2021届高三入学调研试卷 理科数学（一） Word版含解析

2021届高三入学调研试卷 理科数学（一） Word版含解析

‎2021届高三入学调研试卷 理 科 数 学（一）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若复数的实部与虚部分别为，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．若函数的图象经过抛物线的焦点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量是单位向量的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设，满足约束条件，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设是一个各位数字都不是且没有重复数字的两位数，将组成的个数字按从小到大排成的两位数记为，按从大到小排成的两位数记为(例如，则，)，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另一种是大灯下缀个小灯，大灯共个，小灯共个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在正四棱柱中，为侧棱上一点，，，且异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设是双曲线的右焦点，为坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．的展开式中的系数为 ．‎ ‎14．已知函数，若，，则 ．‎ ‎15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 ．‎ ‎16．已知函数是上的奇函数，函数，若对恒成立，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）设为数列的前项和，已知，，其中是不为的常数，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．‎ ‎（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；‎ ‎（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为，中奖可获得元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量．‎ ‎①活动期间，一位顾客买了罐百事可乐，他恰好获得元红包的概率；‎ ‎②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．‎ ‎19．（12分）在直角坐标系中，已知，，且，记动点的轨迹为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的斜率．‎ ‎20．（12分）如图，在四面体中，，平面平面，，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若在上存在最大值，证明：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称．‎ ‎（1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上一动点，记到直线与直线的距离分别为，，求的最小值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数，且不等式的解集为．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，证明：．‎ ‎2021届高三入学调研试卷 理 科 数 学（一）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】∵，∴．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】∵，，∴．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】抛物线的焦点坐标为，则，即，‎ 解得．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】由平面向量的减法可得的模为，则是单位向量．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】∵，∴，∴．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，‎ 当直线过点时，取得最小值；‎ 直线过点时，取得最大值，‎ 故．‎ - 13 -‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】，；，；，，‎ ‎∵为的倍数，∴输出的．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】令，则，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴曲线在点处的切线方程为．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】‎ ‎．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为，，‎ 则，解得，‎ 若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ - 13 -‎ 则，，，则，‎ 设，则，‎ 从而，‎ ‎∵，∴．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】∵到渐近线的距离为，∴，‎ 则的内切圆的半径，‎ 设的内切圆与切于点，则，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 即，则，∴，‎ ‎∵，∴．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ - 13 -‎ ‎【解析】的展开式中的系数为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】∵，∴的图象关于直线对称，‎ 又，且，∴．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】设该圆锥的半径与高分别为，，则，即，‎ 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由是上的奇函数，得，则，‎ 因为在上单调递减，‎ 所以是上的减函数，作出与的图象，如图所示，‎ 由图可知，即，则．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ - 13 -‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴数列是公差为的等差数列，‎ ‎∵，∴，，，‎ ‎∵，，成等比数列，∴，‎ ‎∴，∴或，‎ ‎∵，∴，．‎ ‎（2）∵，∴，即，∴．‎ ‎18．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，百事可乐的销量更好；（2）①；②元．‎ ‎【解析】（1）百事可乐销量的平均数为，‎ 可口可乐销量的平均数为，‎ ‎∵，∴百事可乐的销量更好．‎ ‎（2）①他恰好获得元红包说明他有两次中奖一次未中奖，‎ 故所求的概率为．‎ ‎②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为 罐，‎ 记连续三周顾客中奖总次数为，则，则，‎ 故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为元．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，∴，‎ - 13 -‎ 即，此即为的方程．‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 当时，或，不合题意；‎ 当时，由，得，‎ 设，，则，，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，‎ 平面，∴平面，‎ 因为平面，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 因为，所以平面．‎ ‎（2）设，则，‎ 四面体的体积，‎ ‎，‎ - 13 -‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 故当时，四面体的体积取得最大值，‎ 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 令，得，‎ 同理，平面的法向量为，‎ ‎，‎ 由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，，在上单调递减；‎ - 13 -‎ 当时，由，得，在上单调递增；‎ 由，得，在上单调递减．‎ ‎（2）易知，当时，，‎ 由（1）知，在上单调递增，此时在上不存在最大值，‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，‎ 故，‎ 设，，‎ ‎∵，∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴要证：，只需证，‎ 即证，‎ 设，则，‎ 则在上单调递减，从而，即，‎ 则，从而．‎ - 13 -‎ ‎22．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，∴，即，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由（1）可设，，‎ 直线与直线的直角坐标方程分别为，，‎ 从而，，‎ ‎，‎ 故的最小值为．‎ ‎23．【答案】（1），；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）当时，由，得，‎ 因为不等式的解集为，所以，解得，‎ 当时，由，得，所以，‎ 经检验，满足题意．‎ ‎（2）证明：因为，所以，‎ 同理，‎ 因为，‎ 所以．‎ - 13 -‎