2007年湖北省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2007年湖北省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 如果(3x2-2x3)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）
A.3 B.5 C.6 D.10
2. 将y=2cos(x3+π6)的图象按向量a=(-π4，-2)平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
A.y=2cos(x3+π4)-2 B.y=2cos(x3-π4)+2
C.y=2cos(x3-π12)-2 D.y=2cos(x3+π12)+2
3. 设P，Q是两个集合，定义集合P-Q＝{x|x∈P且x∉Q}为P，Q的“差集”，已知P＝{x|1-2x<0}，Q＝{x||x-2|<1}，那么P-Q等于( )
A.{x|0
0,b>0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则|F1F2||MF1|-|MF1||MF2|等于（ ）
A.-1 B.xOy C.-12 D.12
8. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn=7n+45n+3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
9. 连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a→=(m,n)与向量b→=(1,-1)的夹角为θ，则θ∈(0,π2]的概率是（ ）
A.512 B.12 C.712 D.56
10. 已知直线xa+yb=1（θ是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A.60条 B.66条 C.72条 D.78条
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11. 已知函数y=2x-a的反函数是y=bx+3，则a=________；b=________．
12. 复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0，若z2-4bz是实数，则有序实数对(a, b)可以是________．（写出一个有序实数对即可）
13. 设变量x，y满足约束条件x-y+3≥0x+y≥0-2≤x≤3，则目标函数2x+y的最小值为________．
14. 某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率
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________．（用数值作答）
15. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=(116)t-a（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为________；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16. 已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB→⋅AC→≤6，设AB→和AC→的夹角为θ．
(Ⅰ)求θ的取值范围；
(Ⅱ)求函数f(θ)＝2sin2(π4+θ)-3cos2θ的最大值与最小值．
17.
分 组
频 数
[1.30, 1.34)
4
[1.34, 1.38)
25
[1.38, 1.42)
30
[1.42, 1.46)
29
[1.46, 1.50)
10
[1.50, 1.54)
2
合 计
100
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
（1）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（2）估计纤度落在[1.38, 1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.30, 1.34）的中点值是1.32)作为代表．据此，估计纤度的期望．
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18. 如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ(0<θ<π2)．
(I)求证：平面VAB⊥平面VCD；
(II)当确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为π6．
19. 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0, p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A、B两点．
(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
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20. 已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a>0．设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求证：f(x)≥g(x) (x>0)．
21. 已知m，n为正整数．
（1）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；
（2）对于n≥6，已知(1-1n+3)n<12，求证(1-mn+3)n<(12)m，m=1，2…，n；
（3）求出满足等式3n+4n+5n+...+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n．
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参考答案与试题解析
2007年湖北省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.B
2.A
3.B
4.D
5.C
6.B
7.A
8.D
9.C
10.A
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11.6,12
12.(2, 1)
13.-32
14.15128
15.解：（1）由题意和图示，当0≤t≤0.1时，可设y=kt（k为待定系数），由于点(0.1, 1)在直线上，∴ k=10；
同理，当t>0.1时，可得1=(116)0.1-a⇒0.1-a=0⇒a=110
（2）由题意可得y≤0.25=14，
即得10t≤140≤t≤0.1或(116)t-110≤14t>0.1⇒0≤t≤140或t≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16.（1）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则由12bcsinθ=3，0≤bccosθ≤6，可得0≤cotθ≤1，∴ θ∈[π4,π2]．
（2）f(θ)=2sin2(π4+θ)-3cos2θ
=[1-cos(π2+2θ)]-3cos2θ
=(1+sin2θ)-3cos2θ
=sin2θ-3cos2θ+1
=2sin(2θ-π3)+1．
∵ θ∈[π4,π2]，2θ-π3∈[π6,2π3]，∴ 2≤2sin(2θ-π3)+1≤3．
即当θ=5π12时，f(θ)max＝3；当θ=π4时，f(θ)min＝2．
17.解：（1）
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（2）由频率分布表知纤度落在[1.38, 1.50)中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69，
纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+12×0.30=0.44．
（3）总体数据的期望约为1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088．
18.解法1：(1)∵ AC=BC=a，∴ △ABC是等腰三角形，
又D是AB的中点，∴ CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC，∴ VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，
又AB⊂平面VAB，∴ 平面VAB⊥平面VCD．
(2)过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由(1)知CH⊥平面VAB．连接BH，
于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，依题意∠CBH=π6，所以
在Rt△CHD中，CH=22asinθ；
在Rt△BHC中，CH=asinπ6=a2，
∴ sinθ=22，
∵ 0<θ<π2，∴ θ=π4，
故当θ=π4时，
直线BC与平面VAB所成得角为π6．
解法2：(1)以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0, 0, 0)，A(a, 0, 0)，B(0, a, 0)，D(a2，a2，0)，V(0,0,22atanθ)，
于是，VD→=(a2,a2,-22atanθ)，CD→=(a2,a2,0)，AB→=(-a,a,0)．
从而AB→⋅CD→=(-a,a,0)⋅(a2,a2,0)=-12a2+12a2+0=0，即AB⊥CD．
同理AB→⋅VD→=(-a,a,0)⋅(a2,a2,-22atanθ)=-12a2+12a2+0=0，
即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴ AB⊥平面VCD．
又AB⊂平面VAB，∴ 平面VAB⊥平面VCD．
(2)设平面VAB的一个法向量为n=(x, y, z)
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则由n⋅AB→=0n⋅VD→=0，得-ax+ay=0a2x+a2y-22aztanθ=0.
可取n=(1,1,2cotθ)，
又BC→=(0,-a,0)，
于是sinπ6=|n⋅BC→|n|⋅|BC→||=aa⋅2+2cot2θ=22sinθ，
即sinθ=22，
∵ 0<θ<π2，∴ θ=π4，
故当θ=π4时，直线BC与平面VAB所成得角为π6．
解法3：(1)以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0, 0, 0)，A(0,-22a，0)，B(0,22a，0)，C(-22a，0，0)，V(-22a，0，22atanθ)，
于是DV→=(-22a,0,22atanθ)，DC→=(-22a,0,0)，AB→=(0,2a,0)．
从而AB→⋅DC→=(0,2a,0)⋅(-22a,0,0)=0，即AB⊥DC，
同理AB→⋅DV→=(0,2a,0)⋅(-22a,0,22atanθ)=0，即AB⊥DV．
又DC∩DV=D，∴ AB⊥平面VCD．
又AB⊂平面VAB，∴ 平面VAB⊥平面VCD．
(2)设平面VAB的一个法向量为n=(x, y, z)，
则由n⋅AB→=0n⋅DV→=0得2ay=0-22ax+22aztanθ=0.
取n=(tanθ, 0, 1)，
又BC→=(-22a,-22a,0)，于是sinπ6=|n⋅BC→|n|⋅|BC→||=22atanθa⋅1+tan2θ=22sinθ，
即sinθ=22．
又∵ 0<θ<π2，∴ θ=π4．
故当θ=π4时，直线BC与平面VAB所成的角为π6．
19.法1：(Ⅰ)依题意，点N的坐标为N(0, -p)，
可设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
直线AB的方程为y＝kx+p，与x2＝2py联立得x2=2pyy=kx+p ，
消去y得x2-2pkx-2p2＝0．
由韦达定理得x1+x2＝2pk，x1x2＝-2p2．
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=12⋅2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p(x1+x2)2-4x1x2
=p4p2k2+8p2=2p2k2+2，
∴ 当k＝0时，(S△ABN)min=22p2．
（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，
AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，
则O'H⊥PQ，O'点的坐标为(12x1,y1+p2)．
∵ |O'P|=12|AC|=12x12+(y1-p)2=12y12+p2，|O'H|=|a-y1+p2|=12|2a-y1-p|，
∴ |PH|2＝|O'P|2-|O'H|2=14(y12+p2)-14(2a-y1-p)2=(a-p2)y1+a(p-a)，
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∴ |PQ|2＝(2|PH|)2=4[(a-p2)y1+a(p-a)]．
令a-p2=0，得a=p2，此时|PQ|＝p为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为y=p2，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：(Ⅰ)前同解法1，再由弦长公式得|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1x2=1+k2⋅4p2k2+8p2=2p1+k2⋅k2+2，
又由点到直线的距离公式得d=2p1+k2．
从而S△ABN=12⋅d⋅|AB|=12⋅2p1+k2⋅k2+2⋅2p1+k2=2p2k2+2，∴ 当k＝0时，(S△ABN)min=22p2．
（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，则以AC为直径的圆的方程为(x-0)(x-x1)+(y-p)(y-y1)＝0，
将直线方程y＝a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)＝0，
则|x1-x2|2=x12-4(a-p)(a-y1)=4[(a-p2)y1+a(p-a)]．
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3, y3)，Q(x4, y4)，
则有|PQ|=|x3-x4|=4[(a-p2)y1+a(p-a)]=2(a-p2)y1+a(p-a)．
令a-p2=0，得a=p2，此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=p2，
即抛物线的通径所在的直线．
20.解：（1）设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0, y0)处的切线相同．
∵ f'(x)=x+2a，g'(x)=3a2x，由题意f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)．
即12x02+2ax0=3a2lnx0+bx0+2a=3a2x0由x0+2a=3a2x0得：x0=a，或x0=-3a（舍去）．
即有b=12a2+2a2-3a2lna=52a2-3a2lna．
令h(t)=52t2-3t2lnt(t>0)，则h'(t)=2t(1-3lnt)．
于是当t(1-3lnt)>0，即00；当t(1-3lnt)<0，即t>e13时，h'(t)<0．
故h(t)在(0,e13)为增函数，在(e13，+∞)为减函数，
于是h(t)在(0, +∞)的最大值为h(e13)=32e23．
（2）设F(x)=f(x)-g(x)=12x2+2ax-3a2lnx-b(x>0)，
则F'(x)=x+2a-3a2x=(x-a)(x+3a)x(x>0)．
故F(x)在(0, a)为减函数，在(a, +∞)为增函数，
于是函数F(x)在(0, +∞)上的最小值是F(a)=f(a)-g(a)=12a2+2a2-3a2lna+25a2-3a2lna=0，
故当x>0时，有f(x)-g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)．
21.解法1：（1）证：用数学归纳法证明：
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当x=0时，(1+x)m≥1+mx；即1≥1成立，
x≠0时，证：用数学归纳法证明：
（1）当m=1时，原不等式成立；
当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，
因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（2）假设当m=k时，不等式成立，即(1+x)k≥1+kx，
则当m=k+1时，∵ x>-1，
∴ 1+x>0，于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同乘以1+x得
(1+x)k⋅(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x，
所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x．即当m=k+1时，不等式也成立．
综合(1)(II)知，对一切正整数m，不等式都成立．
（2）证：当n≥6，m≤n时，由（1）得(1-1n+3)m≥1-mn+3>0，
于是(1-mn+3)n≤(1-1n+3)nm=[(1-1n+3)n]m<(12)m，m=1，2，n．
（3）解：由（2）知，当n≥6时，(1-1n+3)n+(1-2n+3)n+…+(1-nn+3)n<12+(12)2+…+(12)n=1-12n<1，
∴ (n+2n+3)n+(n+1n+3)n+…+(3n+3)n<1．
即3n+4n+...+(n+2)n<(n+3)n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．
故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，32+42=52，等式成立；
当n=3时，33+43+53=63，等式成立；
当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；
当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的n只有n=2，3．
解法2：（1）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当x>-1，且x≠0时，m≥2，(1+x)m>1+mx． ①
（1）当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x≠0，所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；
（2）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即(1+x)k>1+kx，则当m=k+1时，
因为x>-1，所以1+x>0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2>0．
于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k⋅(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x，
所以(1+x)k+1>1+(k+1)x．即当m=k+1时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（2）证：当n≥6，m≤n时，∵ (1-1n+3)n<12，
∴ [(1-1n+3)m]n<(12)m，
而由（1），(1-1n+3)m≥1-mn+3>0，
∴ (1-mn+3)n≤[(1-1n+3)m]n<(12)m．
（3）解：假设存在正整数n0≥6使等式3n0+4n0+…+(n0+2)n0=(n0+3)n0成立，
即有(3n0+3)n0+(4n0+3)n0+…+(n0+2n0+3)n0=1． ②
又由（2）可得(3n0+3)n0+(4n0+3)n0+…+(n0+2n0+3)n0
=(1-n0n0+3)n0+(1-n0-1n0+3)n0+…+(1-1n0+3)n0<(12)n0+(12)n0-1+…+12=1-12n0<1，与②式矛盾．
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．
下同解法1．
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