数学理卷·2018届四川省雅安中学高三12月月考（2017

数学理卷·2018届四川省雅安中学高三12月月考（2017

雅安中学 2015 级高三上学期月考试题 数学（理工类） （考试用时：120 分 全卷满分：150 分 ） 第Ι卷（选择题部分，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．若 iyiix 1)2(   ,x y  R ,则 yx  = A． 1 B．1 C．3 D． 3 2．设数列 na 的前 n 项和 nS ，若 2 22 2 31 2 2 2 2 2 4 41 2 3 na aa a nn      … ，且 0na  ，则 100S 等 于 （ ） A．5048 B． 5050 C．10098 D．10100 3.与圆 x2＋(y－2)2＝2 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( ) A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.6 条 4．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共 7 人，一天爸爸从果园里摘 了 7 个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥 4 位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ） A．96 种 B．120 种 C．480 种 D．720 种 5.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.1 8 B.1 7 C.1 6 D.1 5 6. 已知随机变量 x 服从正态分布 N（3，σ2），且 P（x≤4）=0.84，则 P（2＜x＜4）=（ ） A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16 7．△ABC 中，a．b．c 分别为∠A．∠B．∠C 的对边，如果 a．b．c 成等差数列，∠B=30°， △ABC 的面积为 ，那么 b 等于（ ） A． B． C． D． 8.如图，等腰梯形 ABCD 中， 4, 2.AB BC CD   若 ,E F 分别是 ,BC AB 上的点，且满 足 BE AF BC AB   ，当 0AE DF   时，则有（ ） A. 1 1,8 4      B. 1 3,4 8      C． 3 1,8 2      D． 1 5,2 8      9．已知函数    xf x e x ，   ln g x x x ，   4 1 h x x x 的零点依次为 a ，b ， c ， 则（ ） A．  a b c B．  c b a C．  c a b D．  b a c 10.如图所示程序框图输出的结果是 720S  ，则判断框内应填的条件是（ ） A ． 7i  B ． 7i  C ． 9i  D ． 9i  科。网]11．如果定义在 R 上的函数  f x 满足：对于任意 1 2x x ，都有        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x   ，则称  f x 为“ H 函数”．给出下列函数： ① 3 1y x x    ； ②  3 2 sin cosy x x x   ； ③ 1xy e  ； ④       ln 1 0 1 x xf x x    ，其中“ H 函数”的个数有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为 1 2,F F ，且两条曲线在 第一象限的交点为 P ， 1 2PF F 是以 1PF 为底边的等腰三角形．若 1 10PF  ，椭圆与双曲线 的离心率分别为 1 2,e e ，则 1 2e e 的取值范围是（ ） A． 10 , 5      B． 1 1,5 3      C． 1 ,3      D． 1 ,5      第Ⅱ卷（非选择题部分，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22～23 题为选做题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分 13．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为 ． 14.若 nS 是数列 na 的前 n 项的和，且 762  nnSn ，则数列 na 的 最大项的值 为___________. 15.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 80 的样本，则应从高一年级抽取________名学生. 16．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R 恒有 f(x＋1)＝f(x－1)，已知 当 x∈[0,1]时 f (x)＝(1 2 )1－x，则 ①2 是函数 f(x)的周期； ②函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0； ④当 x∈(3,4)时，f(x)＝(1 2 )x－3. 其中所有正确命题的序号是 . 三、解答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A B C， ， 所对的边分别为a b c， ， ，且 AbcBa cos)3(cos  . （1）求 Acos 的值； （2）若 3b ，点 M 在线段 BC 上，   AMACAB 2 ， 23||   AM , 求 ABC 的面积. 18.（本小题满分 12 分） 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的 转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数 分别为 x，y.奖励规则如下： ①若 xy≤3，则奖励玩具一个； ②若 xy≥8 则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 19.（本小题满分 12 分） 在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， //EF AB ， 1DE EF  ， 2DC BF  ， 30EAD   ． （Ⅰ）求证： AE  平面 CDEF ； （Ⅱ）在线段 BD 上确定一点G ，使得平面 EAD 与平面 FAG 所成的角为 30 ． 20. （本小题满分 12 分） 如图所示，在 ABC 中， AB 的中点为 O ,且 1OA  ，点 D 在 AB 的延长线上，且 1 2BD AB . 固定边 AB ，在平面内移动顶点 C ，使得圆 M 与边 BC ，边 AC 的延长线相切，并始终与 AB 的延长线 相切于点 D ，记顶点 C 的轨迹为曲线  .以 AB 所在 直线为 x 轴， O 为坐标原点如图所示建立平面直角 坐标系. （Ⅰ）求曲线  的方程； （Ⅱ）设动直线l 交曲线  于 E F、 两点，且以 EF 为直径的圆经过点O ，求 OEF 面 积的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 3 21( ) ln 3 4 2( )2f x x x ax x a a a a       R 存在两个极值点． （Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）设 1x 和 2x 分别是 ( )f x 的两个极值点且 1 2x x ，证明： 2 1 2 ex x  ． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请 写清题号，本小题满分 10 分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标 方程为 sina  ，直线l 的参数方程为 3 25 4 5 x t y t       （t 为参数）． （Ⅰ）若 2a  ， M 是直线l 与 x 轴的交点， N 是圆C 上一动点，求| |MN 的最大值； （Ⅱ）若直线l 被圆 C 截得的弦长等于圆C 的半径 3 倍，求 a 的值． 23.(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 (Ⅰ)若不等式|x－m|<1 成立的充分不必要条件为1 3 0 时 ( ) 0h x  ，即 ( )h x 单调递增，所以 ( )h x 无两个零点. … 3 分 若 a > 0，则当 10 x a   时 ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递增；当 1x a  时 ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递减， 所 以 1 1( ) ( ) ln 1h x h a a    . 又 (1) 0h a   ， 当 x → 0 时 →  ， 故若 有 两 个零 点 ， 则 1 1( ) ln 1 0h a a    ，得 10 a e   ． 综上得，实数 a 的取值范围是 1(0, )e ． ………………………………………… 6 分 （Ⅱ）要证 2 1 2 ex x  ，两边同时取自然对数得 2 1 2ln ln n 2elx x   ．……… 7 分 由 ( ) 0f x  得 1 1 2 2 ln 0 ln 0 x ax x ax      ，得 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ln lnx x x xa x x x x     . 所以原命题等价于证明 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )(ln ln )ln ln 2x x x xx x x x     ． …………… 8 分 因为 1 2x x ，故只需证 1 2 1 2 1 2 2( )ln ln x xx x x x    ，即 1 1 2 12 2 2( 1) ln 0 1 x x x xx x     ．…… 9 分 令 1 2 xt x  ，则 0 1t  ，设 2( 1)( ) ln (0 1)1 tg t t tt     ，只需证 ( ) 0g t  ．… 10 分 而 2 2 2 1 4 ( 1)( ) 0( 1) ( 1) tg t t t t t       ，故 ( )g t 在 (0,1) 单调递增，所以 ( ) (1) 0g t g  ． 综上得 2 1 2 ex x  ．………………………………………………………………… 12 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）当 2a  时，圆C 的极坐标方程为 2sin  ，可化为 2 2 sin   ， 化为直角坐标方程为 2 2 2 0x y y   ，即 2 2( 1) 1x y   . 直线l 的普通方程为 4 3 8 0x y   ，与 x 轴的交点 M 的坐标为 (2,0) ， ∵圆心 (0,1) 与点 (2,0)M 的距离为 5 ， ∴| |MN 的最大值为 5 1 . （Ⅱ）由 sina  ，可化为 2 sina   ， ∴圆 C 的普通方程为 2 2 2( )2 4 a ax y   . ∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的 3 倍， ∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线 l 的距离为圆 C 半径的一半， ∴ 2 2 3| 8| 1 | |2 2 24 3 a a    ，解得 32a  或 32 11a  ． 23.(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 【解析】(Ⅰ)不等式|x－m|<1 的解集为{x|m－12，即 a 的取值范围是(2，＋∞).10 分