山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期3月月考数学试题

山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期3月月考数学试题

‎2020年高一数学 注意事项：‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；‎ ‎2.请将答案正确填写在答题卡上；‎ 卷Ⅰ（选择题）‎ 一、选择题（本题共计16小题，每题5分，共计80分）‎ ‎1.设为虚数单位，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. -1 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘除运算求出复数的代数形式，然后可得复数的虚部．‎ ‎【详解】由题意得，‎ 所以复数的虚部为1．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】解答本题容易出现的错误是认为复数的虚部为，解题的关键是得到复数的代数形式和熟记相关的概念，属于基础题．‎ ‎2.已知的内角所对的边长分别是，设向量，，若，则角的大小为（ ）‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到边角关系，用正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求解.‎ ‎【详解】，，，‎ ‎，‎ 由正弦定理可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题以向量坐标关系为背景，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.设是虚数单位，则等于(　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知是平面内向量的一个基底,因此不共线，求出 不共线满足的条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可知,平面内的任一向量都可以唯一表示成,‎ ‎∴是平面内表示所有向量的一个基底,.‎ ‎∴不共线, ∴.‎ 故m的取值范围是.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查向量基本定理，考查向量不共线的坐标关系，属于基础题.‎ ‎5.设是两个不共线的向量，若则（ ）‎ A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为+==2，故三点共线.‎ 故答案为A.‎ ‎6.在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且.则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由,,‎ ‎,求解,结合条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】,,,‎ 可得:‎ 由 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎7.是平面上一定点，是平面上不共线三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过的(　 　)‎ A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向 与的角平分线一致，可得到，可得答案．‎ ‎【详解】、分别表示向量、方向上的单位向量 的方向与的角平分线一致 又，‎ 向量的方向与的角平分线一致 一定通过的内心 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．‎ ‎8.在△ABC中，分别为∠A，∠B，∠C的对边，且，若向量和平行，且sinB＝，当△ABC的面积为时，则b＝（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. 4 D. 2＋‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由得，即，由知为锐角，所以，所以，即，，由得，，代入得，．故选B．‎ 考点：向量平行的坐标表示，余弦定理，三角形的面积．‎ ‎9.在中，，则的形状一定是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.‎ ‎【详解】因为，所以 ‎，即是直角三角形，选D.‎ ‎【点睛】判断三角形形状的方法 ‎①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎10.如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，则（ ）‎ A 3 B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以向量为基底，将用基底表示，即可得到的方程，求解即可.‎ ‎【详解】为的中点，‎ ‎，.‎ 故选;B.‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算、向量基本定理，属于基础题.‎ ‎11.在中，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 依题意有，由余弦定理得，由正弦定理得.‎ 点睛：本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理的应用.由于已知三角形的面积和三角形一个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正弦定理和余弦定理都需要考虑.‎ ‎12.已知单位向量的夹角为，则与夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出，应用向量夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】单位向量的夹角为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设与夹角为，‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎13.若外接圆的半径为1，圆心为，且,则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到为直径，所以为直角三角形，求出三边的长求得的值，利用两个向量的数量积的定义即可求得的值．‎ 详解：因为，所以，‎ 所以，所以三点共线，且为直径，‎ 如图所示，所以，‎ 因为，所以，‎ 则，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算，以及向量垂直的充要条件等知识的应用，其中求出为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎14.（理）已知与均为单位向量，其夹角为，则命题是命题的( )‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 非充分且非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用向量数量积求向量夹角范围，再根据包含关系确定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 因为 ，所以命题是命题的必要非充分条件 故选：B ‎【点睛】本题考查充要关系的判定以及向量夹角计算，考查综合分析求解能力，属基础题.‎ ‎15.某观察站在城的南偏西20°的方向，由出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在处测得此公路上距处的处有一人正沿此公路骑车以的速度向城驶去，行驶了后到达处，此时测得与之间的距离为，则此人到达城还需要（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知，可得，在中，求出，进而求出，在中，求出，再求出，即可求解.‎ ‎【详解】在城的南偏西20°的方向，‎ 由出发的一条公路的走向是南偏东25°，‎ ‎，‎ 一人正沿此公路骑车以的速度向城驶去，‎ 从处行驶了后到达处，，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，此人到达城，还需分钟.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角应用问题，转化为余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎16.已知点是的重心，，若，，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解的最小值即可.‎ ‎【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,‎ ‎，‎ 根据向量的数量积的定义可得,‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，△ABC等腰三角形时等号成立.‎ 综上可得的最小值是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 卷Ⅱ（非选择题）‎ 二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）‎ ‎17.已知点是的重心，内角、、所对的边长分别为、、，且，则角的大小是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由向量的平行四边形法则可得，代入可得，故，则．由余弦定理可得，故，应填答案．‎ 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系，最后运用余弦定理求出，使得问题获解．‎ ‎18.在中，设角的对边分别是，且，，则________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由正弦定理知，所以，则 ‎.‎ ‎19.△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 结合正弦定理可得，‎ 可得，因为，‎ 结合余弦定理，可得，‎ 所以为锐角，且，从而求得，‎ 所以的面积为，故答案是.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、、‎ 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎20.如图所示，已知点为的重心，，，则的值为___________.‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形的重心的性质以及平面向量的线性运算法则可得,由向量运算的三角形法则可得，再由向量垂直的条件、平面向量数量积的运算和勾股定理,计算即可得到所求值.‎ ‎【详解】连接延长交于，‎ 因为为重心，所以为中点,‎ 且,‎ 因为,‎ 所以，‎ 则 ‎,故答案为72.‎ ‎【点睛】本题考查三角形重心的向量表示,考查向量垂直的条件,考查平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.‎ 三、解答题（本题共计4小题，共计50分）‎ ‎21.在中，分别为角所对的边，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若外接圆的面积为，且，求边上的高的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入已知等式，展开整理，求出，即可求解；‎ ‎（2）根据已知求出外接圆半径，进而求出，由余弦定理，结合，求出，可得，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎（2）设外接圆的半径为，‎ 则，故，‎ 由正弦定理知，‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以.‎ 又，‎ 故.‎ 点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.若、是两个不共线的非零向量，‎ ‎（1）若与起点相同，则实数t为何值时，三个向量的终点A，B，C在一直线上？‎ ‎（2）若，且与夹角为60°，则实数t为何值时，的值最小？‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值；‎ ‎（2）由题设条件，可以把的平方表示成关于实数t的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值.‎ ‎【详解】（1），，即 ‎，可得；‎ 故存在时，A、B、C三点共线；‎ ‎（2）设 ‎，‎ 时，的值最小.‎ ‎【点睛】本题考查了利用向量解决共线和最值问题，意在考查学生的计算能力.‎ ‎23.如图，在中，为边上一点，且，已知，.‎ ‎（1）若是锐角三角形，，求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求的长.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)在中,利用正弦定理可求得,得到,利用等腰的性质可知.(2)利用三角形的面积公式可求得,利用余弦定理可求得,由此求得的长.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）在中，，，，由正弦定理得，‎ 解得，所以或.‎ 因为是锐角三角形，所以.‎ 又，所以.‎ ‎（2）由题意可得，解得，‎ 由余弦定理得 ，解得 ‎，‎ 则.‎ 所以的长为.‎ ‎24.如图，在中，设，，又，，，向量的夹角为.‎ ‎（1）用表示；‎ ‎（2）若点是边的中点，直线交于点，求⋅‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知，转化为以为起点的向量表示，整理即可；‎ ‎（2）利用三点共线和三点共线，结合向量基本定理，将用基底表示，即可求解.‎ ‎【详解】（1）,‎ ‎（2）共线，，‎ 共线，，‎ ‎，解得，‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算、向量基本定理、共线向量的充要条件、向量的数量积，考查计算求解能力，属于中档题.‎