高中数学必修2教案：1_3_2柱体、锥体、台体的体积

高中数学必修2教案：1_3_2柱体、锥体、台体的体积

第二课时 柱体、锥体、台体的体积 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）‎ ‎（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.‎ ‎（3）培养学生空间想象能力和思维能力.‎ ‎2．过程与方法 ‎（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.‎ ‎（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.‎ ‎3．情感、态度与价值观 通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.‎ ‎（二）教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的体积计算.‎ 难点：简单组合体的体积计算.‎ ‎（三）教学方法 讲练结合 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 ‎1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.‎ 教师设问，学生回忆 师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积.‎ 复习巩固 点出主题 探索新知 柱体、锥体、台体的体积 ‎1．柱体、锥体、台体的体积公式：‎ V柱体 = Sh (S是底面积，h为柱体高)‎ V锥体 =(S是底面积，h为锥体高)‎ V台体 =(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)‎ 师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？‎ 生：V = Sh (S为底面面积，h为高)‎ 师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S为底面面积，h为高)‎ 师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). ‎ 柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高.‎ ‎2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 S = S′‎ S = 0‎ V柱体 = Sh V锥体=‎ 锥体的体积公式都是V = (S为底面面积，h为高)‎ 师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.‎ 生：锥体体积同底等高的柱体体积的.‎ 师：台体的结构特征是什么？‎ 生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分.‎ 师：台体的体积大家可以怎样求？‎ 生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差.‎ 师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式 V =‎ 其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)‎ 师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？‎ 生：令S′=0，得到锥体体积公式.‎ 令S′=S，得到柱体体积公式.‎ 因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路.‎ 培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.‎ 典例分析 例1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是‎7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重‎5.8kg 师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？‎ 生：‎ 空间组合体的体积计算关键在于弄 ‎，已知底面是正六边形，边长为‎12cm，内孔直径为‎10mm，高为‎10mm，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14，可用计算器)？‎ 解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即 ‎≈2956 (mm3) = 2.956(cm3)‎ 所以螺帽的个数为 ‎5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)‎ 答：这堆螺帽大约有252个.‎ 六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.‎ 学生分析，教师板书过程.‎ 师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等.‎ 清它的结构特征.‎ 典例分析 例2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.‎ ‎【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h = 2r，‎ ‎∵S = S侧 + 2S底 = 2 +，∴.‎ ‎∴内接正四棱柱的底面边长a=2r sin45°=.‎ ‎∴V = S底·h =‎ ‎= 4·，‎ 即圆柱的内接正四棱柱的体积为.‎ 教师投影例2并读题 师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用S表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.‎ 生：取内接正四棱柱的对角面.‎ 师：有什么好处？‎ 生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量.‎ 学生分析，教师板书过程.‎ 师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题.‎ 旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.‎ ‎ 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.‎ 随堂练习 ‎1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.‎ 答案：2325 cm2.‎ ‎2．正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？‎ 答案：.‎ 学生独立完成 培养学生理解能力，空间想象能力.‎ 归纳总结 ‎1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.‎ ‎2．简单组合体体积的计算.‎ ‎3．等积变换 学生归纳，教师补充完善.‎ 巩固所学，提高自我整合知识能力.‎ 课后作业 ‎1.3 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力 备用例题 例1：三棱柱ABC – A1B‎1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB‎1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2 = 7:5 .‎ ‎【分析】不妨设V1对应的几何体AEF – A1B‎1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的；V2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示.‎ ‎【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V = V1 + V2 = Sh.‎ ‎∵E、F分别为AB、AC的中点 ‎∴.‎ ‎∴V1:V2 = 7:5.‎ ‎【评析】本题求不规则的几何体C1B1—EBCF的体积时，是通过计算棱柱ABC—A1B‎1C1和棱台AEF—A1B‎1C1的体积的差来求得的.‎ 例2：一个底面直径为‎20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为‎6cm，高为‎20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(=3.14)‎ ‎【解析】因为圆锥形铅锤的体积为 ‎(cm3)‎ 设水面下降的高底为x，则小圆柱的体积为(20÷2)2x = 100x (cm3)‎ 所以有60=100x，解此方程得x = 0.6 (cm).‎ 答：铅锤取出后，杯中水面下降了‎0.6cm.‎