黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

铁人中学2019级高一学年下学期期末考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 ‎ 2、 请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。‎ 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分）‎ ‎1．若实数a，b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A． B．a2＞b‎2 ‎C．ab＞b D．a3＞b3‎ ‎2．已知直线l1；2x+y﹣2＝0，l2：ax+4y+1＝0，若l1⊥l2，则a的值为（　　）‎ A．8 B．‎2 ‎C．﹣ D．﹣2‎ ‎3．在等差数列中，，，则（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎4.在中，已知，，，则（ ）‎ A.45° B.135° C.45°或135° D.以上都不对 ‎5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（　　）‎ A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥β ‎ C．若α⊥β，则n∥α D．若α⊥β，则m⊥n ‎6．已知等比数列的前n项和，则（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ 7． 已知点，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ - 8 -‎ C. D.‎ 第8题图 ‎9.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为（ ）‎ A．201 B．‎191 ‎C．184 D．174‎ ‎10．直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎ 第10题图 ‎11．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，PB与平面PAC所成的角为30°，则球O的表面积为（　　）‎ A．6π B．12π C．16π D．48π 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ - 8 -‎ ‎13．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为__________．‎ ‎14．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为__________．‎ ‎15．已知正数，满足，则的最小值为__________．‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin‎2A+cosB＝1，则的取值范围为　 　．‎ 三、解答题 (共70分)‎ ‎17．（本小题满分10分）在中，角A，B，C的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知数列，是其前n项和，且满足，．‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和．‎ ‎19．（本小题满分12分）在平行四边形ABCD中，A（﹣1，4），B（2，3），C（﹣2，﹣2）．‎ ‎（1）求直线AD的方程；‎ ‎（2）求平行四边形ABCD的面积．‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD．‎ ‎（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若PA⊥AC，M为PC的中点，求三棱锥B﹣CDM的体积．‎ - 8 -‎ ‎ 第20题图 ‎21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，x∈R，a∈R．‎ ‎（1）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；‎ ‎（2）解关于x的不等式f（x）＜‎3a2；‎ ‎（3）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞1均成立，求a的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）如图，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；‎ ‎（1）求圆C2的方程；‎ ‎（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM＝PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎ 第22题图 - 8 -‎ 参考答案：‎ 选择题 ‎1.D 2.D 3. C 4.A 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B 填空题 13. ‎2 14. 15. 49 16.（2，3）‎ 解答题 ‎17．【解】（1）因为，‎ 所以由正弦定理得，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为中，，‎ 所以，所以．（6分）‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ 所以，即，‎ 解得或（负值舍去）．所以．（12分）‎ ‎18．【解】（1）证明：由得，‎ 两式相减得，‎ 即，‎ 所以，即，‎ 故数列为等比数列．（6分）‎ ‎（2）在中令，‎ - 8 -‎ 得，所以．‎ 由（1）知数列的公比为，所以，‎ 所以，（8分）‎ 所以 两式相减得 整理得．（12分）‎ ‎19.【解】如图所示：‎ ‎（1）AC中点为（﹣，1），该点也为BD中点，‎ 设D（x，y），则，解得：，则D（﹣5，﹣1），‎ 直线AD的方程为：y﹣4＝（x+1），即5x﹣4y+21＝0；‎ ‎（2）直线BC的方程为：y﹣3＝（x﹣2），化简得：5x﹣4y+2＝0，‎ 点A（﹣1，4）到BC的距离为：d＝＝，‎ 又BC＝＝，‎ - 8 -‎ ‎∴平行四边形ABCD的面积为：BC×d＝×＝19．‎ ‎20.【解】（1）证明：设BD交AC于点O，连接PO，在菱形ABCD中，AC⊥BD，‎ 又PB＝PD，O是BD的中点，∴PO⊥BD，‎ ‎∵AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，‎ 又BD⊂平面ABCD，故平面PAC⊥平面ABCD；‎ ‎（2）解：连接OM，∵M为PC的中点，且O为AC的中点，∴OM∥PA，‎ 由（1）知，BD⊥PA，又PA⊥AC，‎ 则BD⊥OM，OM⊥AC，‎ 又AC∩BD＝O，∴OM⊥平面ABCD，‎ 又，‎ OM＝，‎ ‎∴＝．‎ ‎∴三棱锥B﹣CDM的体积为1．‎ ‎21.【解】（1）当a＝1时x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2‎ ‎（2）由f（x）＜‎3a2，‎ ‎∴（x﹣‎3a）（x+a）＜0‎ 当a＞0时解集为（﹣a，‎3a）‎ 当a＝0时解集为空集 当a＜0时解集为（‎3a，﹣a）‎ ‎（3）由f（x）＞1得x2﹣2ax＞1，变形的‎2a＜，由函数单调性的相关知识：函数y＝x﹣在x∈（2，+∞）单调递增，‎ ‎2a‎≤即a ‎22.【解】（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20，令x＝0，解得y＝0或4．‎ ‎∵圆C2过O，A两点，∴可设圆C2的圆心C1（a，2）．‎ - 8 -‎ 直线C2O的方程为：y＝x，即x﹣2y＝0．‎ ‎∵直线C2O与圆C1相切，∴＝，解得a＝﹣1，‎ ‎∴圆C2的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝，化为：x2+y2+2x﹣4y＝0．‎ ‎（2）存在，且为P（3，4）．‎ 设直线OM的方程为：y＝kx．‎ 代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x＝0．‎ xM＝，yM＝．‎ 代入圆C1的方程可得：（1+k2）x2﹣（8+4k）x＝0．‎ xN＝，yN＝．‎ 设P（x，y），线段MN的中点E．‎ 则×k＝﹣1，‎ 化为：k（4﹣y）+（3﹣x）＝0，‎ 令4﹣y＝3﹣x＝0，解得x＝3，y＝4．‎ ‎∴P（3，4）与k无关系．‎ ‎∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM＝PN始终成立．‎ - 8 -‎