2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：解二次不等式得集合A，由集合的运算得阴影部分.‎ 详解：由题意，，‎ ‎∴阴影部分为.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查集合的运算与文氏图，掌握交、并、补运算的文氏图表示是解题基础，而解决集合的问题关键是确定集合的元素，对列举法表示的集合，集合元素可以一一列举，对描述法表示的集合一定要注意代表元形式，由代表元可确定集合上函数的定义域，还是函数的值域，或者是不等式的解集等.‎ ‎2．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求函数值判断即可求解 ‎【详解】‎ ‎∵函数在上连续且单调递增，‎ 且，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数的零点所在的区间为.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点存在性定理，熟记定理应用的条件是关键，属于基础题.‎ ‎3．下列各函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A．与（且） B．与 C．与 D．与 ‎【答案】A ‎【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．‎ ‎【详解】‎ 对于A，函数y＝x（x∈R），与y＝logaax＝x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．‎ 对于B，函数yx+1（x≠1），与y＝x+1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；‎ 对于C，函数，与（x∈R）的定义域相同，对应关系不同，不是同一函数；‎ 对于D，（x>0）与（x≠0）定义域不同，不是同一函数；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同一函数的判定，正确理解函数的定义是关键．‎ ‎4．已知是非零实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以或 ,所以是“”的既不充分也不必要条件,选D 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由不等式的解集，可知,且,再结合一元二次不等式与一元二次方程的关系,可求出的范围.‎ ‎【详解】‎ 不等式可化为，由不等式的解集为，得，则方程的两根为，，且，所以的取值范围为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.‎ ‎6．若2弧度的圆心角所对的弦长为4，则这个圆心角所对的弧长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据圆心角和弦长求得圆的半径，进而求得圆心角所对的弧长.‎ ‎【详解】‎ 画出图像如下图所示，中，，,是的中点，所以，在中，，即，所以，所以弧度的圆心角所对的弧长为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查弧长公式，考查圆的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎7．已知，是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 要使在上为减函数，必须同时满足3个条件 ‎①在上为减函数；②在上为减函数.‎ ‎③；‎ 所以，‎ 解得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的单调性及其应用问题，其中解答中涉及到分段的解析式、分段函数的单调性，以及一次函数的单调性和函数值的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中正确理解分段函数的单调性，准确得到相应的不等式组是解答的关键，试题属于易错题．‎ ‎8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 ( )．‎ A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，，；且；.‎ ‎【考点】对数函数的单调性.‎ ‎9．已知（且）恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ）‎ A． B．8 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】当x=2时,loga(x−1)+1=1恒成立，‎ 故f(x)=loga(x−1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M(2,1)，‎ ‎∵点M在直线 (m>0,n>0)上，‎ 故，则：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 即m+n的最小值为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎10．已知函数的最大值为，最小值为，则等于（ ）‎ A．0 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以是奇函数，则由奇函数的性质，又因为， ，即， ，故，即，应选答案C。‎ 点睛：解答本题的关键是理解奇函数的一个性质：由于奇函数的图像关于坐标原点成中心对称，因此若该函数若有最大值，则必存在最小值，且在对称点处取得最小值，所以最大值与最小值之和为零。利用这一性质，先将函数解析式进行变形构造奇函数，再运用奇函数的性质进行求解，使得问题获解。‎ 二、多选题 ‎11．（多选）给出下列各三角函数值：①；②；③；④．其中符号为负的是（ ）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【答案】ABCD ‎【解析】先判断各个角的象限,再根据三角函数的符号法则可得.‎ ‎【详解】‎ 因为角是第三象限角，所以；‎ 因为角是第二象限角，所以；‎ 因为，所以角是第二象限角，‎ 所以；．‎ 故选:ABCD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.‎ ‎12．我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立，下列判断正确的是（ ）‎ A．若为“函数”，则 B．若为“函数”，则在上为增函数 C．函数在上是“函数”‎ D．函数在上是“函数”‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】利用“函数”的定义对每一个命题逐一分析，必须同时满足“函数”的两个条件，才是“函数”，否则就是假命题.‎ ‎【详解】‎ A.因为对任意的，总有，所以，又因为，，则有成立，所以所以，综合得，所以若为“函数”，则，是真命题；‎ B.设所以，‎ 因为 所以若为“函数”，则在上为增函数，是真命题；‎ C.显然函数满足条件（1），如果则 所以；如果设则所以，所以函数在上是“函数”是假命题；‎ D.显然，所以满足条件（1），，所以满足条件（2）.所以函数在上是“函数”是真命题.‎ 故选：ABD ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性的证明和函数的性质，考查新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、填空题 ‎13．已知，则=______．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】把已知等式两边平方可得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果 ‎【详解】‎ 解：∵， ‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 则 故答案为：-4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 ‎14．若点是角终边上的一点，且，则______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】由正弦的定义,可得,即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意,,解得.‎ 故答案为:-4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用角的终边上任意一点(除原点)的坐标定义三角函数,属于基础题.‎ ‎15．若,是这两个函数中的较小者,则的最大值是____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】通过比较两个函数的大小,分类讨论求出函数的解析式,然后求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：.‎ 当时, ；‎ 当时, ,所以函数的最大值为1.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的最大值问题,考查了数学阅读能力和数学运算能力.‎ ‎16．函数的最小值为_______。‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】先化简函数为，再换元利用二次函数求最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令,‎ 则，‎ 因为二次函数的对称轴为，‎ 所以当时，.‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算和对数函数的性质，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 四、解答题 ‎17．已知 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为，可得＝−2，α为钝角且cosα＜0．再由sin2α+cos2α=1，求得cosα的值．‎ ‎（2）原式=，把tanα=-2代入运算求得结果．‎ 试题解析：解：（1）因为，所以cosa=‎ ‎(2)原式＝‎ ‎【考点】1.同角三角函数间的基本关系；2.三角函数的化简求值．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）画出的图像，并指出函数的单调递增区间和递减区间；‎ ‎（2）解不等式.‎ ‎【答案】(1)图见解析，单调增区间是和，单调减区间是 (2) 或 ‎【解析】（1）将去绝对值，写成分段函数的形式，由此画出图像，根据图像得出增区间和减区间.‎ ‎（2）根据分段函数解析式列不等式组，解不等式组求得的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，由此画出图像如下图所示，由图可知单调增区间是和，单调减区间是.‎ ‎（2）由已知可得或，所以或.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有绝对值的分段函数解析式图像的画法，考查分段函数不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎19．已知函数 若，求的单调区间；‎ 是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（I）单调增区间为，单调减区间为；（II）存在实数，使的最小值为0.‎ ‎【解析】根据代入函数表达式，解出，再代入原函数得，求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数的单调区间；先假设存在实数a，使的最小值为0，根据函数表达式可得真数恒成立，且真数t 的最小值恰好是1，再结合二次函数的性质，可列出式子：，由此解出，从而得到存在a的值，使的最小值为0．‎ ‎【详解】‎ 且，‎ 可得函数 真数为 函数定义域为 令 可得：当时，t为关于x的增函数；‎ 当时，t为关于x的减函数．‎ 底数为 函数的单调增区间为，单调减区间为 设存在实数a，使的最小值为0，‎ 由于底数为，可得真数恒成立，‎ 且真数t的最小值恰好是1，‎ 即a为正数，且当时，t值为1．‎ 因此存在实数，使的最小值为0．‎ ‎【点睛】‎ 本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．‎ ‎20．已知；‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；‎ ‎（2）已知函数，当时，不等式有解，求k的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数是定义域内的奇函数,证明见解析 (2) ‎ ‎【解析】（1）先求得函数的定义域，然后根据奇偶性的定义判断出的奇偶性.‎ ‎（2）首先化简表达式，利用分离常数得到，根据以及存在性列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，‎ ‎.‎ ‎ 函数的定义域为：.‎ 函数是定义域内的奇函数，证明如下 函数定义域为，关于原点对称，‎ 对任意，有，‎ 函数是定义域内的奇函数.‎ ‎（2），‎ 又，，‎ 由得，即， ，‎ 时，最小值为，‎ ‎，又，，即k的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法、奇偶性的判断，考查不等式成立的存在性问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21．辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：‎ 上市时间天 ‎4‎ ‎10‎ ‎36‎ 市场价元 ‎90‎ ‎51‎ ‎90‎ ‎（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价与上市时间的变化关系：①；②；③；‎ ‎（2）利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；‎ ‎（3）设你选取的函数为，若对任意实数，方程恒有两个相异的零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）当时，；（3）‎ ‎【解析】分析：（1）根据已知中每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，可分析出随着时间x的增加，y的值先减后增，结合一次函数，二次函数及对数函数的图象和性质，可求出恰当的函数模型；‎ ‎（2）由已知中每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，代入（1）中解析式，构造方程组，解方程组求出参数，可得函数的解析式，进而结合二次函数的图象和性质得到辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；‎ ‎（3）若方程f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的零点，则对应的△＞0，由此构造关于m的不等式，解不等式可得m的取值范围．‎ 详解：（1）因为随着时间的增加，的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，‎ 所以选取函数来描述与的函数关系 ‎ ‎（2）把点，，代入 得 所以，‎ 所以当时，，‎ 故，辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为天，最低价格为元.‎ ‎（3）由（2）知，‎ 又因为恒有两个相异的实根，‎ 则关于的方程恒有两个相异的实数根，‎ 所以恒成立，‎ 即对恒成立.‎ 所以，‎ 解得.‎ 故的取值范围为.‎ 点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，解方程；‎ ‎（2）当时，恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）若函数有零点，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) (3) 或 ‎【解析】（1）当时，利用换元法，结合一元二次方程的解法，求得方程的解.‎ ‎（2）利用换元法，构造函数，结合一元二次不等式恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎（3）利用换元法，转化为有零点来研究.当时，根据单调性列不等式，由此求得的取值范围.当时，根据二次函数对称轴（最小值）列不等式，由此求得的取值范围.综上可求得有零点时实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，设，由可得，，即 ‎，则 ‎（2）当时，设，则恒成立，设，开口向上，要使在区间上恒成立，‎ 则需，‎ ‎（3）设，则，其对称轴为，‎ 当时，在上单调递增，，当时，即时， 有一正根，此时函数有一个零点. ‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，‎ 解得或，又，所以，此时，故：‎ 当时，函数有个零点；当时，函数有个零点.‎ 综上：或时，函数有一个零点；时，函数有2个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用换元法解由指数函数、二次函数复合而成的函数的零点、不等式等问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎