2019-2020学年全国大联考高一3月联考数学试题（解析版）

2019-2020学年全国大联考高一3月联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年全国大联考高一3月联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知，则下列各角中与角终边相同的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】按照终边相同角的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 与终边相同的角为，，又.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同的角的定义，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.‎ ‎2．若角终边经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，，‎ ‎．故A正确．‎ ‎【考点】任意角三角函数的定义．‎ ‎3．已知点在第二象限，则为（ ）‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意可知，，，然后根据正弦和正切在各个象限内的符号即可判断出所在的象限.‎ ‎【详解】‎ 因为点在第二象限，所以，，即为第三象限角.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查各象限内三角函数值的符号，属于常考题.‎ ‎4．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据奇偶性、周期性的定义，结合函数图像，进行逐项分析即可.‎ ‎【详解】‎ 对A：是偶函数，故不正确；‎ 对B：是偶函数，故不正确；‎ 对C：是奇函数，且最小正周期为.‎ 对D: 是奇函数，但不是周期函数，故不正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数，以及三角函数的周期性、奇偶性，涉及幂函数和三角函数.‎ ‎5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】化简,利用三角函数图象的平移变换法则可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 要得到函数图象，‎ 只需将函数的图象向左平移个单位长度，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.‎ ‎6．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，，易知，再由 计算即可.‎ ‎【详解】‎ 设，则，，‎ ‎，，，‎ ‎ 所以 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查给值求值问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.‎ ‎7．已知函数，若，则（ ）‎ A．1 B．-1 C．3 D．-3‎ ‎【答案】C ‎【解析】将代入可推导出，再将代入，利用整体代换思想即可得最后结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，整体代换思想的应用，属于中档题.‎ ‎8．表示成（）的形式，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于，故可得出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查终边相同的角的相关知识，熟练掌握终边相同角的变形是解题的关键，属于常考题.‎ ‎9．将函数的图象向右平移 个周期后，所得图象的对称轴方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出函数的周期，然后按照三角函数平移变换得到变换后的解析式，然后再求对称轴即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的周期为：，将函数的图象向右平移个周期（即个单位）后，得到的图象，‎ 令（），得（）.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数正弦型函数的图象变换及性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎10．函数的部分图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由解析式可知，函数为奇函数，因而排除B、D，再由特殊值即可选出正确选项。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以函数为奇函数，排除B，D，‎ 又，‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了已知解析式判断函数图像，注意此类问题的常用解法：奇偶性，单调性及特殊值，极限值等，属于中档题。‎ ‎11．设，，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先计算得到，，再利用 展开得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，，；‎ ‎，；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数值的计算，变换是解题的关键.‎ ‎12．已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若是的一个单调区间，则的最大值为（ ）‎ A．18 B．17 C．15 D．13‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，得，∴，‎ 又，∴（）．‎ ‎∵是的一个单调区间，∴T，即，‎ ‎∵，∴，即．‎ ‎①当，即时，，，∴，，‎ ‎∵，∴，此时在上不单调，‎ ‎∴不符合题意；‎ ‎②当，即时，，，∴，，‎ ‎∵，∴，此时在上不单调，‎ ‎∴不符合题意；‎ ‎③当，即时，，，∴，．‎ ‎∵，∴，此时在上单调递增，‎ ‎∴符合题意，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦型函数的单调性，对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用诱导公式将变为，然后逆用两角差的余弦公式计算即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式及两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于常考题.‎ ‎14．已知一扇形的周长为20，则该扇形面积的最大值为_________.‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】设扇形的半径为，弧长为，根据扇形的周长、面积和半径、弧长的关系建立二次函数关系，从而求出最大值即可.‎ ‎【详解】‎ 设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为：‎ ‎，‎ 当时，取得最大值，最大值为25，‎ 所以扇形面积的最大值为25.‎ 故答案为：25.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查扇形面积的有关计算，考查计算能力，属于常考题.‎ ‎15．函数的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用换元法，令，，然后利用配方法求其最小值．‎ ‎【详解】‎ 令，，则，‎ 当时，函数有最小值，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；③型，可化为求最值；④形如可设换元后利用配方法求最值.‎ ‎16．已知函数，满足函数是奇函数，且当取最小值时，函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意根据函数的奇偶性，可得，可得函数，再结合余弦函数的单调性，可得，由此可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为是奇函数，‎ 所以（），即（），‎ 当时，取得最小值，此时，，‎ 由，得：（），‎ 即函数的单调递增区间为（），‎ 又函数在区间和上均单调递增，所以，‎ 解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦型函数奇偶性和单调性的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用同角三角函数的关系即可求解；‎ ‎（2）利用二倍角公式及同角三角函数的关系将式子化为关于，的齐次式化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 又因为， 所以，则.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的关系，考查三角恒等变换及化简求值，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期 ‎（2）求在区间上的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用三角恒等变换将函数化为，然后代入周期公式即可求解；‎ ‎（2）先由，可得，然后利用正弦函数型函数的性质即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 于是，‎ 故在区间上的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换的应用，考查正弦型函数的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎19．已知关于的方程两个相等的实数根.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由方程两个相等的实数根，可得，然后进一步化简计算可得的值；‎ ‎（2）由，，可得出的值，又，可得，再由计算即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）方程两个相等的实数根，‎ 判别式，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以；‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查三角恒等变换的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）画出在上的图象．‎ ‎【答案】(1) ,(2)见解析 ‎【解析】（1）计算,得到答案.‎ ‎（2）计算函数值得到列表，再画出函数图像得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令,，得,‎ 即，.‎ 故的单调递增区间为，.‎ ‎（2）因为所以列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的单调性和图像，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.‎ ‎21．已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求方程，在区间内的所有实数根之和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由函数图象的顶点坐标可求出的值，再由周期求得的值，由点在的图象上，可得，再结合，可得出的值，继而可得函数解析式；‎ ‎（2）由在上的图象可得，的图象与直线有4个交点，在同一坐标系内画出图象，结合正弦型函数图象的对称性，得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可知，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 因为点在的图象上，‎ 所以，，即，，‎ 因为，所以，‎ 故；‎ ‎（2）由在上的图象可得，的图象与直线有4个交点，‎ 则方程有4个实数根，设这4个实数根分别为，，，（）‎ 由图可得：，关于直线对称，所以，‎ ‎，关于直线对称，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，考查数形结合思想，属于中档题.‎ ‎22．已知的三个内角分别为，，，且.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）已知函数，若函数的定义域为，求函数的值域. ‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）当时，的值域为；（ii）当时，的值域为；（iii）当时，的值域为；（iv）当时，的值域为.‎ ‎【解析】分析：（1）由化简整理可得 ‎，从而求得C；‎ ‎（2）由题意得，，即，从而，设，则，，分类讨论即可.‎ 详解：（1）因为，‎ 所以 ，‎ 即.‎ 又，所以，.‎ ‎（2）由题意得，，‎ 所以，所以角的范围是，‎ 由（1）知，所以.‎ 设，因为，所以，‎ 则，令，.‎ ‎（i）当时，，，‎ 此时的值域为.‎ ‎（ii）当时，，，‎ 此时的值域为.‎ ‎（iii）当时，，，‎ 此时的值域为.‎ ‎（iv）当时，，，‎ 此时的值域为.‎ 点睛：求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法 ‎(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；‎ ‎(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；‎ ‎(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎