西城区2016届高三一模数学（文）试题

西城区2016届高三一模数学（文）试题

北京市西城区2016年高三一模试卷 ‎ 数 学（文科） 2016.4‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． ‎ ‎1. 设集合，集合，则（ ）‎ ‎ （A） ‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2. 设命题p：，则p为（ ）‎ ‎（A） ‎ ‎ （B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） ‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎ （C）‎ ‎（D）‎ 甲队 乙队 ‎8‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎1‎ m ‎8‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示. 若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ）‎ ‎ （A） ‎ ‎ （B）‎ ‎ （C）‎ ‎ （D）‎ ‎5. 在平面直角坐标系中，向量＝(1, 2)，＝(2, m) ， 若O, A, B三点能构成三角形，则（ ） ‎ ‎ （A）‎ ‎ （B）‎ ‎ （C）‎ ‎ （D）‎ ‎6. 执行 如图所示的程序框图，若输入的分别为0, 1，则输出的（ ）‎ 输出 是 否 输入A,‎ 开始 结束 ‎（A）4‎ ‎（B）16‎ ‎（C）27‎ ‎（D）36‎ ‎7. 设函数，则“”是 ‎ “函数在上存在零点”的（ ）‎ ‎ （A）充分而不必要条件 ‎ ‎ （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 ‎ ‎ （D）既不充分也不必要条件 ‎8. 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）‎ ‎ （A）最多可以购买4份一等奖奖品 ‎ （B）最多可以购买16份二等奖奖品 ‎ （C）购买奖品至少要花费100元 ‎ （D）共有20种不同的购买奖品方案 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9. 在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____.‎ ‎10．在△ABC中，，，，则_____.‎ ‎11．若圆与双曲线C：的渐近线相切，则_____；双曲线C的 渐近线方程是____.‎ 侧(左)视图 正(主)视图 俯视图 ‎1‎ ‎1‎ ‎12．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____.‎ ‎13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：‎ 涂料1‎ 涂料2‎ 涂料3‎ ‎ 16元/ m2‎ ‎18元/ m2‎ ‎20元/ m2‎ 房间A 房间B 房间C ‎ 35 m2‎ ‎20 m2‎ ‎28 m2‎ 那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元. ‎ ‎14. 设函数 则______；若，，则的大小关系是______.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ ‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎ （Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值.‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知等差数列的公差，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设，记数列前n项的乘积为，求的最大值.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎ 如图，在四棱柱中，底面，，，.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面；‎ ‎ （Ⅱ）求证：； ‎ D1‎ D ‎ A ‎ C1‎ A1 ‎ B1‎ B C ‎（Ⅲ）若，判断直线与平面是否垂直？并说明理由.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.‎ O ‎ 体育成绩 ‎ 45 55 65 75 85 95‎ u ‎14‎ ‎2‎ u u u u u u u u u ‎4‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎8‎ 各分数段人数 ‎（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最大时，写出的值.（结论不要求证明）‎ ‎（注：，其中为数据的平均数）‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；‎ ‎ （Ⅱ） 设动直线与y轴相交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的最小值.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知函数，且.‎ ‎ （Ⅰ）求的解析式； ‎ ‎ （Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方. ‎ 北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准 ‎ 高三数学（文科） ‎ ‎ 2016.4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．B 2．A 3．B 4．C ‎ ‎5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9． 10． 11. ‎ ‎12． 13．1464 14． ‎ 注：第11，14题第一问2分，第二问3分. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分） ‎ ‎（Ⅰ）解：因为 ‎ ……………… 4分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ……………… 6分 ‎ 所以函数的最小正周期为. ……………… 7分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得. ……………… 8分 ‎ 因为， ‎ ‎ 所以， ‎ 所以.‎ 所以. ……………… 11分 ‎ 且当时，取到最大值；‎ ‎ 当时，取到最小值. ……………… 13分 ‎16．（本小题满分13分） ‎ ‎（Ⅰ）（Ⅰ）解：由题意，得 ……………… 3分 ‎ 解得 或（舍）. ……………… 5分 ‎ 所以． ……………… 7分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以只需求出的最大值. ……………… 9分 ‎ 由（Ⅰ），得.‎ 因为， ……………… 11分 所以当，或时，取到最大值. ‎ 所以的最大值为. ……………… 13分 ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，‎ ‎ 所以平面. ………… 2分 D1‎ D ‎ A ‎ C1‎ A1 ‎ B1‎ B C ‎ 因为，平面，平面，‎ ‎ 所以平面.‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 所以平面平面. ………… 3分 ‎ 又因为平面，‎ ‎ 所以平面. ……………… 4分 ‎（Ⅱ）证明：因为底面, 底面，‎ 所以. ……………… 5分 ‎ 又因为,,‎ 所以平面. ……………… 7分 ‎ 又因为底面，‎ ‎ 所以. ……………… 9分 ‎（Ⅲ）结论：直线与平面不垂直. ……………… 10分 ‎ 证明：假设平面，‎ ‎ 由平面，得. ……………… 11分 ‎ 由棱柱中，底面，‎ ‎ 可得，，‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 所以平面，‎ ‎ 所以. ……………… 12分 ‎ 又因为，‎ ‎ 所以平面， ‎ ‎ 所以. ……………… 13分 ‎ 这与四边形为矩形，且矛盾，‎ ‎ 故直线与平面不垂直. ……………… 14分 ‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，………………2分 ‎ ‎ 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人. ……4分 ‎ ‎（Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在”为事件， ………………5分 ‎ ‎ 记体育成绩在的数据为，， 体育成绩在的数据为，，， ‎ ‎ 则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种， 它们是：，， ‎ ‎ ，， ，，，，，. ‎ ‎ 而事件的结果有7种，它们是：，，，， ，，， ………………7分 ‎ 因此事件的概率. ………………9分 ‎（Ⅲ）解： a，b，c的值分别是为，，. ………………13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：因为椭圆C：， ‎ ‎ 所以，， ………………1分 ‎ 故，解得，‎ ‎ 所以椭圆的方程为. ………………3分 因为，‎ ‎ 所以离心率. ………………5分 ‎（Ⅱ）解：由题意，直线的斜率存在，设点，‎ ‎ 则线段的中点的坐标为，‎ ‎ 且直线的斜率， ………………7分 ‎ 由点关于直线的对称点为，得直线，‎ ‎ 故直线的斜率为，且过点，‎ ‎ 所以直线的方程为：， ………………9分 ‎ 令，得，则，‎ ‎ 由，得，‎ ‎ 化简，得. ………………11分 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ………………13分 ‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ ‎ 所以的最小值为. ……………… 14分 ‎ ‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：对求导，得， …………………1分 ‎ 所以，解得，‎ ‎ 所以. …………………3分 ‎（Ⅱ）解：由，得，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以对于任意，都有. …………………4分 设，则 . ‎ ‎ 令 ，解得. …………………5分 当x变化时，与的变化情况如下表： ‎ 极大值 所以当时，. …………………7分 ‎ 因为对于任意，都有成立，‎ 所以 . ‎ 所以的最小值为. …………………8分 ‎（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，‎ ‎ 即要证，‎ ‎ 所以只要证. ‎ ‎ 由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）. ‎ 所以只要证明当时，即可. …………………10分 设，‎ 所以，‎ 令，解得.‎ 由，得，所以在上为增函数.‎ ‎ 所以，即.‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 故函数的图象在直线的下方. …………‎