【数学】四川省泸州市泸县第一中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

【数学】四川省泸州市泸县第一中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

四川省泸州市泸县第一中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学试卷（文）‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集为，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数的实部和虚部相等，且，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ ‎ ‎ A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平 B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨 C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨 D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 ‎4．若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）‎ A． B．0 C． D．‎ ‎5．函数的大致图像是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知为等差数列，，则等于（ ）‎ A． B．1 C．3 D．7‎ ‎7．已知，则（ ）‎ A． B． C． D． 或 ‎8．已知函数的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．的最大值为 B．在区间上单调递增 C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称 ‎9．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C．26 D．‎ ‎10．已知函数.若且，，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点M(π，0)处的切线方程为________．‎ ‎14．已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，则该双曲线的离心率为______.‎ ‎15.．在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为______.‎ ‎16．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于__________.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）设等差数列的前n项和为，且，．‎ ‎（I）求数列的通项公式及前n项和公式； ‎ ‎（II）求证：.‎ ‎18．（12分）一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，共抗疫情。每天测量体温也就成为了所有人的一项责任，一般认为成年人腋下温度（单位：℃）平均在36℃~37℃之间即为正常体温，超过37.1℃即为发热。发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：.‎ 某位患者因发热，虽排除肺炎，但也于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：‎ 抗生素使用情况 没有使用 使用“抗生素A”治疗 使用“抗生素B”治疗 日期 ‎12日 ‎13日 ‎14日 ‎15日 ‎16日 ‎17日 ‎18日 ‎19日 体温（℃）‎ ‎38.7‎ ‎39.4‎ ‎39.7‎ ‎40.1‎ ‎39.9‎ ‎39.2‎ ‎38.9‎ ‎39.0‎ 抗生素使用情况 使用“抗生素C”治疗 没有使用 日期 ‎20日 ‎21日 ‎22日 ‎23日 ‎24日 ‎25日 ‎26日 体温（℃）‎ ‎38.4‎ ‎38.0‎ ‎37.6‎ ‎37.1‎ ‎36.8‎ ‎36.6‎ ‎36.3‎ ‎（I）请你计算住院期间该患者体温不低于39℃的各天体温平均值；‎ ‎（II）在18日—22日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，求至少两天在高热体温下做“项目”检查的概率；‎ ‎（III）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.‎ ‎19．（12分）在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，，点，分别为线段，的中点.‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）求点到平面的距离.‎ ‎20．（12分）已知抛物线的顶点为原点，焦点为圆的圆心.经过点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，在第一象限，在第四象限.‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（I）求的单调递增区间； ‎ ‎（II）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（I）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎（II）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，），使点、到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数的最大值为.‎ ‎（I）在如图所示的坐标系中作出函数的图象，并结合图象求出的值；‎ ‎（II）若，不等式恒成立，求的最小值.‎ 参考答案 ‎1．C 2．A 3．D 4．A 5．B 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C ‎11．C 12．B ‎13． 14． 15． 16．2‎ ‎17．解：（1）设等差数列的公差为d，由已知得，‎ 即解得，故，.‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎18．解：（1）由表可知，该患者共天的体温不低于39℃，记平均体温为，‎ ‎℃‎ 所以，患者体温不低于39℃的各天体温平均值为39.55℃‎ ‎（2）设恰有两天在高热体温下做“项目”检查；五天中三天都在高热体温下做“项目”检查 ‎，，‎ ‎（3）“抗生素C”治疗效果最佳可使用理由：‎ ‎①“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0℃又回升0.1℃，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2℃，说明“抗生素C”降温效果最好，故“抗生素C”治疗效果最佳.‎ ‎②“抗生素B”治疗期间平均体温39.03℃，方差约为0.0156；“抗生素C”平均体温38℃，方差约为0.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳.‎ ‎19．（1）证明：取中点，连接，，‎ 因为，，所以，‎ 因为平面，平面，所以平面，‎ 又，同理可得平面，‎ 又，，平面，所以平面平面，‎ 又平面，所以平面.‎ ‎（2）解：设点到平面的距离，连接、，‎ 因为，，，所以，‎ 又面，则为三棱锥的高，‎ 所以，‎ 因为在中，，，‎ 所以，所以在直角中，，‎ 因为在等腰三角形中，，，‎ 所以，‎ 因为， 所以，所以.‎ ‎20．解：（1）根据已知设抛物线的方程为.‎ ‎∵圆的方程为，∴圆心的坐标为，半径.‎ ‎∴，解得.∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）∵是与的等差中项，∴.‎ ‎∴.‎ 若垂直于轴，则的方程为，代入，得.‎ 此时，即直线不满足题意.‎ 若不垂直于轴，设的斜率为，由已知得，的方程为.‎ 设，由得.‎ ‎∴.∵抛物线的准线为，‎ ‎∴，∴，解得.‎ 当时，化为，‎ ‎∵，∴有两个不相等实数根.‎ ‎∴满足题意，即直线满足题意.‎ ‎∴存在满足要求的直线，它的方程为或.‎ ‎21．解：（1）的定义域为，求导得，‎ 令，得，，‎ 若时，，在上恒成立，单调递增；‎ 若时，，方程的两根为，.‎ 当时，，，则时，，故在单调递增；‎ 当时，，则或时，，故在和上单调递增.‎ 综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，；当时，的单调递增区间为（）.‎ ‎（2）由（1）知有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根 ‎，，，，‎ 此时不等式恒成立，等价于对恒成立，‎ 可化为恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ ‎，，，‎ 在恒成立，在上单调递减，‎ ‎，.故实数的取值范围是.‎ ‎22．解：（1）曲线的普通方程为，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）曲线是以为圆心，为半径的圆，‎ 圆心到直线的距离.‎ ‎∴由图像可知，存在这样的点，，则，且点到直 线的距离，∴，∴.‎ ‎23．解：（1）依题意，，函数的图象大致如图所示，‎ 结合图象可知.‎ ‎（2）因为，故，则.‎ 当且仅当时等号成立，所以的最小值为.‎