高考数学专题复习练习：8_6　空间向量及其运算

高考数学专题复习练习：8_6　空间向量及其运算

‎1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 ‎0‎ 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎2.空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.‎ ‎(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．‎ ‎(3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．‎ ‎3．空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a ‎⊥b.‎ ‎②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ cos〈a，b〉＝ ‎【知识拓展】‎ ‎1．向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．‎ ‎2．向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　√　)‎ ‎(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)‎ ‎(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)‎ ‎(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　×　)‎ ‎(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)‎ ‎1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)‎ A．a2 B.a2 C.a2 D.a2‎ 答案　C 解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.＝(a＋b)，＝c，‎ ‎∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.‎ ‎2．(2016·大连模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是(　　)‎ A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 答案　C 解析　因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，‎ 所以a∥c.‎ 又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，‎ 所以a⊥b.故选C.‎ ‎3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是________________________．‎ 答案　和 解析　因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)．‎ ‎4.如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)‎ 答案　a＋b＋c 解析　＝＋＝＋＋ ‎＝a＋b＋c.‎ ‎5．(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________．‎ 答案　 解析　||2＝2＝(＋＋)2‎ ‎＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)‎ ‎＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)‎ ‎＝2，‎ ‎∴||＝，∴EF的长为.‎ 题型一　空间向量的线性运算 例1　(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．‎ 用，，表示，则＝________________.‎ 答案　＋＋ 解析　＝＝(＋)，‎ ‎∴＝＋＝(＋)＋ ‎＝＋＋.‎ ‎(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.‎ 解　＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋[(＋)－]‎ ‎＝－＋＋.‎ ＝＋＝－＋＋ ‎＝＋＋.‎ 思维升华　用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．‎ ‎　(2016·青岛模拟)如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)＋.‎ 解　(1)因为P是C1D1的中点，‎ 所以＝＋＋ ‎＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎(2)因为M是AA1的中点，‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－a＋(a＋c＋b)‎ ‎＝a＋b＋c.‎ 又＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，‎ 所以＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)‎ ‎＝a＋b＋c.‎ 题型二　共线定理、共面定理的应用 例2　(2016·天津模拟)如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．‎ ‎(1)求证：E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)求证：BD∥平面EFGH；‎ ‎(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．‎ 证明　(1)连接BG，‎ 则＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋＋ ‎＝＋，‎ 由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)因为＝－ ‎＝－ ‎＝(－)＝，‎ 所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ ‎(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.‎ 由(2)知＝，‎ 同理＝，‎ 所以＝，即EH綊FG，‎ 所以四边形EFGH是平行四边形，‎ 所以EG，FH交于一点M且被M平分．‎ 故＝(＋)‎ ‎＝＋ ‎＝[(＋)]＋[(＋)]‎ ‎＝(＋＋＋)．‎ 思维升华　(1)证明空间三点P，A，B共线的方法 ‎①＝λ(λ∈R)；‎ ‎②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；‎ ‎③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．‎ ‎(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法 ‎①＝x＋y；‎ ‎②对空间任一点O，＝＋x＋y；‎ ‎③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；‎ ‎④∥(或∥或∥)．‎ ‎　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．‎ ‎(1)判断，，三个向量是否共面；‎ ‎(2)判断点M是否在平面ABC内．‎ 解　(1)由题意知＋＋＝3，‎ ‎∴－＝(－)＋(－)‎ 即＝＋＝－－，‎ ‎∴，，共面．‎ ‎(2)由(1)知，，共面且基线过同一点M，‎ ‎∴M，A，B，C四点共面．‎ 从而点M在平面ABC内．‎ 题型三　空间向量数量积的应用 例3　(2017·济南月考)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.‎ ‎(1)求线段AC1的长；‎ ‎(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；‎ ‎(3)求证：AA1⊥BD.‎ ‎(1)解　设＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.‎ ‎∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，‎ ‎∴||＝|a＋b＋c|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎∴线段AC1的长为.‎ ‎(2)解　设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，‎ 则cos θ＝|cos〈，〉|＝.‎ ‎∵＝a＋b＋c，＝b－c，‎ ‎∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，‎ ‎||＝＝ ‎＝＝.‎ ‎∴cos θ＝＝||＝.‎ 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.‎ ‎(3)证明　∵＝c，＝b－a，‎ ‎∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，‎ ‎∴⊥，∴AA1⊥BD.‎ 思维升华　(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；‎ ‎(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；‎ ‎(3)可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．‎ ‎　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.‎ ‎(1)求的长；‎ ‎(2)求与夹角的余弦值．‎ 解　(1)记＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎∴a·b＝b·c＝c·a＝.‎ ‎||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，‎ ‎∴||＝，即AC1的长为.‎ ‎(2)＝b＋c－a，＝a＋b，‎ ‎∴||＝，||＝，‎ ·＝(b＋c－a)·(a＋b)‎ ‎＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ 即与夹角的余弦值为.‎ ‎18．坐标法在立体几何中的应用 典例　(12分)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．‎ ‎(1)求的模；‎ ‎(2)求cos〈，〉的值；‎ ‎(3)求证：A1B⊥C1M.‎ 思想方法指导　利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解．‎ 规范解答 ‎(1)解　如图，建立空间直角坐标系．‎ 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，‎ 所以||＝＝.[2分]‎ ‎(2)解　依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)．‎ 所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，‎ ·＝3，||＝，||＝，‎ 所以cos〈，〉＝ ‎＝.[6分]‎ ‎(3)证明　依题意得C1(0,0,2)，M(，，2)，‎ ＝(－1,1，－2)，‎ ＝(，，0)．[9分]‎ 所以·＝－＋＋0＝0，‎ 所以⊥，即A1B⊥C1M.[12分]‎ ‎1．在下列命题中：‎ ‎①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；‎ ‎②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；‎ ‎③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；‎ ‎④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　A 解析　a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.‎ ‎2．(2017·郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于(　　)‎ A．9 B．－9 C．－3 D．3‎ 答案　B 解析　由题意知c＝xa＋yb，‎ 即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，‎ ‎∴解得λ＝－9.‎ ‎3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)‎ A．－2 B．－ C. D．2‎ 答案　D 解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，‎ 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.‎ ‎4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1‎ 的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ A. B. C．1 D. 答案　D 解析　∵＝＋＋，‎ ‎∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ‎＝1＋1＋1－＝3－，‎ 故||＝.‎ ‎5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 答案　C 解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 所以异面直线a，b所成的角等于60°，‎ 故选C.‎ ‎6．(2016·深圳模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)‎ A.a B.a C.a D.a 答案　A 解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)．‎ 设M(x，y，z)，‎ ‎∵点M在AC1上且 ‎＝，‎ ‎∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，‎ ‎∴x＝a，y＝，z＝.‎ ‎∴M(，，)，‎ ‎∴||＝ ‎＝a.‎ ‎7．A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个)‎ 答案　锐角 解析　因为·＝(－)·(－)‎ ‎＝·－·－·＋2‎ ‎＝2>0，‎ 所以∠CBD为锐角．‎ 同理∠BCD，∠BDC均为锐角．‎ ‎8．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为______________．‎ 答案　，， 解析　如图所示，取BC的中点E，连接AE.‎ ＝＝(＋)‎ ‎＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－＋－)‎ ‎＝(＋＋)，‎ ‎∴x＝y＝z＝.‎ ‎9．(2016·合肥模拟)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.‎ 答案　(3，－2,2)‎ 解析　因为a∥b，所以＝＝，‎ 解得x＝2，y＝－4，‎ 此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，‎ 又因为b⊥c，所以b·c＝0，‎ 即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．‎ ‎10．(2016·天津模拟)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，‎ ‎①(＋＋)2＝32；‎ ‎②·(－)＝0；‎ ‎③向量与向量的夹角是60°；‎ ‎④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.‎ 其中正确的序号是________．‎ 答案　①②‎ 解析　①中，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正确；②中，－＝，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但与的夹角为120°‎ ‎，故③不正确；④中，|··|＝0，故④也不正确．‎ ‎*11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ‎①A1M∥D1P；‎ ‎②A1M∥B1Q；‎ ‎③A1M∥平面DCC1D1；‎ ‎④A1M∥平面D1PQB1.‎ 以上正确说法的个数为________．‎ 答案　3‎ 解析　＝＋＝＋，＝＋＝＋，‎ ‎∴∥，‎ ‎∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，‎ A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.‎ ‎①③④正确．‎ ‎12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：‎ ‎(1)·；(2)·；‎ ‎(3)EG的长；‎ ‎(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．‎ 解　(1)设＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ＝＝c－a，＝－a，＝b－c.‎ ·＝·(－a)‎ ‎＝a2－a·c＝.‎ ‎(2)·＝(c－a)·(b－c)‎ ‎＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.‎ ‎(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ‎＝－a＋b＋c，‎ ‎||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.‎ ‎(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，‎ cos〈，〉＝＝－，‎ 由于异面直线所成角的范围是，‎ 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.‎ ‎*13.(2016·沈阳模拟)如图，在直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．‎ ‎(1)求证：CE⊥A′D；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．‎ ‎(1)证明　设＝a，＝b，＝c，‎ 根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，‎ 且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∴＝b＋c，＝－c＋b－a.‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0.‎ ‎∴⊥，即CE⊥A′D.‎ ‎(2)解　∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.‎ ·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎ ‎14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．‎ ‎(1)试用a，b，c表示；‎ ‎(2)求证：MN∥平面ABB1A1.‎ ‎(1)解　∵＝－＝c－a，‎ ‎∴＝＝(c－a)．‎ 同理，＝(b＋c)，‎ ‎∴＝－＝(b＋c)－(c－a)＝(b＋a)＝a＋b.‎ ‎(2)证明　∵＝＋＝a＋b，‎ ‎∴＝，即MN∥AB1，‎ ‎∵AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，‎ ‎∴MN∥平面ABB1A1.‎