高中数学必修2教案：2_3_3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质 (3)

高中数学必修2教案：2_3_3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质 (3)

第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；‎ ‎（2）能运用性质定理解决一些简单问题；‎ ‎（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.‎ ‎2．过程与方法 ‎（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；‎ ‎3．情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.‎ ‎（二）教学重点、难点 两个性质定理的证明.‎ ‎（三）教学方法 学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.‎ 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？‎ 问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？‎ 师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题 复习巩固以旧带新 探索新知 一、直线与平面垂直的性质定理 ‎1．问题：已知直线a、b和平面，如果，那么直线a、b一定平行吗？‎ 已知 求证：b∥a.‎ 证明：假定b不平行于a，设=0‎ b′是经过O与直线a 生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.‎ 师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法”‎ 师生边分析边板书.‎ 借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.‎ 平行的直线 ‎∵a∥b′，‎ ‎∴b′⊥a 即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的，‎ 因此b∥a.‎ ‎2．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 简化为：线面垂直线线平行 探索新知 二、平面与平面平行的性质定理 ‎1．问题 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ ‎ ‎2．例1 设，=CD，，AB⊥CD，AB⊥CD = B求证AB 证明：在内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角的平面角.由知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直线，所以AB⊥‎ ‎3．平面与平面垂直的性质定理 教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题 生：借助长方体模型，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A ‎∵‎ ‎∴A′A⊥面ABCD 故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.‎ 师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件还没有用，能否利用构造一条直线与AB垂直呢？‎ 生：在面内过B作BE⊥CD即可.‎ 师：为什么呢？‎ 学生分析，教师板书 本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.‎ 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 简记为：面面垂直线面垂直.‎ 典例分析 例2 如图，已知平面，，直线a满足，，试判断直线a与平面的位置关系.‎ 解：在内作垂直于与交线的直线b，‎ 因为，所以 因为，所以a∥b.‎ 又因为，所以a∥.‎ 即直线a与平面平行.‎ 例3 设平面⊥平面，点P作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系？‎ 证明：如图，设= c，过点P在平面内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有.‎ 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b垂合，因此.‎ 师投影例2并读题 生：平行 师：证明线面平行一般策略是什么？‎ 生：转证线线平行 师：假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何？‎ 生：垂直 师：已知，怎样作直线b？‎ 生：在内作b垂直于、的交线即可.‎ 学生写出证明过程，教师投影.‎ 师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.‎ 师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.‎ 巩固所学知识，训练化归能力.‎ 巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.‎ 随堂练习 ‎1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.‎ 学生独立完成 巩固、所学知识 ‎（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ √ ）‎ b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ √ ）‎ c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （ √ ）‎ ‎（2）已知直线a，b和平面，且a⊥b，a⊥，则b与的位置关系是 .‎ 答案：b∥或b.‎ ‎2．（1）下列命题中错误的是（ A ）‎ A．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线垂直于平面.‎ B．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面.‎ C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.‎ D．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么.‎ ‎（2）已知两个平面垂直，下列命题（ B ）‎ ‎①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.‎ ‎②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.‎ ‎③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.‎ ‎④‎ 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎3．设直线a，b分别在正方体ABCD – A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？‎ 答案：不相交，不异面 ‎4．已知平面，，直线a，且，，a∥，a⊥AB，试判断直线a与直线的位置关系. ‎ 答案：平行、相交或在平面内 归纳总结 ‎1．直线和平面垂直的性质 ‎2．平面和平面垂直的性质 ‎3．面面垂直线面垂直线线垂直 学生归纳总结，教材再补充完善.‎ 回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.‎ 课后作业 ‎2.3 第三课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力 备选例题 例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？‎ ‎【解析】‎ ‎【评析】若BC与垂直，同理可得AB与 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．‎ 例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知⊥r，⊥r，∩= l，求证：l⊥r．‎ ‎【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直．或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．‎ ‎【证明】法一：如图，设∩r = a ，∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．‎ ‎∵⊥r，⊥r，‎ ‎∴m⊥a，n⊥（面面垂直的性质）．‎ 又∩= l，‎ ‎∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，nr ‎∴l⊥r．‎ 法二：如图，设∩r = a，∩r = b，在内作m⊥a，在内作n⊥b．‎ ‎∵⊥r，⊥r，‎ ‎∴m⊥r，n⊥r．‎ ‎∴m∥n，又n，m，‎ ‎∴m∥，又∩= l，m，‎ ‎∴m∥l，‎ 又m⊥r，∴l⊥r．‎ ‎【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．‎