2013年高考数学(文科)真题分类汇编H单元 解析几何

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2013年高考数学(文科)真题分类汇编H单元 解析几何

H单元 解析几何 ‎ H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程                   ‎ ‎21.B12,H1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=x2e-x.‎ ‎(1)求f(x)的极小值和极大值;‎ ‎(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.‎ ‎21.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞).‎ f′(x)=-e-xx(x-2).①‎ 当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;‎ 当x∈(0,2)时,f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增.‎ 故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.‎ ‎(2)设切点为(t,f(t)),则l的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t).‎ 所以l在x轴上的截距为 m(t)=t-=t+=t-2++3.‎ 由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).‎ 令h(x)=x+(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2 ,+∞);当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).‎ 所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2 +3,+∞).‎ 综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2 +3,+∞).‎ ‎5.H1,H4[2013·天津卷] 已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=(  )‎ A.- B.1‎ C.2 D. ‎5.C [解析] 设过点P(2,2)的圆的切线方程为y-2=k(x-2),由题意得=,解之得k=-.又∵切线与直线ax-y+1=0垂直,∴a=2.‎ ‎15.H1,C8,E8[2013·四川卷] 在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.‎ ‎15.(2,4) [解析] 在以A,B,C,D为顶点构成的四边形中,由平面几何知识:三角形两边之和大于第三边,可知当动点落在四边形两条对角线AC,BD交点上时,到四个顶点的距离之和最小.AC所在直线方程为y=2x,BD所在直线方程为y=-x+6,交点坐标为(2,4),即为所求.‎ H2 两直线的位置关系与点到直线的距离                   ‎ ‎20.H2,H4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2 ,在y轴上截得线段长为2 .‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.‎ ‎20.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.‎ 由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.‎ 故P点的轨迹方程为y2-x2=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0),由已知得 =.‎ 又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得 由得 此时,圆P的半径r=.‎ 由得 此时,圆P的半径r=.‎ 故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.‎ ‎4.H2、H3和H4[2013·重庆卷] 设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(  )‎ A.6 B.4 C.3 D.2‎ ‎4.B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半径为2,所以|PQ|的最小值d=3-(-3)-2=4.‎ H3 圆的方程                   ‎ ‎14.H3[2013·江西卷] 若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是________.‎ ‎14.(x-2)2+= [解析] r2=4+(r-1)2,得r=,圆心为.故圆C的方程是(x-2)2+=.‎ ‎21.F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1-5所示,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)‎ 取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.‎ 图1-5‎ ‎21.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.‎ 由e=得b2==8,从而a2==16.‎ 故该椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则 ‎|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8 ‎=(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]).‎ 设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,所以x1=2x0,且|QP|2=8-x.‎ 由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以 S=|2y1||x1-x0|=×2 |x0|=‎ =.‎ 当x0=±时,△PP′Q的面积S取到最大值2 .‎ 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.‎ ‎4.H2、H3和H4[2013·重庆卷] 设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(  )‎ A.6 B.4 C.3 D.2‎ ‎4.B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半径为2,所以|PQ|的最小值d=3-(-3)-2=4.‎ H4 直线与圆、圆与圆的位置关系                   ‎ ‎6.H4[2013·安徽卷] 直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.4 ‎6.C [解析] 圆的标准方程是(x-1)2+(y-2)2=5,圆心(1,2)到直线x+2y-5+=0的距离d=1,所以直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0所截得的弦长l=2=4.‎ ‎7.H4[2013·广东卷] 垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第Ⅰ 象限的直线方程是(  )‎ A.x+y-=0 B.x+y+1=0‎ C.x+y-1=0 D.x+y+=0‎ ‎7.A [解析] 设直线方程为y=-x+m,且原点到此直线的距离是1,即1=,解得m=±.当m=-时,直线和圆切于第Ⅲ象限,故舍去,选A.‎ ‎14.H4[2013·湖北卷] 已知圆O:x2+y2=5,直线l:x cosθ+y sinθ=1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k,则k=________.‎ ‎14.4 [解析] 圆心到直线的距离d=1,r=,r-d>d,所以圆O上共有4个点到直线的距离为1,k=4.‎ ‎10.H4[2013·江西卷] 如图1-3所示,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为(  )‎ 图1-3‎ 图1-4‎ ‎10.‎ B [解析] 如图,设∠MOA=α,cos α=1-t,cos 2α=2cos2 α-1=2t2-4t+1,x=2α·1=2α,y=cos x=cos 2α=2t2-4t+1,故选B.‎ ‎20.H2,H4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2 ,在y轴上截得线段长为2 .‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.‎ ‎20.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.‎ 由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.‎ 故P点的轨迹方程为y2-x2=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0),由已知得 =.‎ 又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得 由得 此时,圆P的半径r=.‎ 由得 此时,圆P的半径r=.‎ 故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.‎ ‎13.H4[2013·山东卷] 过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为________.‎ ‎13.2  [解析] 设弦与圆的交点为A、B,最短弦长以(3,1)为中点,由垂径定理得+(3-2)2+(2-1)2=4,解之得|AB|=2 .‎ ‎8.H4[2013·陕西卷] 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(  )‎ A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 ‎8.B [解析] 由题意点M(a,b)在圆x2+y2=1外,则满足a2+b2>1,圆心到直线的距离d=<1,故直线ax+by=1与圆O相交.‎ ‎5.H1,H4[2013·天津卷] 已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=(  )‎ A.- B.1‎ C.2 D. ‎5.C [解析] 设过点P(2,2)的圆的切线方程为y-2=k(x-2),由题意得=,解之得k=-.又∵切线与直线ax-y+1=0垂直,∴a=2.‎ ‎20.H4,E8,B1[2013·四川卷] 已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数.‎ ‎20.解:(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4,得 ‎(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)‎ 由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3.‎ 所以,k的取值范围是(-∞,-)∪(+∞).‎ ‎(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则 ‎|OM|2=(1+k2)x,|ON|2=(1+k2)x.‎ 又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2,‎ 由=+,得 =+,‎ 即=+=.‎ 由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,‎ 所以m2=.‎ 因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m2=中并化简,得5n2-3m2=36.‎ 由m2=及k2>3,可知00,‎ 所以n==.‎ 于是,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,)).‎ ‎13.H4[2013·浙江卷] 直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.‎ ‎13.4  [解析] 圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,圆心到直线的距离为d==,所以弦长为2=2=4 .‎ ‎4.H2、H3和H4[2013·重庆卷] 设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(  )‎ A.6 B.4 C.3 D.2‎ ‎4.B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半径为2,所以|PQ|的最小值d=3-(-3)-2=4.‎ H5 椭圆及其几何性质                   ‎ ‎21.H5,H10[2013·安徽卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E,取点A(0,2),联结AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D,点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.‎ ‎21.解:(1)因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆C过点P(,),所以+=1,故a2=8,b2=4,‎ 从而椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由题意,E点坐标为(x0,0),设D(xD,0),则=(x0,-2),=(xD,-2).‎ 再由AD⊥AE知,·=0,即x0xD+8=0.由于x0y0≠0,故xD=-.‎ 因为点G是点D关于y轴的对称点,所以G,0,‎ 故直线QG的斜率kQG==.‎ 又因Q(x0,y0)在椭圆C上,所以x+2y=8.①‎ 从而kQG=-.‎ 故直线QG的方程为y=-x-.②‎ 将②代入椭圆C方程,得(x+2y)x2-16x0x+64-16y=0.③‎ 再将①代入③,化简得x2-2x0x+x=0,‎ 解得x=x0,y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.‎ ‎19.M2,H5,H10[2013·北京卷] 直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.‎ ‎(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;‎ ‎(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.‎ ‎19.解:(1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.‎ ‎ 所以可设A,代入椭圆方程得+=1,即t=±.‎ 所以|AC|=2 .‎ ‎(2)证明:假设四边形OABC为菱形.‎ 因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.‎ 由消y并整理得 ‎(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.‎ 设A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-,=k·+m=.‎ 所以AC的中点为M.‎ 因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,所以直线OB的斜率为-.‎ 因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直.‎ 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.‎ 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.‎ ‎15.H5[2013·全国卷] 若x,y满足约束条件则z=-x+y的最小值为________.‎ ‎15.0 [解析] 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC及其内部,目标函数的几何意义是直线y=x+z在y轴上的截距,显然在点A取得最小值,点A(1,1),故zmin=-1+1=0.‎ ‎8.H5[2013·全国卷] 已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为(  )‎ A.+y2=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎8.C [解析] 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),与直线x=1联立得y=±(c=1),所以2b2=3a,即2(a2-1)=3a,2a2-3a-2=0,a>0,解得a=2(负值舍去),所以b2=3,故所求椭圆方程为+=1.‎ ‎15.H5,H8[2013·福建卷] 椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.‎ ‎15.-1 [解析] 如图,△MF1F2中,∠MF1F2=60°,所以∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°.又|F1F2|=2c,所以|MF1|=c,|MF2|=c.根据椭圆定义得2a=|MF1|+|MF2|=c+c,得e=‎ ==-1.‎ ‎9.H5[2013·广东卷] 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎9.D [解析] 设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),由题知c=1,=,解得a=2,b2=a2-c2=4-1=3,选D.‎ ‎12.H5[2013·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1(a>0,b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2=d1,则椭圆C的离心率为________.‎ ‎12. [解析] 由题意知F(c,0),l:x=,不妨设B(0,b),则直线BF:+=1,即bx+cy-bc=0.‎ 于是d1==,‎ d2=-c==.‎ 由d2=d1,得=6,‎ 化简得6c4+a2c2-a4=0,‎ 即6e4+e2-1=0,‎ 解得e2=或e2=-(舍去),‎ 故e=,故椭圆C的离心率为.‎ ‎20.H5,H8[2013·江西卷] 椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图1-8所示,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.‎ 证明:2m-k为定值.‎ 图1-8‎ ‎20.解:(1)因为e==,‎ 所以a=c,b=c,代入a+b=3得,c=,a=2,b=1,‎ 故椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)方法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2),①‎ ‎①代入+y2=1,解得P.‎ 直线AD的方程为y=x+1.②‎ ‎①与②联立解得M.‎ 由D(0,1),P,N(x,0)三点共线知 =,解得N.‎ 所以MN的斜率为m===,‎ 则2m-k=-k=(定值).‎ 方法二:‎ 设P(x0,y0)(x0≠0,±2),则k=.‎ 直线AD的方程为:y=(x+2),‎ 直线BP的方程为:y=(x-2),‎ 直线DP的方程为:y-1=x,令y=0,由于y0≠1可得N,‎ 联立 解得M,‎ 因此MN的斜率为 m== ‎==.‎ 所以2m-k=- ‎= ‎= ‎= ‎=(定值).‎ ‎11.H5[2013·辽宁卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,联结AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎11.B [解析] 设椭圆的右焦点为Q,由已知|BF|=8,利用椭圆的对称性可以得到|AQ|=8,△FAQ为直角三角形,然后利用椭圆的定义可以得到2a=14,2c=10,所以e=.‎ ‎5.H5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎5.D [解析] 设PF2=x, 则PF1=2x,由椭圆定义得3x=2a,结合图形知,==,故选D.‎ ‎22.H5,H8[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.‎ ‎22.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),‎ 故题意知 解得a=,b=1,‎ 因此椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,‎ 设直线AB的方程为x=m,由题意-<m<0或0<m<.‎ 将x=m代入椭圆方程+y2=1,‎ 得|y|=.‎ 所以S△AOB=|m|=.‎ 解得m2=或m2=.①‎ 又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),‎ 因为P为椭圆C上一点,‎ 所以=1.②‎ 由①②得 t2=4或t2=,‎ 又因为t>0,所以t=2或t=.‎ ‎(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,‎ 设直线AB的方程为y=kx+h.‎ 将其代入椭圆的方程+y2=1,‎ 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由判别式Δ>0可得1+2k2>h2,‎ 此时x1+x2=-,x1x2=,‎ y1+y2=k(x1+x2)+2h=,‎ 所以|AB|==‎ ‎2 .‎ 因为点O到直线AB的距离d=,‎ 所以S△AOB=|AB|d ‎=×2 ‎= |h|.‎ 又S△AOB=,‎ 所以 |h|=.③‎ 令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h4=0,‎ 解得n=4h2或n=h2,‎ 即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.④‎ 又=t=t(+)=t(x1+x2,y1+y2)=,‎ 因为P为椭圆C上一点,‎ 所以t2=1,‎ 即t2=1.⑤‎ 将④代入⑤得t2=4或t2=,又知t>0,‎ 故t=2或t=,‎ 经检验,适合题意.‎ 综合(i)(ii)得t=2或t=.‎ ‎20.H5,H8[2013·陕西卷] 已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.‎ ‎(1)求动点M的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.‎ ‎20.解: (1)设M到直线l的距离为d,根据题意,d=2|MN|.‎ 由此得|4-x|=2.‎ 化简得+=1,‎ 所以,动点M的轨迹方程为+=1.‎ ‎(2)方法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,‎ 其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0.‎ 由求根公式得,x1+x2=-,①‎ x1x2=.②‎ 又因A是PB的中点,故x2=2x1.③‎ 将③代入①,②,得 x1=-,x=,‎ 可得=,且k2>,‎ 解得k=-或k=,‎ 所以,直线m的斜率为-或.‎ 方法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎∵A是PB的中点,‎ ‎∴x1=,①‎ y1=.②‎ 又+=1,③‎ +=1,④‎ 联立①,②,③,④解得或 即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),‎ 所以,直线m的斜率为-或.‎ ‎9.H5[2013·四川卷] 从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是(  )‎ A. B. C. D. ‎9.C [解析] 由已知,P点坐标为,A(a,0),B(0,b),于是由kAB=kOP得-=,整理得b=c,从而a==c.于是,离心率e==.‎ ‎18.H5,H8[2013·天津卷] 设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.‎ ‎18.解:(1)设F(-c,0),由=,知a=c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,‎ 代入椭圆方程有+=1,解得y=±.于是=,解得b=.又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).‎ 由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.‎ 由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=.因为A(-,0),B(,0),所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)‎ ‎=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)‎ ‎=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2‎ ‎=6+.‎ 由已知得6+=8,解得k=±.‎ ‎21.H5、H9、H10[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.‎ ‎21.解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.‎ 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.‎ 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2 .‎ 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,‎ 则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).‎ 由l与圆M相切得=1,解得k=±.‎ 当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=,‎ 所以|AB|=|x2-x1|=.‎ 当k=-时,由图形的对称性得|AB|=.‎ 综上,|AB|=2 或|AB|=.‎ ‎9.H5,H6[2013·浙江卷] 如图1-4所示,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(  )‎ 图1-4‎ A. B. C. D. ‎9.D [解析] 设双曲线实半轴长为a,焦半距为c,|AF1|=m,|AF2|=n,由题意知c=,2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4,(m-n)2=m2+n2‎ ‎-2mn=8,2a=m-n=2 ,a=,则双曲线的离心率e===,选择D.‎ ‎21.F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1-5所示,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.‎ 图1-5‎ ‎21.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.‎ 由e=得b2==8,从而a2==16.‎ 故该椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则 ‎|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8 ‎=(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]).‎ 设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,所以x1=2x0,且|QP|2=8-x.‎ 由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以 S=|2y1||x1-x0|=×2 |x0|=‎ =.‎ 当x0=±时,△PP′Q的面积S取到最大值2 .‎ 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.‎ H6 双曲线及其几何性质                   ‎ ‎22.H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.‎ ‎(1)求a,b;‎ ‎(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.‎ ‎22.解:(1)由题设知=3,即=9,故b2=8a2.‎ 所以C的方程为8x2-y2=8a2.‎ 将y=2代入上式,并求得x=±.‎ 由题设知,2 =,解得a2=1.‎ 所以a=1,b=2 .‎ ‎(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①‎ 由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|<2,代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1x2=.‎ 于是 ‎|AF1|===-(3x1+1),‎ ‎|BF1|===3x2+1.‎ 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-.‎ 故=-,解得k2=,从而x1x2=-.‎ 由于|AF2|===1-3x1,‎ ‎|BF2|===3x2-1,‎ 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,‎ ‎|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.‎ 因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,‎ 所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.‎ ‎4.H6[2013·福建卷] 双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于(  )‎ A. B. C.1 D. ‎4.B [解析] 取一顶点(1,0),一条渐近线x-y=0,d==,故选B.‎ ‎2.H6[2013·湖北卷] 已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的(  )‎ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 ‎ C.离心率相等 D.焦距相等 ‎2.D [解析] c1=c2==1,故焦距相等.‎ ‎14.H6[2013·湖南卷] 设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为________.‎ ‎14.+1 [解析] 如图,因PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,故|PF2|=|F1F2|=c,则|PF1|=c,又由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a,即c-c=2a,故==+1.‎ ‎3.H6[2013·江苏卷] 双曲线-=1的两条渐近线的方程为________.‎ ‎3.y=±x [解析] 令-=0,得渐近线方程为y=±x.‎ ‎11.H6,H7[2013·山东卷] 抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(  )‎ A. B. C. D. ‎11.D [解析] 抛物线C1:y=x2的焦点坐标为,双曲线-y2=1的右焦点坐标为(2,0),连线的方程为y=-(x-2),联立得2x2+p2x-2p2=0.设点M的横坐标为a ,则在点M处切线的斜率为y′|x=a=′=.又∵双曲线-y2=1的渐近线方程为±y=0,其与切线平行,∴=,即a=p,代入2x2+p2x-2p2=0得,p=或p=0(舍去).‎ ‎11.H6[2013·陕西卷] 双曲线-=1的离心率为________.‎ ‎11. [解析] 由双曲线方程中a2=16, b2=9,则c2=a2+b2=25,则e==.‎ ‎11.H6,H7[2013·天津卷] 已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________.‎ ‎11.x2-=1 [解析] 由抛物线的准线方程为x=-2,得a2+b2=4,又∵双曲线的离心率为2,得=2,得a=1,b2=3,∴双曲线的方程为x2-=1.‎ ‎7.A2,H6[2013·北京卷] 双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是(  )‎ A.m> B.m≥1‎ C.m>1 D.m>2‎ ‎7.C [解析] 双曲线的离心率e==>,解得m>1.故选C.‎ ‎4.H6[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎4.C [解析] ==,所以=,故所求的双曲线渐近线方程是y=±x.‎ ‎9.H5,H6[2013·浙江卷] 如图1-4所示,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(  )‎ 图1-4‎ A. B. C. D. ‎9.D [解析] 设双曲线实半轴长为a,焦半距为c,|AF1|=m,|AF2|=n,由题意知c=,2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4,(m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=m-n=2 ,a=,则双曲线的离心率e===,选择D.‎ ‎10.E1、H6和H8[2013·重庆卷] 设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎10.A [解析] 设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤,所以<≤3,<1+≤4,即有 <≤2.又双曲线的离心率为e==,所以 0.‎ 所以圆心C的坐标为或,‎ 从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.‎ ‎20.H7,H8,H10[2013·广东卷] 已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)‎ 到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.‎ ‎20.解:‎ ‎21.B12[2013·广东卷] 设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).‎ ‎(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.‎ ‎21.解:‎ ‎9.H7[2013·江西卷] 已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=(  )‎ A.2∶ B.1∶2‎ C.1∶ D.1∶3‎ ‎9.C [解析] FA:y=-x+1,与x2=4y联立,得xM=-1,FA:y=-x+1,与y=-1联立,得N(4,-1),由三角形相似知==,故选C.‎ ‎10.H7[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(  )‎ A.y=x-1或y=-x+1‎ B.y=(x-1)或y=-(x-1)‎ C.y=(x-1)或y=-(x-1)‎ D.y=(x-1)或y=-(x-1)‎ ‎10.C [解析] 抛物线的焦点为F(1,0),若A在第一象限,如图1-5,设AF=3m,BF=m.过B作AD的垂线交AD于G,则AG=2m,由于AB=4m,故BG=2m,tan∠GAB=.∴直线AB的斜率为.同理,若A在第四象限,直线AB的斜率为-,故答案为C.‎ 图1-5‎ ‎11.H6,H7[2013·山东卷] 抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2‎ ‎=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(  )‎ A. B. C. D. ‎11.D [解析] 抛物线C1:y=x2的焦点坐标为,双曲线-y2=1的右焦点坐标为(2,0),连线的方程为y=-(x-2),联立得2x2+p2x-2p2=0.设点M的横坐标为a ,则在点M处切线的斜率为y′|x=a=′)=.又∵双曲线-y2=1的渐近线方程为±y=0,其与切线平行,∴=,即a=p,代入2x2+p2x-2p2=0得,p=或p=0(舍去).‎ ‎11.H6,H7[2013·天津卷] 已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________.‎ ‎11.x2-=1 [解析] 由抛物线的准线方程为x=-2,得a2+b2=4,又∵双曲线的离心率为2,得=2,得a=1,b2=3,∴双曲线的方程为x2-=1.‎ ‎5.H7,H8[2013·四川卷] 抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是(  )‎ A.2 B.2 C. D.1‎ ‎5.D [解析] 抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),该点到直线x-y=0的距离为d==1.‎ ‎8.H7[2013·新课标全国卷Ⅰ] O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4 x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4 ,则△POF的面积为(  )‎ A.2 B.2 C.2 D.4‎ ‎8.C [解析] 设P(x0,y0),根据抛物线定义得|PF|=x0+,所以x0=3 ,代入抛物线方程得y2=24,解得|y|=2 ,所以△POF的面积等于·|OF|·|y|=××2 =2 .‎ H8 直线与圆锥曲线(AB课时作业)                   ‎ ‎22.H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.‎ ‎(1)求a,b;‎ ‎(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|‎ ‎,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.‎ ‎22.解:(1)由题设知=3,即=9,故b2=8a2.‎ 所以C的方程为8x2-y2=8a2.‎ 将y=2代入上式,并求得x=±.‎ 由题设知,2 =,解得a2=1.‎ 所以a=1,b=2 .‎ ‎(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①‎ 由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|<2,代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1x2=.‎ 于是 ‎|AF1|===-(3x1+1),‎ ‎|BF1|===3x2+1.‎ 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-.‎ 故=-,解得k2=,从而x1x2=-.‎ 由于|AF2|===1-3x1,‎ ‎|BF2|===3x2-1,‎ 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,‎ ‎|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.‎ 因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,‎ 所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.‎ ‎12.F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若·=0,则k=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎12.D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2,0),设直线l的方程为x=ty+2,与抛物线方程联立得y2-8ty-16=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-16,y1+y2=8t,x1+x2=t(y1+y2)+4=8t2+4,x1x2=t2y1y2+2t(y1+y2)+4=-16t2+16t2+4=4.‎ ·=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4‎ ‎=4+16t2+8+4-16-16t+4=16t2-16t+4=4(2t-1)2=0,解得t=,所以k==2.‎ ‎20.H7,H8[2013·福建卷] 如图1-5,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.‎ ‎(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;‎ ‎(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C的半径.‎ 图1-5‎ ‎20.解:(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.‎ 由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),‎ 所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=,‎ 所以|MN|=2 =2 =2.‎ ‎(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=+y,即x2-x+y2-2y0y=0.‎ 由x=-1,得y2-2y0y+1+=0.‎ 设M(-1,y1),N(-1,y2),则 由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,‎ 所以+1=4,解得y0=±,此时Δ>0.‎ 所以圆心C的坐标为或,‎ 从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.‎ ‎15.H5,H8[2013·福建卷] 椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.‎ ‎15.-1 [解析] 如图,△MF1F2中,∠MF1F2=60°,所以∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°.又|F1F2|=2c,所以|MF1|=c,|MF2|=c.根据椭圆定义得2a=|MF1|+|MF2|=c+c,得e===-1.‎ ‎20.H7,H8,H10[2013·广东卷] 已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)‎ 到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.‎ ‎20.解:‎ ‎21.B12[2013·广东卷] 设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).‎ ‎(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.‎ ‎21.解:‎ ‎22.H8,H10[2013·湖北卷] 如图1-5所示,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.‎ ‎(1)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;‎ ‎(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.‎ 图1-5‎ ‎22.解:依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为 C1:+=1,C2:+=1,其中a>m>n>0,λ=>1.‎ ‎(1)方法一:如图①,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0.则S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|,所以=.‎ 在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,‎ 于是===.‎ 若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0.‎ 由λ>1,可解得λ=+1.‎ 故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.‎ 方法二:如图①,若直线l与y轴重合,则 ‎|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n.‎ S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|.‎ 所以===.‎ 若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0,由λ>1,可解得λ=+1.‎ 故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.‎ ‎(2)方法一:如图②,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),‎ 点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则因为d1==,d2==,‎ 所以d1=d2.‎ 又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ,即|BD|=λ|AB|.‎ 由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,‎ ‎|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是=,①‎ 将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得 xA=,xB=.‎ 根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是 ===.②‎ 从而由①和②式可得=.③‎ 令t=,则由m>n,可得t≠1,于是由③可解得k2=.‎ 因为k≠0,所以k2>0,于是③式关于k有解,当且仅当>0,‎ 等价于(t2-1)t2-<0.由λ>1,可解得1,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;‎ 当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.‎ 方法二:如图②,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),‎ 点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则 因为d1==,d2==,所以d1=d2.‎ 又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,‎ 所以==λ.‎ 因为===λ,‎ 所以=.‎ 由点A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,‎ 可得+=1,+=1,‎ 两式相减可得+=0,‎ 依题意xA>xB>0,所以x>x,所以由上式解得k2=.‎ 因为k2>0,所以由>0,可解得1<<λ.‎ 从而1<<λ,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;‎ 当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.‎ ‎20.H5,H8[2013·江西卷] 椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图1-8所示,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.‎ 证明:2m-k为定值.‎ 图1-8‎ ‎20.解:(1)因为e==,‎ 所以a=c,b=c,代入a+b=3得,c=,a=2,b=1,‎ 故椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)方法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2),①‎ ‎①代入+y2=1,解得P.‎ 直线AD的方程为y=x+1.②‎ ‎①与②联立解得M.‎ 由D(0,1),P,N(x,0)三点共线知 =,解得N.‎ 所以MN的斜率为m===,‎ 则2m-k=-k=(定值).‎ 方法二:‎ 设P(x0,y0)(x0≠0,±2),则k=.‎ 直线AD的方程为:y=(x+2),‎ 直线BP的方程为:y=(x-2),‎ 直线DP的方程为:y-1=x,令y=0,由于y0≠1可得N,‎ 联立 解得M,‎ 因此MN的斜率为 m== ‎==.‎ 所以2m-k=- ‎= ‎= ‎= ‎=(定值).‎ 图1-5‎ ‎20.H8[2013·辽宁卷] 如图1-5,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).‎ ‎20.解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为-1,,故切线MA的方程为y=‎ ‎-(x+1)+.因为点M(1-,y0)在切线MA与抛物线C2上,于是 y0=-(2-)+=-,①‎ y0=-=-.②‎ 由①②得p=2.‎ ‎(2)设N(x,y),Ax1,,Bx2,,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=,③ y=.④‎ 切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+,⑤‎ y=(x-x2)+.⑥‎ 由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为 x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即x=-4y0,所以x1x2=-.⑦‎ 由③④⑦得x2=y,x≠0.‎ 当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.‎ ‎22.H5,H8[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.‎ ‎22.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),‎ 故题意知 解得a=,b=1,‎ 因此椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,‎ 设直线AB的方程为x=m,由题意-<m<0或0<m<.‎ 将x=m代入椭圆方程+y2=1,‎ 得|y|=.‎ 所以S△AOB=|m|=.‎ 解得m2=或m2=.①‎ 又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),‎ 因为P为椭圆C上一点,‎ 所以=1.②‎ 由①②得 t2=4或t2=,‎ 又因为t>0,所以t=2或t=.‎ ‎(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,‎ 设直线AB的方程为y=kx+h.‎ 将其代入椭圆的方程+y2=1,‎ 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由判别式Δ>0可得1+2k2>h2,‎ 此时x1+x2=-,x1x2=,‎ y1+y2=k(x1+x2)+2h=,‎ 所以|AB|==‎ ‎2 .‎ 因为点O到直线AB的距离d=,‎ 所以S△AOB=|AB|d ‎=×2 ‎= |h|.‎ 又S△AOB=,‎ 所以 |h|=.③‎ 令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h4=0,‎ 解得n=4h2或n=h2,‎ 即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.④‎ 又=t=t(+)=t(x1+x2,y1+y2)=,‎ 因为P为椭圆C上一点,‎ 所以t2=1,‎ 即t2=1.⑤‎ 将④代入⑤得t2=4或t2=,又知t>0,‎ 故t=2或t=,‎ 经检验,适合题意.‎ 综合(i)(ii)得t=2或t=.‎ ‎20.H5,H8[2013·陕西卷] 已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.‎ ‎(1)求动点M的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.‎ ‎20.解: (1)设M到直线l的距离为d,根据题意,d=2|MN|.‎ 由此得|4-x|=2.‎ 化简得+=1,‎ 所以,动点M的轨迹方程为+=1.‎ ‎(2)方法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,‎ 其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0.‎ 由求根公式得,x1+x2=-,①‎ x1x2=.②‎ 又因A是PB的中点,故x2=2x1.③‎ 将③代入①,②,得 x1=-,x=,‎ 可得=,且k2>,‎ 解得k=-或k=,‎ 所以,直线m的斜率为-或.‎ 方法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎∵A是PB的中点,‎ ‎∴x1=,①‎ y1=.②‎ 又+=1,③‎ +=1,④‎ 联立①,②,③,④解得或 即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),‎ 所以,直线m的斜率为-或.‎ ‎5.H7,H8[2013·四川卷] 抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是(  )‎ A.2 B.2 C. D.1‎ ‎5.D [解析] 抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),该点到直线x-y=0的距离为d==1.‎ ‎18.H5,H8[2013·天津卷] 设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.‎ ‎18.解:(1)设F(-c,0),由=,知a=c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,‎ 代入椭圆方程有+=1,解得y=±.于是=,解得b=.又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).‎ 由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.‎ 由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=.因为A(-,0),B(,0),所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)‎ ‎=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)‎ ‎=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2‎ ‎=6+.‎ 由已知得6+=8,解得k=±.‎ ‎21.F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1-5所示,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.‎ 图1-5‎ ‎21.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.‎ 由e=得b2==8,从而a2==16.‎ 故该椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则 ‎|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8 ‎=(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]).‎ 设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,所以x1=2x0,且|QP|2=8-x.‎ 由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以 S=|2y1||x1-x0|=×2 |x0|=‎ =.‎ 当x0=±时,△PP′Q的面积S取到最大值2 .‎ 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.‎ ‎10.E1、H6和H8[2013·重庆卷] 设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎10.A [解析] 设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤,所以<≤3,<1+≤4,即有 <≤2.又双曲线的离心率为e==,所以 b>0)的焦距为4,且过点P(,).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E,取点A(‎ ‎0,2),联结AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D,点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.‎ ‎21.解:(1)因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆C过点P(,),所以+=1,故a2=8,b2=4,‎ 从而椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由题意,E点坐标为(x0,0),设D(xD,0),则=(x0,-2),=(xD,-2).‎ 再由AD⊥AE知,·=0,即x0xD+8=0.由于x0y0≠0,故xD=-.‎ 因为点G是点D关于y轴的对称点,所以G,0,‎ 故直线QG的斜率kQG==.‎ 又因Q(x0,y0)在椭圆C上,所以x+2y=8.①‎ 从而kQG=-.‎ 故直线QG的方程为y=-x-.②‎ 将②代入椭圆C方程,得(x+2y)x2-16x0x+64-16y=0.③‎ 再将①代入③,化简得x2-2x0x+x=0,‎ 解得x=x0,y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.‎ ‎19.M2,H5,H10[2013·北京卷] 直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.‎ ‎(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;‎ ‎(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.‎ ‎19.解:(1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.‎ ‎ 所以可设A,代入椭圆方程得+=1,即t=±.‎ 所以|AC|=2 .‎ ‎(2)证明:假设四边形OABC为菱形.‎ 因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.‎ 由消y并整理得 ‎(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.‎ 设A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-,=k·+m=.‎ 所以AC的中点为M.‎ 因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,所以直线OB的斜率为-.‎ 因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直.‎ 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.‎ 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.‎ ‎20.H7,H8,H10[2013·广东卷] 已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.‎ ‎20.解:‎ ‎21.B12[2013·广东卷] 设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).‎ ‎(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.‎ ‎21.解:‎ ‎22.H8,H10[2013·湖北卷] 如图1-5所示,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.‎ ‎(1)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;‎ ‎(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.‎ 图1-5‎ ‎22.解:依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为 C1:+=1,C2:+=1,其中a>m>n>0,λ=>1.‎ ‎(1)方法一:如图①,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0.则S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|,所以=.‎ 在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,‎ 于是===.‎ 若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0.‎ 由λ>1,可解得λ=+1.‎ 故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.‎ 方法二:如图①,若直线l与y轴重合,则 ‎|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n.‎ S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|.‎ 所以===.‎ 若=λ,则=λ,化简得λ2-2λ-1=0,由λ>1,可解得λ=+1.‎ 故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=+1.‎ ‎(2)方法一:如图②,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),‎ 点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则因为d1==,d2==,‎ 所以d1=d2.‎ 又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ,即|BD|=λ|AB|.‎ 由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,‎ ‎|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是=,①‎ 将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得 xA=,xB=.‎ 根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是 ===.②‎ 从而由①和②式可得=.③‎ 令t=,则由m>n,可得t≠1,于是由③可解得k2=.‎ 因为k≠0,所以k2>0,于是③式关于k有解,当且仅当>0,‎ 等价于(t2-1)t2-<0.由λ>1,可解得1,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;‎ 当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.‎ 方法二:如图②,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),‎ 点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则 因为d1==,d2==,所以d1=d2.‎ 又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,‎ 所以==λ.‎ 因为===λ,‎ 所以=.‎ 由点A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,‎ 可得+=1,+=1,‎ 两式相减可得+=0,‎ 依题意xA>xB>0,所以x>x,所以由上式解得k2=.‎ 因为k2>0,所以由>0,可解得1<<λ.‎ 从而1<<λ,解得λ>1+,所以当1<λ≤1+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;‎ 当λ>1+时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.‎ ‎17.H10[2013·江苏卷] 如图1-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.‎ ‎(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;‎ ‎(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.‎ 图1-3‎ ‎17.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3.‎ 由题意,=1,解得k=0或-,‎ 故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.‎ ‎(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为 ‎(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.‎ 设点M(x,y),因为MA=2MO,‎ 所以=2 ,‎ 化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,‎ 所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.‎ 由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,‎ 则|2-1|≤CD≤2+1,‎ 即1≤≤3.‎ 由5a2-12a+8≥0,得a∈R;‎ 由5a2-12a≤0,得0≤a≤.‎ 所以点C的横坐标a的取值范围为.‎ ‎21.H5、H9、H10[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.‎ ‎21.解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.‎ 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.‎ 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2 .‎ 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,‎ 则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).‎ 由l与圆M相切得=1,解得k=±.‎ 当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=,‎ 所以|AB|=|x2-x1|=.‎ 当k=-时,由图形的对称性得|AB|=.‎ 综上,|AB|=2 或|AB|=.‎ 图1-1‎ ‎22.H10[2013·浙江卷] 已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.‎ ‎22.解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.‎ 由消去y,整理得x2-4kx-4=0.‎ 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.‎ 从而|x1-x2|=4 .‎ 由 解得点M的横坐标xM===.‎ 同理点N的横坐标xN=.‎ 所以|MN|= |xM-xN|‎ ‎= ‎=8 ‎=.‎ 令4k-3=t,t≠0,则k=.‎ 当t>0时,|MN|=2 >2 ;‎ 当t<0时,|MN|=2 ≥ .‎ 综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是 .‎
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