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文档介绍
2014年四川省高考数学试卷(理科)
2014年四川省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=( ) A.{﹣1,0,1,2} B.{﹣2,﹣1,0,1} C.{0,1} D.{﹣1,0} 2.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10 3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点( ) A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D.向右平行移动1个单位长度 4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.> B.< C.> D.< 5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=( ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是( ) A.[,1] B.[,1] C.[,] D.[,1] 9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题: ①f(﹣x)=﹣f(x); ②f()=2f(x) ③|f(x)|≥2|x| 其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①② 10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 11.(5分)复数= . 12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[ ﹣1,1)时,f(x)=,则f()= . 13.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73) 14.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是 . 15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”; ②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值; ③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B. ④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+). (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值. 17.(12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 18.(12分)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP. (1)证明:P是线段BC的中点; (2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 19.(12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*). (1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn; (2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn. 20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q. ①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点); ②当最小时,求点T的坐标. 21.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. (1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围. 2014年四川省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=( ) A.{﹣1,0,1,2} B.{﹣2,﹣1,0,1} C.{0,1} D.{﹣1,0} 【分析】计算集合A中x的取值范围,再由交集的概念,计算可得. 【解答】解:A={x|﹣1≤x≤2},B=Z, ∴A∩B={﹣1,0,1,2}. 故选:A. 【点评】本题属于容易题,集合知识是高中部分的基础知识,也是基础工具,高考中涉及到对集合的基本考查题,一般都比较容易,且会在选择题的前几题,考生只要够细心,一般都能拿到分. 2.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10 【分析】利用二项展开式的通项公式求出(1+x)6的第r+1项,令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可. 【解答】解:(1+x)6展开式中通项Tr+1=C6rxr, 令r=2可得,T3=C62x2=15x2, ∴(1+x)6展开式中x2项的系数为15, 在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为:15. 故选:C. 【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础,计算准确是关键. 3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点( ) A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D.向右平行移动1个单位长度 【分析】根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+),利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 【解答】解:∵y=sin(2x+1)=sin2(x+),∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度, 即可得到函数y=sin(2x+1)的图象, 故选:A. 【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.> B.< C.> D.< 【分析】利用特例法,判断选项即可. 【解答】解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1, 则,,∴A、B不正确; ,=﹣, ∴C不正确,D正确. 解法二: ∵c<d<0, ∴﹣c>﹣d>0, ∵a>b>0, ∴﹣ac>﹣bd, ∴, ∴. 故选:D. 【点评】本题考查不等式比较大小,特值法有效,导数计算正确. 5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】算法的功能是求可行域内,目标函数S=2x+y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐标,得出最大值. 【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值, 画出可行域如图: 当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2. 故选:C. 【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键. 6.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 【分析】分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论. 【解答】解:最左端排甲,共有=120种,最左端只排乙,最右端不能排甲,有=96种, 根据加法原理可得,共有120+96=216种. 故选:B. 【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题. 7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=( ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 【分析】由已知求出向量的坐标,再根据与的夹角等于与的夹角,代入夹角公式,构造关于m的方程,解方程可得答案. 【解答】解:∵向量=(1,2),=(4,2), ∴=m+=(m+4,2m+2), 又∵与的夹角等于与的夹角, ∴=, ∴=, ∴=, 解得m=2, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,难度中档. 8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是( ) A.[,1] B.[,1] C.[,] D.[,1] 【分析】由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出. 【解答】解:由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪. 不妨取AB=2. 在Rt△AOA1中,==. sin∠C1OA1=sin(π﹣2∠AOA1)=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=, =1. ∴sinα的取值范围是. 故选:B. 【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法,考查了推理能力,属于中档题. 9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题: ①f(﹣x)=﹣f(x); ②f()=2f(x) ③|f(x)|≥2|x| 其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①② 【分析】根据已知中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后综合判断结果,可得答案. 【解答】解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1), ∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x),即①正确; f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln()﹣ln()=ln()=ln[()2]=2ln()=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x),故②正确; 当x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|⇔f(x)﹣2x≥0,令g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x(x∈[0,1)) ∵g′(x)=+﹣2=≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g(x)=f(x)﹣2x≥g(0)=0, 又f(x)≥2x,又f(x)与y=2x为奇函数,所以|f(x)|≥2|x|成立,故③正确; 故正确的命题有①②③, 故选:A. 【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了对数的运算性质,代入法求函数的解析式等知识点,难度中档. 10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D. 【分析】可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及•=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题. 【解答】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2), 直线AB与x轴的交点为M(m,0), 由⇒y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1•y2=﹣m, ∵•=2,∴x1•x2+y1•y2=2, 结合及,得, ∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1•y2=﹣2,故m=2. 不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又, ∴S△ABO+S△AFO═×2×(y1﹣y2)+×y1, =. 当且仅当,即时,取“=”号, ∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B. 【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点: 1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高. 3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 11.(5分)复数= ﹣2i . 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果. 【解答】解:复数===﹣2i, 故答案为:﹣2i. 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题. 12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()= 1 . 【分析】由函数的周期性f(x+2)=f(x),将求f()的值转化成求f()的值. 【解答】解:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数, ∴=1. 故答案为:1. 【点评】本题属于容易题,是考查函数周期性的简单考查,学生在计算时只要计算正确,往往都能把握住,在高考中,属于“送分题”. 13.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 60 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73) 【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义,算出CD、BD的长,从而可得BC,即为河流在B、C两地的宽度. 【解答】解:过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D, 则Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m, AB=,根据正弦定理,, 得BC===60m. 故答案为:60m. 【点评】本题给出实际应用问题,求河流在B、C两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识,属于中档题. 14.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是 5 . 【分析】先计算出两条动直线经过的定点,即A和B,注意到两条动直线相互垂直的特点,则有PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值. 【解答】解:由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0), 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点B(1,3), 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点, 则有PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10. 故|PA|•|PB|≤=5(当且仅当时取“=”) 故答案为:5 【点评】本题是直线和不等式的综合考查,特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口,从而有|PA|2+|PB|2是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合,不容易想到,是个灵活的好题. 15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”; ②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值; ③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B. ④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B. 其中的真命题有 ①③④ .(写出所有真命题的序号) 【分析】根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论. 【解答】解:(1)对于命题①,若对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.反之,f(x)的值域为R,则对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,故①是真命题; (2)对于命题②,若函数f(x)∈B,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[﹣M,M]. ∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x)无最大值,无最小值,故②是假命题; (3)对于命题③,若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)值域为R,f(x)∈(﹣∞,+∞),并且存在一个正数M,使得﹣M≤g(x)≤M.故f(x)+g(x)∈(﹣∞,+∞). 则f(x)+g(x)∉B,故③是真命题; (4)对于命题④,∵﹣≤≤, 当a>0或a<0时,aln(x+2)∈(﹣∞,+∞),f(x)均无最大值,若要使f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)∈B,故④是真命题. 故答案为①③④. 【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件,还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大,也有一定的思维难度,属于难题. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+). (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值. 【分析】(1)令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,可得函数的增区间. (2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,可得sin(α+)=cos(α+)cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα)2=.再由α是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得cosα﹣sinα 的值. 【解答】解:(1)∵函数f(x)=sin(3x+),令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈Z, 求得 ﹣≤x≤+,故函数的增区间为[﹣,+],k∈Z. (2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α, ∴sin(α+)=cos(α+)cos2α,即sin(α+)=cos(α+)(cos2α﹣sin2α), ∴sinαcos+cosαsin=(cosαcos﹣sinαsin)(cosα﹣sinα)(cosα+sinα) 即 (sinα+cosα)=•(cosα﹣sinα)2(cosα+sinα), 又∵α是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0, 当sinα+cosα=0时,tanα=﹣1,sinα=,cosα=﹣ ,此时cosα﹣sinα=﹣. 当sinα+cosα≠0时,此时cosα﹣sinα=﹣. 综上所述:cosα﹣sinα=﹣或﹣. 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 17.(12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【分析】(1)设每盘游戏获得的分数为X,求出对应的概率,即可求X的分布列; (2)求出有一盘出现音乐的概率,独立重复试验的概率公式即可得到结论. (3)计算出随机变量的期望,根据统计与概率的知识进行分析即可. 【解答】解:(1)X可能取值有﹣200,10,20,100. 则P(X=﹣200)=, P(X=10)== P(X=20)==, P(X=100)==, 故分布列为: X ﹣200 10 20 100 P 由(1)知,每盘游戏出现音乐的概率是p=+=, 则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣. 由(1)知,每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E(X)=(﹣200)×+10×+20××100=﹣=. 这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知:许多人经过若干盘游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少. 【点评】本题主要考查概率的计算,以及离散型分布列的计算,以及利用期望的计算,考查学生的计算能力. 18.(12分)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP. (1)证明:P是线段BC的中点; (2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【分析】(1)用线面垂直的性质和反证法推出结论, (2)先建空间直角坐标系,再求平面的法向量,即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解:(1)由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥A﹣BCD中: 平面ABD⊥平面CBD,AB=AD=BD=CD=CB=2 设O为BD的中点,连接OA,OC 于是OA⊥BD,OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC 因为M,N分别为线段AD,AB的中点,所以MN∥BD,MN⊥NP,故BD⊥NP 假设P不是线段BC的中点,则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线 从而BD⊥平面ABC,这与∠DBC=60°矛盾,所以P为线段BC的中点 (2)以O为坐标原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,),M(,O,),N(,0,),P(,,0) 于是,, 设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和 由,则,设z1=1,则 由,则,设z2=1,则 cos=== 所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值 【点评】本题考查线线的位置关系,考查二面角知识的应用,解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤,属于中档题. 19.(12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*). (1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn; (2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn. 【分析】(1)由于点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上,可得 ,又等差数列{an}的公差为d,利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点 (a8,4b7)在函数f(x)的图象上,可得=b8,进而得到=4=2d,解得d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出. (2)利用导数的几何意义可得函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程,即可解得a2.进而得到an,bn.再利用“错位相减法”即可得出. 【解答】解:(1)∵点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上, ∴, 又等差数列{an}的公差为d, ∴==2d, ∵点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上, ∴=b8, ∴=4=2d,解得d=2. 又a1=﹣2,∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n. (2)由f(x)=2x,∴f′(x)=2xln2, ∴函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为, 又,令y=0可得x=, ∴,解得a2=2. ∴d=a2﹣a1=2﹣1=1. ∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n, ∴bn=2n. ∴. ∴Tn=+…++, ∴2Tn=1+++…+, 两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣ = =. 【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”,属于难题. 20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q. ①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点); ②当最小时,求点T的坐标. 【分析】第(1)问中,由正三角形底边与高的关系,a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2,b2; 第(2)问中,先设点的坐标及直线PQ的方程,利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来,由取最小值时的条件获得等量关系,从而确定点T的坐标. 【解答】解:(1)依题意有解得 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)设T(﹣3,t),P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为N(x0,y0), ①证明:由F(﹣2,0),可设直线PQ的方程为x=my﹣2,则PQ的斜率. 由⇒(m2+3)y2﹣4my﹣2=0, 所以, 于是,从而, 即,则直线ON的斜率, 又由PQ⊥TF知,直线TF的斜率,得t=m. 从而,即kOT=kON, 所以O,N,T三点共线,从而OT平分线段PQ,故得证. ②由两点间距离公式得, 由弦长公式得==, 所以, 令,则(当且仅当x2 =2时,取“=”号), 所以当 最小时,由x2=2=m2+1,得m=1或m=﹣1,此时点T的坐标为(﹣3,1)或(﹣3,﹣1). 【点评】本题属相交弦问题,应注意考虑这几个方面: 1、设交点坐标,设直线方程; 2、联立直线与椭圆方程,消去y或x,得到一个关于x或y一元二次方程,利用韦达定理; 3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题. 21.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. (1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围. 【分析】(1)求出f(x)的导数得g(x),再求出g(x)的导数,对它进行讨论,从而判断g(x)的单调性,求出g(x)的最小值; (2)利用等价转换,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,所以g(x)在(0,1)上应有两个不同的零点. 【解答】解:∵f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣b, 又g′(x)=ex﹣2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e, ∴①当时,则2a≤1,g′(x)=ex﹣2a≥0, ∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1﹣b; ②当,则1<2a<e, ∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex﹣2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex﹣2a>0, ∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1] 上单调递增, g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b; ③当时,则2a≥e,g′(x)=ex﹣2a≤0, ∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e﹣2a﹣b, 综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为; (2)由f(1)=0,⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1,又f(0)=0, 若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间, 由(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求. 若,则gmin(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1 令h(x)= (1<x<e) 则=,∴.由>0⇒x< ∴h(x)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减, ==<0,即gmin(x)<0 恒成立, ∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔⇒, 又,所以e﹣2<a<1, 综上得:e﹣2<a<1. 【点评】本题考查了,利用导数求函数的单调区间,分类讨论思想,等价转换思想,函数的零点等知识点.是一道导数的综合题,难度较大. 查看更多