(新高考)2021届高三入学调研试卷 数学(三) Word版含解析

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(新高考)2021届高三入学调研试卷 数学(三) Word版含解析

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎(新高考)2021届高三入学调研试卷 数 学(三)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知(为虚数单位),则复数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有( )种.‎ A.24 B.36 C.48 D.64‎ ‎4.在边长为的正方形中,为的中点,点在线段上运动,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知定义域为(-1,1)的奇函数又是减函数,且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知四棱锥的四条侧棱都相等,底面是边长为的正方形,若其五个顶点都在一个表面积为的球面上,则与底面所成角的正弦值为( )‎ A. B.或 C. D.或 ‎7.二项式的展开式中的系数是,则( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎8.由国家公安部提出,国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准()》于年月日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图,‎ 喝瓶啤酒的情况且图表示的函数模型,则该人喝一瓶啤酒后至少经过( )个小时才可以驾车(时间以整小时计算)?(参考数据:,)‎ 驾驶行为类型 阀值 饮酒后驾车 ‎,‎ 醉酒后驾车 车辆驾车人员血液酒精含量阀值 A. B. C. D.‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点F重合,则( )‎ A.双曲线的实轴长为2 B.双曲线的离心率为3‎ C.双曲线的渐近线方程为 D.F到渐近线的距离为 ‎10.已知函数(其中,,的部分图象,则下列结论正确的是( )‎ A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于点对称 C.函数在区间上单调增 D.函数与的图象的所有交点的横坐标之和为 ‎11.已知,,且,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎12.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献;某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为,则下列说法正确的是( )‎ A.该地水稻的平均株高为100 cm B.该地水稻株高的方差为10‎ C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大 D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大 第Ⅱ卷 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.设为坐标原点,抛物线的准线为,焦点为,过且斜率为的直线与抛物线交于两点,且,若直线与相交与,则_________.‎ ‎14.任意实数a,b,定义,设函数,正项数列是公比大于0的等比数列,且,,则______.‎ ‎15.已知球的直径,,是该球面上的两点,,则三棱锥的体积最大值是______.‎ ‎16.如图,、是直线上的两点,且,两个半径相等的动圆分别与相切于、两点,是这两个圆的公共点,则圆弧,圆弧与线段围成图形面积的取值范围是_________.‎ 四、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)已知在中,,,分别为角,,的对应边,点为边的中点,的面积为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,,求.‎ ‎18.(12分)已知函数(k为常数,且).‎ ‎(1)在下列条件中选择一个________使数列是等比数列,说明理由.‎ ‎①数列是首项为2,公比为2的等比数列;‎ ‎②数列是首项为4,公差为2的等差数列;‎ ‎③数列是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.‎ ‎(2)在(1)的条件下,当时,设,求数列的前n项和.‎ ‎19.(12分)某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成下列列联表,并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关?‎ ‎(3)分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析,发现他们线性相关,得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁,试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替)‎ 列联表 男性 女性 合计 消费金额 消费金额 合计 临界值表:‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎,其中.‎ ‎20.(12分)如图,在三棱柱中,平面,为的中点,交于点,,.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎21.(12分)设函数.‎ ‎(1)若当时,函数的图象恒在直线上方,求实数的取值范围;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎22.(12分)已知椭圆的离心率为,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设点为椭圆上位于第一象限内一动点,分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:四边形的面积为定值.‎ ‎(新高考)2021届高三入学调研试卷 数 学(三)答 案 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】由题意得,,,‎ 则,故选C.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】由,得,故选D.‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】当按照进行分配时,则有种不同的方案;‎ 当按照进行分配,则有种不同的方案,‎ 故共有36种不同的派遣方案,故选B.‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设,,‎ 又,C(1,1),所以,,‎ - 18 -‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 即的取值范围是,故选C.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】由条件得,即,∴,‎ 故选B.‎ ‎6.【答案】D ‎【解析】因为的四条侧棱都相等,底面是边长为的正方形,‎ 则点在面内的射影落在正方形的中心,连接交于点,‎ 设球心为,连接,则在直线上,,‎ 由,解得,‎ 又,所以,‎ 所以或,‎ 当时,,‎ - 18 -‎ 则与底面所成角的正弦值为,‎ 当时,,‎ 则与底面所成角的正弦值为,‎ 即与底面所成角的正弦值为或,故选D.‎ ‎7.【答案】B ‎【解析】由题意,二项式的展开式中的通项公式,‎ 令,解得,‎ 所以含项的系数为,解得,故选B.‎ ‎8.【答案】B ‎【解析】由图知,当时,函数取得最大值,此时;‎ 当时,,当车辆驾驶人员血液中酒精小于时可以开车,此时.‎ 由,得,两边取自然对数得,‎ 即,解得,‎ 所以,喝啤酒需个小时候才可以合法驾车,故选B.‎ - 18 -‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.【答案】CD ‎【解析】抛物线的焦点,故,,‎ 故双曲线方程为,双曲线的实轴长为,A错误;‎ 双曲线的离心率为,B错误;‎ 双曲线的渐近线方程为,C正确;‎ F到渐近线的距离为,D正确,‎ 故选CD.‎ ‎10.【答案】BCD ‎【解析】由函数(其中,,)的图像可得,,‎ 因此,,‎ 所以,过点,‎ 因此,‎ 又,所以,,‎ 当时,,故A错;‎ - 18 -‎ 当时,,故B正确;‎ 当,,所以在上单调递增,故C正确;‎ 当时,,‎ 所以与函数有的交点的横坐标为,,故D正确,‎ 故选BCD.‎ ‎11.【答案】ABD ‎【解析】对于A,,‎ 当且仅当时,等号成立,故A正确;‎ 对于B,,所以,故B正确;‎ 对于C,,‎ 当且仅当时,等号成立,故C不正确;‎ 对于D,因为,‎ 所以,当且仅当时,等号成立,故D正确,‎ 故选ABD.‎ ‎12.【答案】AC ‎【解析】,故,,故A正确,B错误;‎ ‎,故C正确;‎ - 18 -‎ 根据正态分布的对称性知:,故D错误,‎ 故选AC.‎ 第Ⅱ卷 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】过且斜率为的直线方程为,‎ 与抛物线联立得.‎ ‎,,‎ 则直线方程为,与的交点,‎ 因此,故答案为.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】由题意,‎ 因为时,;‎ 时,,‎ 所以时,恒成立,‎ 因为正项数列是公比大于0的等比数列,且,‎ - 18 -‎ 所以,‎ 所以,‎ 又,,‎ 所以,‎ 当时,,所以,此时无解;‎ 当时,,所以,解得,‎ 故答案为.‎ ‎15.【答案】2‎ ‎【解析】因为球的直径,且,‎ 所以,,‎ ‎(其中为点到底面的距离),‎ 故当最大时,的体积最大,‎ 即当面面时,最大且满足,‎ 即,此时.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】由题意得在线段中垂线上,所以到直线上的距离取值范围为,‎ 因此圆弧,圆弧与线段围成图形面积的取值范围是,‎ 故答案为.‎ - 18 -‎ 四、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由的面积为且为的中点可知:的面积为,‎ 由三角形的面积公式可知,‎ 由正弦定理可得,所以.‎ ‎(2)因为,所以在中,由正弦定理可得,‎ 所以,‎ 由(1)可知,所以,,‎ ‎∵,∴,‎ 在直角中,,,所以,,‎ ‎∵,,‎ 在中用余弦定理,可得,‎ ‎.‎ ‎18.【答案】(1)②,理由见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)①③不能使成等比数列,②可以.‎ 由题意,‎ - 18 -‎ 即,得,且,.‎ 常数且,为非零常数,‎ 数列是以为首项,为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知,所以当时,,‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎19.【答案】(1),;(2)列联表见解析,有的把握认为;(3)395元.‎ ‎【解析】(1)由频率分布直方图可知,,‎ 由中间三组的人数成等差数列可知,‎ 可解得,.‎ ‎(2)周平均消费不低于300元的频率为,‎ 因此100人中,周平均消费不低于300元的人数为人.‎ 所以列联表为 男性 女性 合计 消费金额 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 消费金额 ‎25‎ ‎15‎ ‎40‎ 合计 ‎45‎ ‎55‎ ‎100‎ ‎,‎ 所以有的把握认为消费金额与性别有关.‎ - 18 -‎ ‎(3)调查对象的周平均消费为,‎ 由题意,∴,‎ ‎.‎ ‎∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.‎ ‎20.【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】证明:(1)因为为三棱柱,所以平面平面,‎ 因为平面,所以平面.‎ 又因为平面,所以.‎ 又因为,,平面,‎ 所以平面.‎ 由题知:四边形为矩形,又因交于点,所以为的中点,‎ 又因为为的中点,所以为的中位线,所以,‎ 所以平面.‎ ‎(2)由(1)知:两两互相垂直,所以以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,如图所示:‎ 设,‎ 则,,,,,,‎ 所以,,‎ - 18 -‎ 因为,所以,所以,解得,‎ 所以,,,‎ 所以,,,,‎ 设平面的法向量为,则,所以,‎ 不妨令,则;‎ 设平面的法向量为,则,所以,‎ 不妨令,则,‎ 所以,‎ 因为平面与平面所成的角为锐角,‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎21.【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)由题知当时,不等式恒成立,‎ 因为,故必有在上恒成立.‎ 此时,该不等式等价于,‎ 令,则,‎ 故与同号.‎ 因,‎ 当时,在递减,显然不符合,‎ - 18 -‎ 故必;‎ 当时,即时,在上恒成立,‎ 即在递增,满足,‎ 故.‎ ‎(2)等价于不等式,‎ 两边取对数得,‎ 即证明恒成立.‎ 由(1)知当,时有恒成立.‎ 故令,,‎ 即得恒成立,‎ 即成立.‎ ‎22.【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)由已知可得,解得,‎ 所以椭圆C的方程为.‎ - 18 -‎ ‎(2)因为椭圆C的方程为,所以,,‎ 设,则,即.‎ 则直线BM的方程为,令,得;‎ 同理:直线AM的方程为,令,得,‎ 所以 ‎,‎ 即四边形ABCD的面积为定值2.‎ - 18 -‎
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