【数学】黑龙江省哈三中2020届高三第五次模拟考试试题（文）

【数学】黑龙江省哈三中2020届高三第五次模拟考试试题（文）

黑龙江省哈三中2020届高三第五次模拟考试数学试题（文）‎ 第I卷 （选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数是纯虚数，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知向量，，若，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知集合，集合，则集合的子集个数 为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．设，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 设公比为3的等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 某几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图为半径为1的四分之一个圆，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7. 若圆与圆外切，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一， 根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．已知函数，，，，…，‎ 依此类推，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．正方体的棱长为2，是棱的中点，则平面截该正方体 所得的截面面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知双曲线的离心率为2，则渐近线方程为 ．‎ ‎14．设为等差数列的前项和，若，则= ． ‎ ‎15．若在不等式所表示的平面区域内随机投一点，则该点落在不等式组 所表示的平面区域内的概率为 ．‎ ‎16．函数为奇函数，当时，，则不等式 的解集为 ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知的内角的对边分别为，满足．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 如图①，在平面五边形中，是梯形，//，==‎ ‎，，是等边三角形．现将沿折起，连接，得到如图②的几何体．‎ ‎（1）若点是的中点，求证：//平面；‎ ‎（2）若平面平面，求四棱锥的体积．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在年龄为岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：‎ 年龄 ‎[20,28)‎ ‎[28,36)‎ ‎[36,44)‎ ‎[44,52)‎ ‎[52,60)‎ 支持的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎28‎ ‎17‎ ‎（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？‎ ‎44岁以下 ‎44岁及44岁以上 总计 支持 不支持 总计 ‎（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策 听证会，现从这8人中随机抽2人，求抽到的2人中恰有1人是44岁以下的概率．‎ 参考公式：．‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0．010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，证明：时，；‎ ‎（2）若对任意，均有成立，求的取值范围．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设为抛物线上的不同三点，，且，‎ 求证：直线过定点．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程，直线在轴正半轴及轴正半轴上的截距相等时的直角坐标方程；‎ ‎（2）若，设直线与曲线交于不同的两点，点，求 的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)‎ 已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为，求证：．‎ 参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D ‎ C C B D A B A B D 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ 17. 解：（1）由题知，……………………………………2分 则，则 ‎,在中,,所以,………………………4分 则………………6分 （2） 由余弦定理得,‎ 从而得，……………………………………9分 又，所以，所以的面积为.…………………………12分 ‎18.（1）证明：取中点,连接,,则是的中位线,‎ ‎………………6分 ‎（2）解：取中点,连接,是等边三角形,得,‎ 因为平面平面，平面平面 所以平面平面 ………………8分 直角梯形的面积为 …………10分 四棱锥的体积 ………………12分 ‎19．解：（1）由统计数据填列联表如下:‎ ‎44岁以下 ‎44岁及44岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 计算观测值，..................................4分 所以在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分 ‎（2）由题意可知不支持“房产限购”的人44岁以下有15人，44岁及以上有5人，‎ 按分层抽样的方法抽取8人，其中44岁以下抽取6人，用表示 ‎ ‎44岁及以上抽取2人分别用表示， ……………………..… 6分 设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A ……………………..…7分 从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有：‎ ‎，，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，，，‎ ‎，， 共28种 ………………………………..…9分 抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有：‎ ‎，，，，，，，，，，，，共12种 ……………………..…11分 ‎ 所以，抽取“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”的概率为 … 12分 ‎20. 解：（1）当时，，‎ 由于在上单调递减，存在唯一零点 知：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 知时，，即恒成立 所以为上的减函数，‎ 时，， 证毕 …………………………………………6分 ‎（2）等价于，设函数，‎ ‎，知：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎，，‎ 实数的取值范围是 ………………………………………………12分 ‎21. 解：（1）依题意，，所以………………………………4分 ‎（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，‎ 设，由得………6分 化简得，…………………………8分 解得或（舍）…………………………10分 所以直线过定点………………………………………………12分 ‎22. 解：（1），所以，‎ 由，得曲线的直角坐标方程为…………….…….3分 当直线在轴正半轴及轴正半轴截距相等时,,‎ 由得，所以，‎ 即此时直线的直角坐标方程为…………………………………..………5分 ‎（2）当时，直线的参数方程为(为参数）‎ 将直线的参数方程带入，得，‎ ‎，，………..……………...…….8分 故…………………………………...…..10分 ‎23. 解：（1）依题意，解集为 ………………………………5分 ‎（2），所以…7分 ‎……………10分