2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练2(A)
解答题滚动练2(A)
1.(2018·宁夏银川一中模拟)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＝(1－cos A).
(1)求A；
(2)若a＝7，sin B＋sin C＝，求△ABC的面积.
解 (1)由于sin A＝(1－cos A)，
所以2sin cos ＝2sin2，tan ＝.
因为0
0时，g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增.
(2)当x＞0时，x2－x≤ex－ax－1，
即a≤－x－＋1.
令h(x)＝－x－＋1(x＞0)，
则h′(x)＝(x>0).
令F(x)＝ex(x－1)－x2＋1(x＞0)，
则F′(x)＝x(ex－2)(x>0).
当x∈(0，ln 2)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减；
当x∈(ln 2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增.
又F(0)＝0，F(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，F(x)＜0，
即h′(x)＜0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，F(x)＞0，
即h′(x)＞0，h(x)单调递增.
所以h(x)min＝h(1)＝e－1，所以a∈(－∞，e－1].
5.在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到定点F(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比为.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)已知P为定直线x＝3上一点.
①过点F作FP的垂线交轨迹C于点G(G不在y轴上)，求证：直线PG与OG的斜率之积是定值；
②若点P的坐标为(3，3)，过点P作动直线l交轨迹C于不同的两点R，T，线段RT上的点H
满足＝，求证：点H恒在一条定直线上.
(1)解 设M(x，y)，则|MF|＝，
点M到直线x＝3的距离d＝|x－3|，
由＝，得＝，
化简得＋＝1，
即动点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)证明 因为P为直线x＝3上的一点，
所以令P的坐标为(3，t).
①令G(x0，y0)，由FG⊥FP，
得·＝0，
即(x0－1，y0)·(2，t)＝0，即ty0＝2－2x0，
又因为点G(x0，y0)在椭圆＋＝1上，
所以y＝2－，
而PG，OG的斜率分别为kPG＝，kOG＝，
于是kPG·kOG＝＝＝＝＝－，
即直线PG与OG的斜率之积为定值－.
②令＝＝λ(λ>0)，
则＝λ，＝λ，
令点H(x，y)，R(x1，y1)，T(x2，y2)，
则
即即
由①×③，②×④，得
因为R(x1，y1)，T(x2，y2)在椭圆＋＝1上，
所以
⑤×2＋⑥×3，得
6x＋9y＝＝＝＝＝6，
即2x＋3y－2＝0，
所以点H在定直线2x＋3y－2＝0上.
6.(2018·贵州省铜仁一中期末)已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)已知A(－2，0)，B(0，2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值.
解 (1)圆C的参数方程为(θ为参数)，
所以普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4.
所以圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.
(2)点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，
又|AB|＝＝2，
∴△ABM的面积S＝×|AB|×d＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝，
∵－1≤sin≤1，
∴S≤9＋2.
所以△ABM面积的最大值为9＋2.
