四川省雅安中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题答案

四川省雅安中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题答案

数学摸底考试参考答案 一、选择题 1-5：CBCCC 6-10：DDDDB 二、填空题 10 ； 144 ； 6 ； n4 1 4 1  三、解答题 15（10 分）：解：（1）原式＝ 1 23 5 2 5 2 2 12 2       ＝3 5 5 2 1    ＝0； （2）原式＝ 2 24 3 ( 1) 2 2 2         x x x x x ＝ 2 ( 1)( 1) 2 2 ( 1)     x x x x x ＝ 1 1 x x   ， 当 x＝ 2 ﹣1 时，原式＝ 2 1 1 2 1 1     ＝ 2 2 2  ＝1﹣ 2 ． 16（10 分）：解：（1）过点 P 作 PD⊥AB 于点 D， 由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°， ∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB， ∴PB=AB=60（海里），答：B 处到灯塔 P 的距离为 60 海里； （2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，∴PB=AB=60（海里）在 Rt△PBD 中， PD=BPsin60°  60 3 30 32   （海里），∵30 3 50 ， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 17（10 分）：解：（1） ( , 2), ( 1,4)A n B  是一次函数 y kx b＝ 的图像与反比例函数 my x  的图像的两个交点 4 1 m   ，得 4m   ， 4y x    ， 42 n    ，得 2n  ，∴点 (2, 2)A  ， 2 2 4 k b k b      ,解得 2 2 k b     ， ∴一函数解析式为 2 2y x   ， 即反比例函数解析式为 4y x   ，一函数解析式为 2 2y x   ； （2）设直线与 y 轴的交点为 C，当 0x  时， 2 0 2 2y      ， ∴点 C 的坐标是 (0,2) ，∵点 (2, 2)A  ，点 ( 1,4)B  ， 1 12 2 2 1 32 2AOB AOC BOCS S S        ＝ ＝ ＝ ． 18（12 分）：解：（1）学生总人数为 3÷15%=20（人）∴成绩为“B 等级”的学生人数有 20-3-8-4=5 （人） 故答案为：5； （2）“D 等级”的扇形的圆心角度数为 4 360 7220     m= 8 100 4020   ， 故答案为：72°；40； （3）根据题意画树状图如下： ∴P（女生被选中）= 4 2 6 3  ． 19（18 分）：解：（1）连接 PO 并延长交弦 AB 于点 H，如图 1 所示： ∵P 是优弧 AB 的中点，PH 经过圆心 O， ∴PH⊥AB，AH＝BH， 在 △ AOH 中，∠AHO＝90°，AH＝ 1 2 AB＝4，AO＝5， 2 2 2 2OH AO AH 5 4 3      在 △ APH 中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝5+3＝8， 2 2 2 2AP PH AH 8 4 4 5      ； （2）当点 N 与点 B 重合时，以点 O 为圆心， 3 2 为半径的圆与直线 AP 相交；理由如下： 作 OG⊥AB 于 G，如图 2 所示： ∵∠OBG＝∠ABM，∠OGB＝∠AMB， ∴△OBG∽△ABM， BM BG BM 4,AB OB 8 5   即 解得：BM＝ 32 5 ， 32 7OM 55 5     ，∵ 7 5 ＜ 3 2 ， ∴当点 N 与点 B 重合时，以点 O 为圆心， 3 2 为半径的圆与直线 AP 相交； （3）①当点 N 在线段 AB 延长线上时，作 OD⊥AB 于 D，如图 3 所示： ∵OA＝OB＝5，∴AD＝DB＝ 1 2 AB＝4， 2 2 2 2OD 0B BD 5 4 3      ∵∠BNO＝∠BON，∴BN＝OB＝5， ∴DN＝DB+BN＝9， 在 Rt △ ODN 中，由勾股定理得： 2 2 2 2ON OD DN 3 9 3 10     ∵圆 N 与圆 O 相切，∴圆 N 半径＝3 10 ﹣5， 当圆 N 与圆 O 相内切时，圆 N 半径 5 3 10 5ON    ； ②当点 N 在线段 AB 上时，此时点 P 在弦 AB 的下方，点 N 在圆 O 内部，只存在圆 N 与圆 O 相内切，如图 4 所示： 作 OE⊥AB 于 E，则 AE=BE=4， 2 2 3OE OB BE   ， ∵∠BNO=∠BON，∴BN=OB=5，∴EN=BN=BE=1， 在 Rt△OEN 中，由勾股定理得： 2 2 2 23 1 10ON OE EN     ， ∴圆 N 半径 5 5 10ON    ，综上所述，当∠BNO=∠BON，且圆 N 与圆 O 相切时， 圆 N 半径的长为3 10 5 或3 10 5 或5 10 . 20：（20 分）解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为： ( 1)( 5)y a x x   ， ∵ CD 是抛物线的对称轴，∴ (2 0)D ， ，又∵ 4tan 3CBD  ， ∴ tan 4CD BD CBD    ，即 (2 4)C ， ， 代入抛物线的解析式，得 4 (2 1)(2 5)a   ，解得 4 9a   ， ∴二次函数的解析式为 4 ( 1)( 5)9y x x    或 24 16 20 9 9 9y x x    ； （2）①设直线 BC 的解析式为 y kx b  ， ∴ 0 5 4 2 . k b k b      ， 解得 4 3 20.3 k b      ， 即直线 BC 的解析式为 4 20 3 3   y x ， 设 E 坐标为 4 20, 3 3t t     ，则 F 点坐标为 24 16 20 9 9 9, t tt        ， ∴ 2 24 20 3 4 16 20 4 28 40 9 9 9 9 9 93EF t t t tt                   ， ∴ BCF 的面积 21 1 4 28 4032 2 9 9 9S EF BD t t          ∴ 22 7 3( )3 2 2S t    ，∴当 7 2t  时， BCF 的面积最大，且最大值为 3 2 ； ②如图，连接 AC ，根据图形的对称性可知 ACD BCD   ， 5AC BC  ， ∴ 3sin 5 ADACD AC    ， 过点 P 作 PG AC 于G ，则在 Rt PCG 中， 3sin 5PG PC ACD PC    ，∴ 3 5 PC PB PG PB   再过点 B 作 BH AC 于点 H ，则 PG PH BH  ， ∴线段 BH 的长就是 3 5 PC PB 的最小值，∵ 1 1 6 4 122 2ABCS AB CD        ， 又∵ 1 5 2 2ABCS AC BH BH     ，∴ 5 122 BH  ，即 24 5BH  ， ∴ 3 5 PC PB 的最小值为 24 5 ．