高三数学总复习学案36

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高三数学总复习学案36

学案36 基本不等式及其应用 导学目标: 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 自主梳理 ‎1.基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件:____________.‎ ‎(2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号.‎ ‎2.几个重要的不等式 ‎(1)a2+b2≥________ (a,b∈R).‎ ‎(2)+≥____(a,b同号).‎ ‎(3)ab≤2 (a,b∈R).‎ ‎(4)2____.‎ ‎3.算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式可叙述为:________________________________________________.‎ ‎4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 ‎(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当________时,x+y有最____值是________(简记:积定和最小).‎ ‎(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当________时,xy有最____值是__________(简记:和定积最大).‎ 自我检测 ‎1.“a>b>‎0”‎是“ab<”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.(2011·南平月考)已知函数f(x)=x,a、b∈(0,+∞),A=f,B=f(),C=f,则A、B、C的大小关系是(  )‎ A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A ‎3.下列函数中,最小值为4的函数是(  )‎ A.y=x+ B.y=sin x+(00,≤a恒成立,则a的取值范围为________________.‎ 探究点一 利用基本不等式求最值 例1 (1)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值;‎ ‎(2)已知x<,求函数y=4x-2+的最大值;‎ ‎(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.‎ 变式迁移1 (2011·重庆)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是(  )‎ A. B.4‎ C. D.5‎ 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+)(1+)≥9.‎ 变式迁移2 已知x>0,y>0,z>0.‎ 求证:≥8.‎ 探究点三 基本不等式的实际应用 例3 (2011·镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).‎ ‎(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;‎ ‎(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?‎ ‎(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)‎ 变式迁移3 (2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.‎ ‎(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.‎ ‎(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?‎ ‎(注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)‎ ‎1.a2+b2≥2ab对a、b∈R都成立;≥成立的条件是a,b∈R+;+≥2成立的条件是ab>0,即a,b同号.‎ ‎2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值.‎ ‎3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数y=ax+,当a>0,b<0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当a<0,b>0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;当a>0,b>0时函数在,上是减函数,在,上是增函数;当a<0,b<0时,可作如下变形:y=-来解决最值问题.‎ ‎ ‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.设a>0,b>0,若是‎3a与3b的等比中项,则+的最小值为(  )‎ A.8 B.‎4 ‎ C.1 D. ‎2.(2011·鞍山月考)已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(  )‎ A.2 B.‎4 ‎ C.6 D.8‎ ‎3.已知a>0,b>0,则++2的最小值是(  )‎ A.2 B.‎2‎ C.4 D.5‎ ‎4.一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长‎400 km,为了安全,两列车之间的距离不得小于‎2 km,那么这批货物全部运到B市,最快需要(  )‎ A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h ‎5.(2011·宁波月考)设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by (a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为(  )‎ A. B. C. D.4‎ 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.(2010·浙江)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.‎ ‎7.(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是________.‎ ‎8.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为__________________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)(1)已知00).‎ ‎(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少?‎ ‎(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?‎ ‎11.(14分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).‎ ‎(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;‎ ‎(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值.‎ 学案36 基本不等式及其应用 自主梳理 ‎1.(1)a>0,b>0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤‎ ‎3.  两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)x=y 小 2 (2)x=y 大  自我检测 ‎1.A 2.A 3.C ‎4.大 -2-1 5.[,+∞)‎ 课堂活动区 例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件.‎ 解 (1)∵x>0,y>0,+=1,‎ ‎∴x+y=(x+y) ‎=++10≥6+10=16.‎ 当且仅当=时,上式等号成立,又+=1,‎ ‎∴x=4,y=12时,(x+y)min=16.‎ ‎(2)∵x<,∴5-4x>0.‎ y=4x-2+=-+3‎ ‎≤-2 +3=1,‎ 当且仅当5-4x=,‎ 即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.‎ ‎(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,‎ ‎∴+=1.‎ ‎∴x+y=(x+y)=10++ ‎=10+2 ‎≥10+2×2× =18,‎ 当且仅当=,即x=2y时取等号.‎ 又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6.‎ ‎∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.‎ 变式迁移1 C [∵a+b=2,∴=1.‎ ‎∴+=(+)()=+(+)≥+2=(当且仅当=,即b=‎2a时,“=”成立),故y=+的最小值为.]‎ 例2 解题导引 “‎1”‎的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法.‎ 在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的一种方法.‎ 证明 方法一 因为a>0,b>0,a+b=1,‎ 所以1+=1+=2+.‎ 同理1+=2+.‎ 所以(1+)(1+)=(2+)(2+)‎ ‎=5+2(+)≥5+4=9.‎ 所以(1+)(1+)≥9(当且仅当a=b=时等号成立).‎ 方法二 (1+)(1+)=1+++ ‎=1++=1+,‎ 因为a,b为正数,a+b=1,‎ 所以ab≤()2=,于是≥4,≥8,‎ 因此(1+)(1+)≥1+8=9(当且仅当a=b=时等号成立).‎ 变式迁移2 证明 ∵x>0,y>0,z>0,‎ ‎∴+≥>0,‎ +≥>0,‎ +≥>0.‎ ‎∴ ‎≥=8.‎ 当且仅当x=y=z时等号成立.‎ 所以(+)(+)(+)≥8.‎ 例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为:‎ →→→→ ‎2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案.‎ 解 (1)依题意得 y=(560+48x)+ ‎=560+48x+ (x≥10,x∈N*).‎ ‎(2)∵x>0,∴48x+ ‎≥2=1 440,‎ 当且仅当48x=,即x=15时取到“=”,‎ 此时,平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元).‎ 答 当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.‎ 变式迁移3 解 (1)由题意可设3-x=,‎ 将t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3-.‎ 当年生产x万件时,‎ ‎∵年生产成本=年生产费用+固定费用,‎ ‎∴年生产成本为32x+3=32+3.‎ 当销售x(万件)时,年销售收入为 ‎150%+t.‎ 由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润y= (t≥0).‎ ‎(2)y==50- ‎≤50-2=50-2=42(万元),‎ 当且仅当=,即t=7时,ymax=42,‎ ‎∴当促销费投入7万元时,企业的年利润最大.‎ 课后练习区 ‎1.B [因为‎3a·3b=3,所以a+b=1,‎ +=(a+b)=2++ ‎≥2+2=4,当且仅当=即a=b=时,“=”成立.]‎ ‎2.B [不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a++≥a+2+1≥9,‎ ‎∴≥2或≤-4(舍去).‎ ‎∴正实数a的最小值为4.]‎ ‎3.C [因为++2≥2+2 ‎=2≥4,当且仅当=且 =,‎ 即a=b=1时,取“=”号.]‎ ‎4.B [第一列货车到达B市的时间为 h,由于两列货车的间距不得小于‎2 km,所以第17列货车到达时间为+=+≥8,当且仅当=,即a=‎100 km/h时成立,所以最快需要8 h.]‎ ‎5.A ‎6.18‎ 解析 由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得 xy≥2+6(当且仅当2x=y时,取“=”),‎ 即()2-2-6≥0,‎ ‎∴(-3)·(+)≥0.‎ 又∵>0,∴≥3,即xy≥18.‎ 故xy的最小值为18.‎ ‎7.4‎ 解析 过原点的直线与f(x)=交于P、Q两点,则直线的斜率k>0,设直线方程为y=kx,由得或 ‎∴P(,),Q(-,-)或P(-,-),Q(,).‎ ‎∴|PQ|= ‎=2≥4.‎ ‎8.(-∞,2-1)‎ 解析 由f(x)>0得32x-(k+1)·3x+2>0,解得k+1<3x+,而3x+≥2,∴k+1<2‎ ,k<2-1.‎ ‎9.解 (1)∵0
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