高考数学复习练习第2部分 专题一 第一讲 数学思想专练(一)
[数学思想专练(一)]
一、选择题
1．(2013·青岛模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列{an}的公比为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设等比数列的首项为a1，公比为q，则S1＝a1，S2＝a1＋a2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2.由S1,2S2,3S3成等差数列，得2×2S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，可得3q2－q＝0，得q＝0或q＝，因为q≠0，所以q＝.
2．若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(1，) B．(，)
C．[，] D．(，)
解析：选B e2＝2＝＝1＋2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以2
0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)
解析：选C 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程并解得x<1或x>3.
4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
解析：选B 原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.
5.如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S，当·＋S取得最大值时θ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ·＋S＝||·||cos θ＋||·||sin θ＝cos θ＋sin θ＝sin，当θ＝时，·＋S取得最大值．
6．(2013·西安模拟)已知函数f(x)＝cos x(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 假设方程f(x)＝m的两个实根x3－(2n＋1)．而－(2n＋1)≤－3，所以λ>－3.
答案：(－3，＋∞)
9．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．
解析：设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数．
又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，所以x<0时，F(x)为增函数．
因为奇函数在对称区间上的单调性相同，
所以x>0时，F(x)也是增函数．
因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．
所以F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)．
答案：(－∞，－3)∪(0,3)
三、解答题
10．(2013·贵阳模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．
解：(1)设公差为d，则有
即
解得或(舍去)，
所以an＝3n－2.
(2)Sn＝[1＋(3n－2)]＝，
所以bn＝＝3n＋－1≥2－1＝23，
当且仅当3n＝，即n＝4时取等号，
故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.
11．(2013·海淀模拟)如图，曲线M：y2＝x与曲线N：(x－4)2＋2y2＝m2(m>0)相交于A，B，C，D四个点．
(1)求m的取值范围；
(2)求四边形ABCD的面积的最大值及此时对角线AC与BD的交点坐标．
解：(1)联立曲线M，N的方程，消去y可得(x－4)2＋2x－m2＝0，
即x2－6x＋16－m2＝0，
根据条件可得
解得x1，y1>0，y2>0.
则SABCD＝(y1＋y2)(x2－x1)＝(＋)(x2－x1)
＝ ·
＝ ·.
令t＝，则t∈(0,3)，
SABCD＝·＝2×，
设f(t)＝－t3－3t2＋9t＋27，
则令f′(t)＝－3t2－6t＋9＝－3(t2＋2t－3)＝
－3(t－1)(t＋3)＝0，
可得当t∈(0,3)时，f(x)的最大值为f(1)＝32，从而SABCD的最大值为16.
此时t＝1，即＝1，则m2＝15.
联立曲线M，N的方程消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
解得x1＝3－2，x2＝3＋2，所以A点的坐标为(3－2，－1)，C点坐标为(3＋2，－－1)，
kAC＝＝－，
则直线AC的方程为y－(－1)＝－[x－(3－2)]，
当y＝0时，x＝1，由对称性可知AC与BD的交点在x轴上，即对角线AC与BD交点坐标为(1,0)．
12．已知函数f(x)＝ax3＋(2－a)x2－x－1(a>0)．
(1)若a＝4，求f(x)的单调区间；
(2)设x1，x2,1为关于x的方程f(x)＝0的实根，若∈，求a的取值范围．
解：(1)∵当a＝4时，f(x)＝4x3－2x2－x－1，
∴f′(x)＝12x2－4x－1＝(6x＋1)(2x－1)，
由f′(x)>0得x<－或x>，
由f′(x)<0得－0，x1，x2为ax2＋2x＋1＝0的根，
∴＝＋＋2＝＝.
令t＝，u(t)＝t＋＋2，t∈，
则u′(t)＝1－，∴u(t)在上递减，在[1,2]上递增，
∴u(t)∈，即∈，故a∈.
