里数,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第1天健步行走,从第2天起,因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为( )‎ A.48里 B.24里 C.12里 D.6里 ‎7.已知为等比数列,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知等差数列、,其前项和分别为、,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且若 ‎,则的形状是()‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ‎10.正数满足,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知正数数列是公比不等于1的等比数列,且,若,则( )‎ A.2018 B.4036 C.2019 D.4038‎ ‎12.在中,角所对的边分别为,若,,则周长的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.设等比数列的前n项和为,若,则为________.‎ ‎14.不等式的解集是__________.‎ ‎15.不等式的解集为,则实数的取值范围为________.‎ ‎16.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度 ________ m. ‎ 三、解答题(17题10分,其他12分,共70分)‎ ‎17.设向量满足,且.‎ ‎(1)求与的夹角;‎ ‎(2)求的大小.‎ ‎18.已知等差数列满足,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设是等比数列的前项和,若,,求.‎ ‎19.在中,角,,的对边分别是,,,若,,成等差数列.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,,求的面积.‎ ‎20.已知数列满足.‎ ‎(1)证明数列为等差数列;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎21.为改善居民的生活环境,政府拟将一公园进行改造扩建,已知原公园是直径为200米的半圆形,出入口在圆心处,为居民小区,的距离为200米,按照设计要求,以居民小区和圆弧上点为线段向半圆外作等腰直角三角形(为直角顶点),使改造后的公园成四边形,如图所示.‎ ‎(1)若时,与出入口的距离为多少米?‎ ‎(2)设计在什么位置时,公园的面积最大?‎ ‎22.如图所示,将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛,要求点在上,点在上,且对角线过点.已知AB=3米,AD=2米.‎ ‎ (1)要使矩形的面积大于32平方米,请问的长应在什么范围;‎ ‎(2)当的长度是多少时,矩形的面积最小,并求出最小面积.‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题 ‎1.D2.D3.D4.A5.C6.C7.D8.A9..C10.D11.C12.A ‎11、∵正数数列是公比不等于1的等比数列,且 ‎∴,即.∵函数 ‎∴‎ 令,则 ‎∴‎ ‎∴故选C.‎ ‎12∵,,‎ 可得:, ,解得, ∵, ∴由余弦定理可得 ∵由, ,得, ∴,即. ∴周长 .故选A.‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎16、试题分析:由题设可知在中,,由此可得 ‎,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)设与的夹角为θ.由已知得,即,‎ 因此,于是,故 ,即与的夹角为.‎ ‎(2).‎ ‎18.解:(I)设等差数列的公差为,∵.‎ ‎∴,,‎ 解得,, ∴.‎ ‎(Ⅱ)设等比数列的公比为,,,‎ 联立解得,,‎ ‎∴,或.‎ ‎19.解:(1)∵,,成等差数列,∴,‎ 由正弦定理,,,为外接圆的半径,‎ 代入上式得:,‎ 即.‎ 又,∴,即.‎ 而,∴,由,得.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴,又,,∴,即,‎ ‎∴.‎ ‎20.解:(1)当时,;‎ 当时,由①;‎ 得②,‎ ‎①-②得,‎ 当时符合,即,‎ 则,所以数列为等差数列.‎ ‎(2)由题可知.‎ 所以③,‎ ‎④,‎ ‎③-④得,‎ 所以.‎ ‎21.解:(1)设则在中在中则米 ‎(2)如图,设∠AOB=α,则AB2=OB2+OA2﹣2OB×OA×cosα=50000﹣40000cosα,‎ 又12500﹣10000cosα,又200×100sinα=10000sinα,‎ ‎∴S四边形OACB=S△ABC+S△AOB=12500﹣10000cosα+10000sinα=10000(sinα﹣cosα)+12500‎ ‎=10000sin()+12500,‎ ‎∴当sin()=1,即时,四边形OACB面积最大为(1000012500)m2.‎ ‎22.解:(1)(),则由,得,‎ ‎∴,‎ 由,得,‎ 又,所以,解得,或,‎ 所以的长度的取值范围为;‎ ‎(2)因为,‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ 所以当的长度是时,矩形的面积最小,最小值为.‎
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