黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（理）试题

黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（理）试题

大庆铁人中学高 二 学年 上 学期 月考 考试 数学试题 一、选择题（每小题5分, 共60分）‎ ‎1.设，则“”是“”的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.‎ ‎【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.‎ ‎【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎2.已知命题“设、、，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，命题“设、、，若，则”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设、、，若，则”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，故选B．‎ 考点：四种命题的真假的判定．‎ ‎3.已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将椭圆化为标准方程，根据方程可求得a、b、c的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。‎ ‎【详解】由椭圆方程化为标准方程可得 ‎ 所以 ‎ 长轴为 ，焦距，短轴，离心率 ‎ 所以选D ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及a、b、c的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题。‎ ‎4.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，再否定结论，可选出答案。‎ ‎【详解】命题“，”的否定是，‎ 故选C ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，注意区分命题的否定与否命题，命题的否定只否结论，否命题条件结论都要否。属于基础题。‎ ‎5.已知椭圆的两个焦点分别为，，斜率不为的直线过点，且交椭圆于，两点，则的周长为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得，周长 ‎.故选．‎ 点睛：本题考查椭圆的定义；在解决过椭圆或双曲线的两焦点的弦长问题时，往往要利用椭圆或双曲线的定义进行处理，如本题中利用椭圆的定义将求三角形的周长转化为，到椭圆的两个焦点的距离的和.‎ ‎6.方程对应的曲线是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简为，即可选出答案。‎ ‎【详解】故表示的为曲线为在第一象限的部分。‎ 故选D ‎【点睛】本题考查函数的的图像，正确化简等式是解本题的关键，属于基础题。‎ ‎7.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.‎ ‎【详解】A选项，若，，则可能平行、相交、或异面；故A错；‎ B选项，若，，，则可能平行或异面；故B错；‎ C选项，若，，，如果再满足，才会有则与垂直，所以与不一定垂直；故C错；‎ D选项，若，，则，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正确.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.‎ ‎8.若命题：，，命题：，.则下列命题中是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题p和q的真假，再判断选项得解.‎ ‎【详解】对于命题p,,所以命题p是假命题，所以是真命题；‎ 对于命题q, ，,是真命题.‎ 所以是真命题.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可。‎ ‎【详解】设弦两端点为，则 ‎①-②得 即直线为 ‎ 化简得 故选C ‎【点睛】本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线，解决本类题的思路是点差法：设点-作差-变形，根据中点坐标，即可求出所在直线的的斜率，即可写出直线，属于基础题。‎ ‎10.设椭圆：的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知,要求直线的斜率，即求，又，即在中求出，即可得到答案。‎ ‎【详解】因为点为以为直径的圆与在第一象限的交点，所以,‎ 设 则在中有 解得 所以 ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查根据椭圆的定义求直线的斜率。熟练掌握椭圆的定义，解出所需量属于本题的关键，属于中档题。‎ ‎11.如图，已知点在焦点为、的椭圆上运动，则与的边相切，且与边，的延长线相切的圆的圆心的轨迹是（ ）‎ A. 一条直线 B. 一个圆 C. 一个椭圆 D. 一个半圆 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆与三角形三边长及其延长线的切点，利用切线定理得到线段的相等关系，最后转化为线段的长度为定值，说明切点为定点A,由此可得结论。‎ ‎【详解】如图所示： ‎ 设圆与分别相切于 由切线定理得: ‎ 因为在椭圆上 定值 ‎ ‎∵‎ 为定值 ‎∴切点 ‎ ‎∴在过垂直于椭圆所在轴的直线上.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的轨迹问题，椭圆的第一定义，考查了等价转化思想方法，属于中档题。‎ ‎12.已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若椭圆上存在一点，使四边形是平行四边形（其中点为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意写出直线：，再与椭圆联立可得，即可求出，再将点代入椭圆，即可解出答案。‎ ‎【详解】由题意知直线： ，联立与 消得 ， ，‎ ‎，‎ 所以线段的中点为，故点，‎ 将代入椭圆得：‎ 解得 故选A ‎【点睛】本题考查根据椭圆与直线的位置关系求椭圆的离心率，解本题的关键在于利用平行四边形的性质利用 表示出点，属于中档题。‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.设椭圆的上、下焦点分别为，，右顶点为.若，则该椭圆的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知，再由即可写出答案。‎ ‎【详解】由知,即，， ‎ 故椭圆的标准方程为 故填 ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆中各线段的值，是解本题的关键，属于基础题。‎ ‎14.已知命题：，是真命题，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题是真命题等价于在，转化为求二次函数在定区间上的最大值，根据二次函数在对称轴两边的单调性即可找到其最大值，即可解出答案。‎ ‎【详解】记，，真命题 即，恒成立，即 又函数，对称轴 ‎ 所以在 单调递减，在单调递增，‎ 根据二次函数的对称性知道 故填 ‎【点睛】本题综合考查命题、二次函数在定区间上的最值求法、恒成立问题。使用了转化思想，属于基础题。‎ ‎15.过椭圆中心作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则周长的最小值是______．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记椭圆的另一个焦点为，则，由，，即可求出 周长的最小值。‎ ‎【详解】如图所示，记椭圆的另一个焦点为 ，‎ 则根据椭圆的对称性知道: ，,‎ 设 ，则，‎ 又因为，，‎ 所以，即，。‎ 所以的周长为 故填18‎ ‎【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题，熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键，属于基础题。‎ ‎16.已知，分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 首次按判断出为等腰三角形只可能，再利用直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，即可解出椭圆离心率的范围 ‎【详解】为等腰三角形，只可能 ‎ 即，‎ 又因为点在直线上，即 又因为椭圆 ‎ 所以 故填 ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围，找到直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，是解本题的关键，属于中档题。‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知，，其中.‎ ‎（1）若，且为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）为真时的条件,当且仅当与都为真时才为真；（2）判断充分不必要条件时,如果无法进行正面判断,则可以使用其逆否命题进行判断,然后转化为集合之间的包含关系,得出答案．‎ 试题解析：解：（1）由，解得，所以 又，因为，解得，所以．‎ 当时，，又为真，都为真，所以．‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，‎ 由（1），，所以，即．‎ 考点：1．一元二次不等式．2．命题及其关系．3．充分必要条件．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题．另外需注意等号的取舍．‎ ‎18.已知焦点在轴上的椭圆经过点，焦距为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）点是椭圆上的任意点，求点到直线：距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出椭圆的标准方程，根据条件写出方程组，即可解出，即可得出答案。‎ ‎（2）设出点的参数方程，再利用点到直线的距离公式，化简即可求出。‎ ‎【详解】（1）设椭圆为，则 将点代入有：‎ ‎ 解得 即椭圆为 ‎（2）设，则 ‎ ‎ 所以点到直线：距离的最大值为 ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆上动点到定直线的距离的最大值，熟练掌握椭圆的参数方程与点到直线的距离公式，是解本题的关键。属于基础题。‎ ‎19.点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）点在（1）中轨迹上运动轴，为垂足，点满足，求点轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意用表示出与，再代入，再化简即可得出答案。‎ ‎（2）设，利用表示出点，再将点代入椭圆，化简即可得出答案。‎ ‎【详解】（1）由题意知 ， ‎ 所以化简得：‎ ‎（2）设，因为，则 将代入椭圆得 化简得 ‎【点睛】本题考查轨迹方程，一般求某点的轨迹方程，只需要设该点为，利用所给条件建立的关系式，化简即可。属于基础题。‎ ‎20.已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设、是直线：上的不同两点，若，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意建立关于 的方程组，解出方程组即可得出答案.‎ ‎（2）根据题意设、，利用可得到，再代入，即可解出其最小值。‎ ‎【详解】（1）由题意知 ‎ 所以椭圆的标准方程为：‎ ‎（2）由（1）知，、的坐标分别为、，设直线：上的不同两点、的坐标分别为、，则、，由得，即，不妨设，则，当、时取等号，所以 的最小值是.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，与椭圆有关的线段的最值。解本类题需熟练掌握椭圆中的关系，与离心率的定义，最值的求法：一般式设点，建立等式，再利用函数的性质求其最值，属于中档题。‎ ‎21.：圆心为，：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线过与（1）中所求轨迹交于、不同两点，点关于轴对称点为点，直线是否恒过定点，若过定点求出该点坐标，否则，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）定点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出圆心，根据题意写出等式，化简即可得出答案。‎ ‎（2）设直线为，，联立直线可得到，，，代入直线:，根据 ，，化简即可得出答案。‎ ‎【详解】（1）设，圆的半径为 ,由题意有 , ‎ 消 得到：，化简得 ‎（2）当直线斜率存在时，设直线为： ，， ‎ 令 联立椭圆，得 ，‎ 则 ，，‎ ‎ ‎ 所以直线为: ,又 ， ‎ 代入化简得，‎ 直线恒过定点。‎ 当直线斜率不存在时，直线为：，则，，点重合。‎ 综上所述直线恒过定点。‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程，椭圆中直线过定点，一般圆锥曲线中关于直线过定点，都需要设出参数，利用参数表示出直线，再根据直线的性质说明直线过定点。属于难题。‎ ‎22.已知椭圆的右焦点为,点为椭圆上的动点，若的最大值和最小值分别为和.‎ ‎(I)求椭圆的方程 ‎(Ⅱ)设不过原点的直线与椭圆 交于两点,若直线的斜率依次成等比数列,求面积的最大值 ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)1.‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是和，结合已知条件，建立关于的方程组，从而求得的值，借助于椭圆中之间的关系，求得的值，从而求得椭圆的方程；第二问设出直线的方程，将其与椭圆联立，写出两根和与两根积，根据条件，确定出斜率的值，之后将面积转化为关于b的式子，利用二次函数的最值求得结果.‎ 详解：（I）由已知得：‎ 椭圆方程为 ‎ ‎（II）设（易知存在斜率，且），设 ‎ 由条件知：‎ ‎ ‎ 联立(1)(2)得： ‎ 点到直线的距离 ‎ ‎ 且 ‎ 所以当时：‎ ‎. ‎ 点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在求解的过程中，需要明确椭圆上的动点到焦点的距离的最大值和最小值分别是谁从而求得有关参数的值，并且应用椭圆中三者之间的关系，求得的值，从而确定出椭圆的方程；之后利用直线与椭圆相交问题就需要联立方程组，需要有两个交点，从而判别式大于零这个条件不能忽视，之后借用韦达定理求得两根和与两根积，结合题的条件，最后将面积转化为的关系，借助于二次函数的最值来求的最后的结果.‎ ‎ ‎