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(新高考)2021届高三入学调研试卷 数学(三) Word版含解析
此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 (新高考)2021届高三入学调研试卷 数 学(三) 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 2.已知(为虚数单位),则复数( ) A. B. C. D. 3.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有( )种. A.24 B.36 C.48 D.64 4.在边长为的正方形中,为的中点,点在线段上运动,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知定义域为(-1,1)的奇函数又是减函数,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知四棱锥的四条侧棱都相等,底面是边长为的正方形,若其五个顶点都在一个表面积为的球面上,则与底面所成角的正弦值为( ) A. B.或 C. D.或 7.二项式的展开式中的系数是,则( ) A.1 B. C. D. 8.由国家公安部提出,国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准()》于年月日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图, 喝瓶啤酒的情况且图表示的函数模型,则该人喝一瓶啤酒后至少经过( )个小时才可以驾车(时间以整小时计算)?(参考数据:,) 驾驶行为类型 阀值 饮酒后驾车 , 醉酒后驾车 车辆驾车人员血液酒精含量阀值 A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点F重合,则( ) A.双曲线的实轴长为2 B.双曲线的离心率为3 C.双曲线的渐近线方程为 D.F到渐近线的距离为 10.已知函数(其中,,的部分图象,则下列结论正确的是( ) A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于点对称 C.函数在区间上单调增 D.函数与的图象的所有交点的横坐标之和为 11.已知,,且,则( ) A. B. C. D. 12.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献;某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为,则下列说法正确的是( ) A.该地水稻的平均株高为100 cm B.该地水稻株高的方差为10 C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大 D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大 第Ⅱ卷 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.设为坐标原点,抛物线的准线为,焦点为,过且斜率为的直线与抛物线交于两点,且,若直线与相交与,则_________. 14.任意实数a,b,定义,设函数,正项数列是公比大于0的等比数列,且,,则______. 15.已知球的直径,,是该球面上的两点,,则三棱锥的体积最大值是______. 16.如图,、是直线上的两点,且,两个半径相等的动圆分别与相切于、两点,是这两个圆的公共点,则圆弧,圆弧与线段围成图形面积的取值范围是_________. 四、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知在中,,,分别为角,,的对应边,点为边的中点,的面积为. (1)求的值; (2)若,,求. 18.(12分)已知函数(k为常数,且). (1)在下列条件中选择一个________使数列是等比数列,说明理由. ①数列是首项为2,公比为2的等比数列; ②数列是首项为4,公差为2的等差数列; ③数列是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列. (2)在(1)的条件下,当时,设,求数列的前n项和. 19.(12分)某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列. (1)求的值; (2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成下列列联表,并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关? (3)分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析,发现他们线性相关,得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁,试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替) 列联表 男性 女性 合计 消费金额 消费金额 合计 临界值表: 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ,其中. 20.(12分)如图,在三棱柱中,平面,为的中点,交于点,,. (1)证明:平面; (2)若,求二面角的余弦值. 21.(12分)设函数. (1)若当时,函数的图象恒在直线上方,求实数的取值范围; (2)求证:. 22.(12分)已知椭圆的离心率为,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1. (1)求椭圆的方程; (2)设点为椭圆上位于第一象限内一动点,分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:四边形的面积为定值. (新高考)2021届高三入学调研试卷 数 学(三)答 案 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C 【解析】由题意得,,, 则,故选C. 2.【答案】D 【解析】由,得,故选D. 3.【答案】B 【解析】当按照进行分配时,则有种不同的方案; 当按照进行分配,则有种不同的方案, 故共有36种不同的派遣方案,故选B. 4.【答案】C 【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设,, 又,C(1,1),所以,, - 18 - 所以, 因为,所以, 即的取值范围是,故选C. 5.【答案】B 【解析】由条件得,即,∴, 故选B. 6.【答案】D 【解析】因为的四条侧棱都相等,底面是边长为的正方形, 则点在面内的射影落在正方形的中心,连接交于点, 设球心为,连接,则在直线上,, 由,解得, 又,所以, 所以或, 当时,, - 18 - 则与底面所成角的正弦值为, 当时,, 则与底面所成角的正弦值为, 即与底面所成角的正弦值为或,故选D. 7.【答案】B 【解析】由题意,二项式的展开式中的通项公式, 令,解得, 所以含项的系数为,解得,故选B. 8.【答案】B 【解析】由图知,当时,函数取得最大值,此时; 当时,,当车辆驾驶人员血液中酒精小于时可以开车,此时. 由,得,两边取自然对数得, 即,解得, 所以,喝啤酒需个小时候才可以合法驾车,故选B. - 18 - 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.【答案】CD 【解析】抛物线的焦点,故,, 故双曲线方程为,双曲线的实轴长为,A错误; 双曲线的离心率为,B错误; 双曲线的渐近线方程为,C正确; F到渐近线的距离为,D正确, 故选CD. 10.【答案】BCD 【解析】由函数(其中,,)的图像可得,, 因此,, 所以,过点, 因此, 又,所以,, 当时,,故A错; - 18 - 当时,,故B正确; 当,,所以在上单调递增,故C正确; 当时,, 所以与函数有的交点的横坐标为,,故D正确, 故选BCD. 11.【答案】ABD 【解析】对于A,, 当且仅当时,等号成立,故A正确; 对于B,,所以,故B正确; 对于C,, 当且仅当时,等号成立,故C不正确; 对于D,因为, 所以,当且仅当时,等号成立,故D正确, 故选ABD. 12.【答案】AC 【解析】,故,,故A正确,B错误; ,故C正确; - 18 - 根据正态分布的对称性知:,故D错误, 故选AC. 第Ⅱ卷 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.【答案】 【解析】过且斜率为的直线方程为, 与抛物线联立得. ,, 则直线方程为,与的交点, 因此,故答案为. 14.【答案】 【解析】由题意, 因为时,; 时,, 所以时,恒成立, 因为正项数列是公比大于0的等比数列,且, - 18 - 所以, 所以, 又,, 所以, 当时,,所以,此时无解; 当时,,所以,解得, 故答案为. 15.【答案】2 【解析】因为球的直径,且, 所以,, (其中为点到底面的距离), 故当最大时,的体积最大, 即当面面时,最大且满足, 即,此时. 16.【答案】 【解析】由题意得在线段中垂线上,所以到直线上的距离取值范围为, 因此圆弧,圆弧与线段围成图形面积的取值范围是, 故答案为. - 18 - 四、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(1);(2). 【解析】(1)由的面积为且为的中点可知:的面积为, 由三角形的面积公式可知, 由正弦定理可得,所以. (2)因为,所以在中,由正弦定理可得, 所以, 由(1)可知,所以,, ∵,∴, 在直角中,,,所以,, ∵,, 在中用余弦定理,可得, . 18.【答案】(1)②,理由见解析;(2). 【解析】(1)①③不能使成等比数列,②可以. 由题意, - 18 - 即,得,且,. 常数且,为非零常数, 数列是以为首项,为公比的等比数列. (2)由(1)知,所以当时,, 因为,所以, 所以, . 19.【答案】(1),;(2)列联表见解析,有的把握认为;(3)395元. 【解析】(1)由频率分布直方图可知,, 由中间三组的人数成等差数列可知, 可解得,. (2)周平均消费不低于300元的频率为, 因此100人中,周平均消费不低于300元的人数为人. 所以列联表为 男性 女性 合计 消费金额 20 40 60 消费金额 25 15 40 合计 45 55 100 , 所以有的把握认为消费金额与性别有关. - 18 - (3)调查对象的周平均消费为, 由题意,∴, . ∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元. 20.【答案】(1)证明见解析;(2). 【解析】证明:(1)因为为三棱柱,所以平面平面, 因为平面,所以平面. 又因为平面,所以. 又因为,,平面, 所以平面. 由题知:四边形为矩形,又因交于点,所以为的中点, 又因为为的中点,所以为的中位线,所以, 所以平面. (2)由(1)知:两两互相垂直,所以以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,如图所示: 设, 则,,,,,, 所以,, - 18 - 因为,所以,所以,解得, 所以,,, 所以,,,, 设平面的法向量为,则,所以, 不妨令,则; 设平面的法向量为,则,所以, 不妨令,则, 所以, 因为平面与平面所成的角为锐角, 所以二面角的余弦值为. 21.【答案】(1);(2)证明见解析. 【解析】(1)由题知当时,不等式恒成立, 因为,故必有在上恒成立. 此时,该不等式等价于, 令,则, 故与同号. 因, 当时,在递减,显然不符合, - 18 - 故必; 当时,即时,在上恒成立, 即在递增,满足, 故. (2)等价于不等式, 两边取对数得, 即证明恒成立. 由(1)知当,时有恒成立. 故令,, 即得恒成立, 即成立. 22.【答案】(1);(2)证明见解析. 【解析】(1)由已知可得,解得, 所以椭圆C的方程为. - 18 - (2)因为椭圆C的方程为,所以,, 设,则,即. 则直线BM的方程为,令,得; 同理:直线AM的方程为,令,得, 所以 , 即四边形ABCD的面积为定值2. - 18 -查看更多