2018-2019学年河南省南阳市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河南省南阳市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省南阳市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.‎ ‎【考点】分层抽样．‎ ‎2．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据诱导公式化简到角是锐角，再用正弦和差角公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知得 ‎=‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.‎ ‎3．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的奇偶性的判断方法先判断函数的奇偶性，排除一些选项，再利用特殊点的函数值的正负可得选项.‎ ‎【详解】‎ 由知函数是偶函数，排除B选项；‎ 再因为 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 在进行图像辨析时，常常考虑函数的奇偶性和特殊点的正负进行排除选项，属于基础题.‎ ‎4．已知，则，，的大小顺序为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得.‎ ‎【详解】‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.‎ ‎5．已知：平面内不再同一条直线上的四点、、、满足，若 ‎，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算对照向量的系数求解.‎ ‎【详解】‎ 根据向量的加法原理得 所以， ，‎ 解得且 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算，属于基础题.‎ ‎6．某公司的班车在和三个时间点发车.小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意得小明等车时间不超过分钟的总的时间段，再由比值求得.‎ ‎【详解】‎ 小明等车时间不超过分钟，则他需在至到，或至到，‎ 共计分钟，所以概率 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型，关键找到满足条件的时间段，属于基础题.‎ ‎7．已知奇函数满足，则的取值不可能是（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.‎ ‎【详解】‎ 由是奇函数得 又因为得关于对称，‎ 所以，‎ 解得 所以当时，得A答案；‎ 当时，得C答案 ‎；当时，得D答案；‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.‎ ‎8．已知平面上四个互异的点、、、满足：，则的形状一定是（ ）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式，再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.‎ ‎【详解】‎ 设边的中点，则 所以在中，垂直于的中线，‎ 所以是等腰三角形.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算和数量积，属于基础题.‎ ‎9．已知：，，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ ‎ ，所以 ‎ 因此 ‎ ‎ ，选B.‎ ‎10．已知：，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题关键在于观察出已知角与待求的角之间的特殊关系，属于中档题.‎ ‎11．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（ ）‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，又，所以，‎ 又因为，所以，所以，‎ 又因为，又，所以 ‎ 所以 又因为 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由图象确定函数的解析式和正弦函数和余弦函数图象之间的平移，关键在于将异名函数化为同名函数，属于中档题.‎ ‎12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为 （ ）‎ ‎（参考数据： ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，故选B.‎ ‎【点晴】本题主要考查程序框和三角运算，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.‎ 二、填空题 ‎13．在平行四边形中，为与的交点，，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.‎ ‎【详解】‎ 由向量的加法法则得：‎ 所以 ，所以 故填：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算，属于基础题.‎ ‎14．已知函数，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三角函数的辅助角公式化简，关键需得出辅助角的正切值，再由函数的最大值求解.‎ ‎【详解】‎ 由三角函数的辅助公式得 ‎（其中），‎ 因为所以，‎ 所以，所以，，‎ 所以，故填： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的辅助角公式，属于基础题.‎ ‎15．函数的零点个数为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解.‎ ‎【详解】‎ 由三角函数的诱导公式得，‎ 所以令，求零点的个数转化求方程根的个数，‎ 因此在同一直角坐标系分别做出和的图象，观察两支图象的交点的个数为个，注意在做的图像时当时，,‎ 故得解. ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.‎ ‎16．已知：，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，‎ 所以，‎ 又因为 ，所以，‎ 解得，所以，‎ 故填 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的值域，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系中，以轴为始边，作两个角，它们终边分别经过点和，其中,，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)根据正弦的定义求得，再运用余弦的二倍角公式求解，‎ ‎(2)由(1)问可得、两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由 得：‎ 所以：‎ ‎（2）由 则 故 因此.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.‎ ‎18．已知，且与的夹角.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）记与的夹角为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)求向量的模先求向量的平方；‎ ‎(2)由向量的夹角公式可以求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意可得：‎ 故 ‎（2），则 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积运算，求向量的模和夹角，属于基础题.‎ ‎19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价（单位：元）和销售量（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：‎ 销售单价/元 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 销售量/万件 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；‎ ‎（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在内，已知该产品的成本是元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）‎ 参考数据：‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）8.75元.‎ ‎【解析】(1)根据最小二乘法求线性回归方程；‎ ‎(2)利用线性回归方程建立利润的函数，再求此函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 关于的回归方程为.‎ ‎（2）利润 该函数的对称轴方程是，‎ 故销售单价定为元时，企业才能获得最大利润.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程和求利润的最值，属于基础题.‎ ‎20．已知向量，函数，且当，时，的最小值为.‎ ‎（1）求的值，并求的单调递增区间；‎ ‎（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】(1)运用向量的数量积运算和辅助角公式化简，求解和求其单调区间；‎ ‎(2)根据图像的平移和函数的对称轴求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数 ‎，‎ 得.‎ 即，由题意得 ‎，‎ 得 所以，函数的单调增区间为.‎ ‎（2）由题意，‎ ‎，‎ 又，得 解得：或 即或 或 故所有根之和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的值域、单调性和对称性，属于基础题.‎ ‎21．“中国人均读书本（包括网络文学和教科书），比韩国的本、法国的本、日本的本、犹太人的本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：‎ ‎（1）估计在这名读书者中年龄分布在的人数；‎ ‎（2）求这名读书者年龄的平均数和中位数；‎ ‎（3）若从年龄在的读书者中任取名，求这两名读书者年龄在的人数恰为的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】(1)识别频率直方图，注意其纵轴的意义；‎ ‎(2)在频率直方图中平均数是每组数据的组中值乘以频率，中位数是排在最中间的数;‎ ‎(3)求出古典概型中的基本事情总数和具体事件数，利用比值求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图知，年龄在的频率为 所以，名读书者年龄分布在的人数为人.‎ ‎（2）名读书者年龄的平均数为：‎ 设中位数为，‎ 解之得，‎ 即名读书者年龄的中位数为岁.‎ ‎（3）年龄在的读书者有人，记为，；年龄在的读数者有人，记为，，，从上述人中选出人，共有如下基本事件：‎ ‎ ‎ ‎,‎ 共有基本事件数为个,‎ 记选取的两名读者中恰好有一人年龄在中为事件，‎ 则事件包含的基本事件数为个:‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查识别频率直方图和样本的数字特征，属于基础题.‎ ‎22．如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点. ‎ ‎（1）求函数的解析式及上的单调增区间；‎ ‎（2）若时，函数的最小值为，求实数的值. ‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由点是线段的中点，可得和的坐标，从而得最值和周期，可得和，再代入顶点坐标可得，再利用整体换元可求单调区间；‎ ‎（2）令得到，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为中点，，所以，，则，‎ ‎，又因为，则 所以，由 又因为，则 所以 令 ‎ 又因为 则单调递增区间为. ‎ ‎（2）因为 ‎ 所以 令，则 对称轴为 ‎①当时，即时，； ‎ ‎②当时，即时，（舍）‎ ‎③当时，即时，（舍）‎ ‎ 综上可得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.‎