山东省菏泽市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

山东省菏泽市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

‎2019—2020学年度第二学期期末考试 高一数学试题（B）‎ 一、选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数，则（ ）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数模的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查复数模，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎2. 数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（ ）‎ A. 3 B. 3.5 C. 3.6 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一组数据的百分位数定义，求出对应的数值即可.‎ ‎【详解】由660%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查分位数的定义与计算，属于简单题.‎ ‎3. 设为所在平面内一点，且，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知,然后利用向量的加法和减法法则运算即可得到答案.‎ ‎【详解】由可知,‎ 则 故选：A ‎【点睛】本题考查向量加法，减法法则的应用，属于基础题.‎ ‎4. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据侧面积得到母线长，再计算，计算体积得到答案.‎ ‎【详解】设圆锥母线长为，则侧面积为，故.‎ 故圆锥的高，圆锥体积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜二测画法原图与直观图面积的关系，求得原平面图形的面积.‎ ‎【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则.‎ 依题意，所以原平面图形的面积.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查斜二测画法的有关计算.‎ ‎6. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排的基本事件总数，再求出抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数，利用古典概型公式计算可得出答案．‎ ‎【详解】从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数为 抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数为 则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为 故选：B ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎7. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 取中点连接,‎ 因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,‎ 因为正三棱柱，所以平面平面，‎ 因此平面，‎ 从而四棱锥的体积为,‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查锥体体积、线面垂直，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8. 在中，，，，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用已知条件得到，再利用诱导公式和二倍角公式得到，又，可得；已知，可以根据正弦定理求出的长度，再根据三角形的面积公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意得：，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由正弦定理得，，‎ 即，‎ ‎，‎ 为锐角，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.‎ 二、多项选择题：本大题共4个小题.‎ ‎9. 下列命题中，正确的是（ ）‎ A. 复数的模总是非负数 B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应 C. 如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D. 相等的向量对应着相等的复数 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．‎ ‎【详解】设复数，‎ 对于A，，故A正确．‎ 对于B，复数对应的向量为，‎ 且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，‎ 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．‎ 对于B，复数对应的向量为，‎ 且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，‎ 故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．‎ 对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，‎ 故C错．‎ 对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．‎ 故选：ABD．‎ ‎【点睛】本题考查复数几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．‎ ‎10. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ）‎ A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数、平均数、方差、极差概念逐一辨析即可选择.‎ ‎【详解】因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，‎ 故选：BCD ‎【点睛】本题考查中位数、平均数、方差、极差概念，考查基本辨析能力，属基础题.‎ ‎11. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.‎ ‎【详解】，且,平方得，即，可得，故A正确；‎ ‎，可得，故B错误；‎ ‎，可得，故C正确；‎ 由可得，故D错误;‎ 故选：AC ‎【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.‎ ‎12. 如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成 ‎（点不落在底面内），若在线段上（点与，不重合），则在翻转过程中，以下命题正确的是（ ）‎ A. 存在某个位置，使 B. 存在点，使得平面成立 C. 存在点，使得平面成立 D. 四棱锥体积最大值为 ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反证法可得A、B错误，取为的中点，取的中点为，连接，可证明平面，当平面平面时，四棱锥体积最大值，利用公式可求得此时体积为.‎ ‎【详解】‎ 如图（1），取的中点为，连接，‎ 则，，故，‎ 故即．‎ 若，因为，故，而，‎ 故平面，因为平面，故，矛盾，故A错．‎ 若平面，因为平面，故，‎ 因为，，故平面，‎ 因为平面，故，但，矛盾，故B错．‎ 当平面平面时，四棱锥体积最大值，‎ 由前述证明可知，而平面平面，‎ 平面，故平面，‎ 因为为等腰直角三角形，，故，‎ 又四边形的面积为，‎ 故此时体积为，故D正确．‎ 对于C，如图（2），取为的中点，取的中点为，连接，‎ 则，而，‎ 故即四边形为平行四边形，‎ 故，因为平面，平面，故平面，‎ 故C正确．‎ 故选：CD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.‎ 三、填空题：本大题共4小题.‎ ‎13. 复数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算进行化简，由此求得正确结果.‎ ‎【详解】依题意，原式 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数除法运算，属于基础题.‎ ‎14. 若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则它的外接球的体积为____________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：通过分析可知，正方体的外接球的直径是正方体的对角线长为，由球的体积公式可得，外接球体积为.‎ 考点：球的体积.‎ ‎15. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平均数和方差列方程，解方程求得，由此求得的值.‎ ‎【详解】依题意，‎ 解得或，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，属于基础题.‎ ‎16. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量共线得，则，即可得；‎ ‎（2）计算得，则，，由条件可转化得在上有两个不同的解，故可得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由向量共线得，则，又，则；‎ ‎（2）计算得，‎ 则，‎ 又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，‎ 令，‎ 令，则，如图：‎ 所以有.‎ 故答案为：（1）；（2）‎ ‎【点睛】本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想.‎ 四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设代数形式，根据解得；‎ ‎（2）先根据复数得向量坐标，再根据向量夹角公式得结果.‎ ‎【详解】（1）设：，‎ 因为：，所以，得或，‎ 又在复平面内所对应的点在第四象限，所以；‎ ‎（2），‎ 所以，，，，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数运算、复数概念、向量夹角公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎18. 已知向量，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数量积的坐标公式得，计算即得；‎ ‎（2）先算出，，再由夹角公式列方程， 解方程即得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，即，得；‎ ‎（2），，，‎ 所以，‎ 整理得，得或 ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的夹角公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，‎ 分组的频率分布直方图如图.‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎【答案】（1）0.0125；（2）3户.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出的值．‎ ‎（2）月平均用电量在，的用户有25户，月用电量在，的用户有15户，月平均用电量在，的用户有10户，求出抽取比例为，由此能求出月平均用电量在，的用户中应该抽取的户数．‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图得：‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎（2）月平均用电量在，的用户有（户，‎ 月用电量在，的用户有（户，‎ 月平均用电量在，的用户有（户，‎ 抽取比例为：，‎ 月平均用电量在，的用户中应该抽取：（户．‎ ‎【点睛】本题考查频率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎20. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，平面平面，是棱的中点.，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是的中点，求证：平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先证得，根据面面垂直的性质定理得到平面，由此证得.‎ ‎（2）通过构造面面平行的方法来证得平面.‎ ‎【详解】（1）因为，，所以三角形是等边三角形，‎ 由于是的中点，所以.‎ 因为平面平面且两个平面的交线为，所以平面，‎ 又平面，所以.‎ ‎（2）取中点，连结，.‎ 因为是的中点，是的中点，‎ 所以在中，，‎ 由于平面，平面，所以平面.‎ 又在三棱柱中，‎ 所以，即，且.‎ 所以四边形平行四边形，所以，‎ 由于平面，平面，所以平面.‎ 因为，‎ 所以平面平面，又平面.‎ 所以平面.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎21. 在平面四边形中，已知，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在中，利用余弦定理求出，进而在中求出；‎ ‎(2)在和中分别使用余弦定理表示，联立方程组可得出的值．‎ ‎【详解】(1)在中，，，，‎ ‎，得，‎ 所以，，；‎ ‎(2)在中，由余弦定理得，‎ 在中，由余弦定理得，，‎ 得，所以为定值1.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合思想和计算能力，属于基础题．‎ ‎22. 为进一步增强全市中小学学生和家长的防溺水安全意识，特在全市开展“防溺水安全教育”主题宣传活动.该市水利部门在水塘等危险水域设置警示标志，警示标志如下图所示.其中，，均为正方形，且，.其中，为加强支撑管.‎ ‎（1）若时，求到地面距离；‎ ‎（2）若记，求支撑管最长为多少？‎ ‎【答案】（1）米；（2）3米.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算可得到的距离，即可求解；‎ ‎（2）在中，分别应用余弦定理和正弦定理，以及辅助角公式和正弦函数的值域，即可求得其最大值，得到答案.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 点离的距离，‎ 所以点离地面的距离为米；‎ ‎（2）在中，由于，‎ 利用余弦定理得，所以，‎ 设，‎ 在中，利用余弦定理得，‎ 所以，①‎ 在中，由正弦定理得，‎ 所以，②‎ ‎②代入①式得，其中，‎ 所以当时，最大，最大值为，‎ 所以加强钢管最长为3米.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎