2015年湖南省高考数学试卷（文科）

2015年湖南省高考数学试卷（文科）

‎2015年湖南省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎2．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎3．（5分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎8．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（　　）‎ A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数 ‎9．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎10．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁UB）=　　．‎ ‎12．（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为　　．‎ ‎13．（5分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=　　．‎ ‎14．（5分）若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是　　．‎ ‎15．（5分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；‎ ‎（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．‎ ‎17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．‎ ‎（Ⅰ）证明：sinB=cosA；‎ ‎（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．‎ ‎18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．‎ ‎19．（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn﹣Sn+1+3，n∈N*，‎ ‎（Ⅰ）证明an+2=3an；‎ ‎（Ⅱ）求Sn．‎ ‎20．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．‎ ‎21．（13分）已知a＞0，函数f（x）=aexcosx（x∈[0，+∞]），记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{f（xn）}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若对一切n∈N*，xn≤|f（xn）|恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2015年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．‎ ‎【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．‎ ‎【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，‎ 所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•湖南）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可．‎ ‎【解答】解：因为x∈R，“x＞1“⇔“x3＞1”，‎ 所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 由图可知，最优解为A，‎ 联立，解得A（0，1）．‎ ‎∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．‎ ‎【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，‎ 第1次循环，S=，i=2，‎ 第2次循环，S=，i=3，‎ 第3次循环，S=，i=4，‎ 此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S==‎ ‎=‎ 故选：B ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•湖南）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，‎ 解得=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值 ‎【解答】解：∵+=，‎ ‎∴a＞0，b＞0，‎ ‎∵（当且仅当b=2a时取等号），‎ ‎∴，‎ 解可得，ab，即ab的最小值为2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（　　）‎ A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数 ‎【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），‎ 函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．‎ 排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；‎ x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|‎ 所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．‎ 所以||的最大值为7．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．‎ ‎【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；‎ 其内接正方体的棱长为x，则，解得x=，所以正方体的体积为，‎ 所以原工件材料的利用率为：=；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）（2015•湖南）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁UB）=　{1，2，3}　．‎ ‎【分析】首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集．‎ ‎【解答】解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，‎ 所以∁UB={2}，‎ 所以A∪（∁UB）={1，2，3}．‎ 故答案为：{1，2，3}．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•湖南）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为　x2+（y﹣1）2=1　．‎ ‎【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．‎ ‎【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ2=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．‎ 故答案为：x2+（y﹣1）2=1．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2015•湖南）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=　2　．‎ ‎【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．‎ ‎【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，‎ 且∠AOB=120°，‎ 则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，‎ 即=r，‎ 解得r=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2015•湖南）若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是　0＜b＜2　．‎ ‎【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|‎ 函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围 ‎【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，‎ 从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，‎ 结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，‎ 故答案为：0＜b＜2‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2015•湖南）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=　　．‎ ‎【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（（k1，），（（k2，），k1，k2都为整数，‎ 两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点，‎ ‎∴根据三角函数线可得出交点（（k1，），（（k2，），k1，k2都为整数，‎ ‎∵距离最短的两个交点的距离为2，‎ ‎∴这两个交点在同一个周期内，‎ ‎∴12=（）2+（）2，ω=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．（12分）（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；‎ ‎（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：‎ ‎{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，‎ ‎{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}；‎ ‎（Ⅱ）不正确．理由如下：‎ 由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：‎ ‎{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，‎ ‎∴中奖的概率为．‎ 不中奖的概率为：1﹣．‎ 故这种说法不正确．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．‎ ‎（Ⅰ）证明：sinB=cosA；‎ ‎（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．‎ ‎（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．‎ ‎∴=tanA，‎ ‎∵由正弦定理：，又tanA=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵sinA≠0，‎ ‎∴sinB=cosA．得证．‎ ‎（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，‎ ‎∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，‎ ‎∴sin2B=，‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴sinB=，‎ ‎∵B为钝角，‎ ‎∴B=，‎ 又∵cosA=sinB=，‎ ‎∴A=，‎ ‎∴C=π﹣A﹣B=，‎ 综上，A=C=，B=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015•湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，‎ ‎∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，‎ ‎∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，‎ 直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，‎ ‎∴AA1==，CF=．‎ 三棱锥F﹣AEC的体积：×==．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2015•湖南）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn﹣Sn+1+3，n∈N*，‎ ‎（Ⅰ）证明an+2=3an；‎ ‎（Ⅱ）求Sn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当n≥2时，通过an+2=3Sn﹣Sn+1+3与an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3作差，然后验证当n=1时命题也成立即可；‎ ‎（Ⅱ）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：当n≥2时，由an+2=3Sn﹣Sn+1+3，‎ 可得an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3，‎ 两式相减，得an+2﹣an+1=3an﹣an+1，‎ ‎∴an+2=3an，‎ 当n=1时，有a3=3S1﹣S2+3=3×1﹣（1+2）+3=3，‎ ‎∴a3=3a1，命题也成立，‎ 综上所述：an+2=3an；‎ ‎（Ⅱ）解：由（I）可得，其中k是任意正整数，‎ ‎∴S2k﹣1=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2k﹣3+a2k﹣2）+a2k﹣1‎ ‎=3+32+…+3k﹣1+3k﹣1‎ ‎=+3k﹣1‎ ‎=×3k﹣1﹣，‎ S2k=S2k﹣1+a2k=×3k﹣1﹣+2×3k﹣1=﹣，‎ 综上所述，Sn=．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），‎ ‎∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，‎ 又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，‎ ‎∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），‎ ‎∴，‎ 又∵a2﹣b2=1，‎ ‎∴a2=9，b2=8，‎ ‎∴C2的方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），‎ ‎∵与同向，且|AC|=|BD|，‎ ‎∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，‎ ‎∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，‎ 设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，‎ 由，可得x2﹣4kx﹣4=0，‎ 由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，‎ 由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，‎ 由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，‎ 又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，‎ ‎∴16（k2+1）=+，‎ 化简得16（k2+1）=，‎ ‎∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，‎ 即直线l的斜率为±．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=aexcosx（x∈[0，+∞]），记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{f（xn）}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若对一切n∈N*，xn≤|f（xn）|恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；‎ ‎（Ⅱ）由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n＞4n+3，当a≥π时，验证得|f（xn+1）|＞xn+1，即可得到a的范围．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=aexcosx的导数为f′（x）=aex（cosx﹣sinx），‎ a＞0，x≥0，则ex≥1，‎ 由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+，k=0，1，2，…，‎ 当k为奇数时，f′（x）在kπ+附近左负右正，‎ 当k为偶数时，f′（x）在kπ+附近左正右负．‎ 故x=kπ+，k=0，1，2，…，均为极值点，‎ xn=（n﹣1）π+=nπ﹣，‎ f（xn）=acos（nπ﹣），f（xn+1）=acos（nπ+），‎ 当n为偶数时，f（xn+1）=﹣eπf（xn），‎ 当n为奇数时，f（xn+1）=﹣eπf（xn），‎ 即有数列{f（xn）}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）解：由于x1≤|f（x1）|，则≤a，‎ 解得a≥π，‎ 下面证明8n＞4n+3．‎ 当n=1时，8＞7显然成立，假设n=k时，8k＞4k+3，‎ 当n=k+1时，8k+1=8•8k＞8（4k+3）=32k+24‎ ‎=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，‎ 即有n=k+1时，不等式成立．‎ 综上可得8n＞4n+3（n∈N+），‎ 由eπ＞8，‎ 当a≥π时，‎ 由（Ⅰ）可得|f（xn+1）|=|（﹣eπ）|n|f（x1）|‎ ‎＞8n|f（x1）|=8nf（x1）＞（4n+3）x1＞xn+1，n∈N+，‎ 综上可得a≥π成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；changq；qiss；吕静；刘长柏；双曲线；sdpyqzh；sxs123；w3239003；cst（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日