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文档介绍
高考理科数学复习练习作业66
题组层级快练(六十六) 1.(2017·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是( ) A.2 B. C. D. 答案 C 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),∵|AB|=4,∴x1++x2+=4,∴x1+x2=3. ∴C点横坐标为,故选C. 2.(2014·新课标全国Ⅱ,文)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( ) A. B.6 C.12 D.7 答案 C 解析 先求解直线的方程,再进一步根据抛物线的定义求解弦长. ∵F为抛物线C:y2=3x的焦点,∴F(,0). ∴AB的方程为y-0=tan30°(x-),即y=x-. 联立得x2-x+=0. ∴x1+x2=-=,即xA+xB=. 由于|AB|=xA+xB+p,所以|AB|=+=12. 3.已知直线ax+y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则直线与抛物线相交弦的弦长为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C 解析 抛物线y2=4x的焦点F(1,0),点F在直线ax+y+1=0上,∴a+1=0,即a=-1,∴ 直线方程为x-y-1=0.联立得x2-6x+1=0.设直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 4.已知抛物线y2=4x的准线与x轴的交点为A,焦点为F,l是过点A且倾斜角为的直线,则点F到直线l的距离等于( ) A.1 B. C.2 D.2 答案 B 解析 A(-1,0),F(1,0),直线的方程为y=(x+1),点F到直线y=(x+1)的距离d==. 5.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷条 D.不存在 答案 B 解析 方法一:过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点, 若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和等于2,不适合.故设直线AB的斜率为k,则直线AB方程为y=k(x-1),代入抛物线y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0. ∵A,B两点的横坐标之和等于5,∴=5,k2=,k=±. 即这样的直线有且仅有两条. 方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5. ∴|AB|=x1+x2+p=5+2=7>2p=4.即|AB|>通径. ∴这样的直线有两条,选B. 6.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x+2)与抛物线交于A,B两点,则直线FA与直线FB的斜率之和为( ) A.0 B.2 C.-4 D.4 答案 A 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则联立得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.由kFA+kFB=+=+==,将x1x2=4代入,得kFA+kFB=0. 7.(2017·铜川一模)已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为,则|AB|的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,利用抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=x1+x2+1=4,由图可知|AF|+|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4,当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值4. 8.(2017·郑州第一次质量预测)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2 答案 C 解析 由题意可设直线方程为y=-(x-),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消元得4x2-12px+p2=0,∴x1+x2=3p.∴p=2,即抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1. 9.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若·=0,则k=( ) A. B. C. D.2 答案 D 解析 由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=4. ① 由⇒ ∵·=0,∴(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0. ∴(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0, 即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0. ④ 由①②③④式,解得k=2.故选D. 10.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,若x1x2=-,则2m的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 A 解析 由已知得kAB=-1,且AB的中点C(x0,y0)在直线y=x+m上,设直线AB的方程为y=-x+n,联立消去y并整理得2x2+x-n=0, 依题意得,∴n=1.又x1+x2=-,∴x0=-,y0=-x0+1=. ∵点C(x0,y0)在直线y=x+m上,∴=-+m,解得m=,∴2m=3,故选A. 11.(2017·河南豫东、豫北十所名校)如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,则p的值为( ) A.1 B.2 C. D.3 答案 B 解析 过B作准线的垂线BB′,则|BB′|=|BF|,由|BC|=|BF|,得直线l的倾斜角为45°.设A(x0,y0),由|AF|=4+2,得x0-=|AF|=2+2.∴(2+2)+p=4+2,∴p=2. 12.(2017·四川成都一中模拟)已知F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA⊥OB(其中O为坐标原点),则△AOB与△AOF面积之和的最小值是( ) A.16 B.8 C.8 D.18 答案 C 解析 设直线AB的方程为x=ty+m, 点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0), 将x=ty+m代入y2=4x,得y2-4ty-4m=0, 根据根与系数的关系有y1y2=-4m. ∵OA⊥OB,∴·=0,∴x1x2+y1y2=0,从而(y1×y2)2+y1y2=0. ∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-16,故m=4. 不妨令点A在x轴上方,则y1>0, 又F(1,0),∴S△ABO+S△AFO=×4(y1-y2)+y1=y1+≥8, 当且仅当y1=,即y1=时,取“=”, ∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是8,故选C. 13.(2016·四川,理)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( ) A. B. C. D.1 答案 C 解析 设P(,t),易知F(,0),则由|PM|=2|MF|,得M(,),当t=0时,直线OM的斜率k=0,当t≠0时,直线OM的斜率k==,所以|k|=≤=,当且仅当=时取等号,于是直线OM的斜率的最大值为,选C. 14.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是________. 答案 32 解析 设直线方程为x=ky+4,与抛物线联立得 y2-4ky-16=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-16. ∴y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+32. 故最小值为32. 15.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=________. 答案 2 解析 抛物线y2=4x的焦点F(1,0),p=2.由+=,即+=, ∴|BF|=2. 16.(2017·辽宁五校协作体期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于________. 答案 3 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2, |AB|=x1+x2+p==p,即有x1+x2=p, 由于直线l的倾斜角为60°,则直线l的方程为y-0=(x-), 即y=x-p,联立抛物线方程,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0, 则x1x2=,可得x1=p,x2=p,则==3. 17.(2017·浙江杭州七校模拟质量检测)抛物线y2=4x的焦点为F,过点(0,3)的直线与抛物线交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点D,若|AF|+|BF|=6,则点D的坐标为________. 答案 (4,0) 解析 设直线AB的方程为y=kx+3,代入抛物线y2=4x, 整理得k2x2+(6k-4)x+9=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,由|AF|+|BF|=6,得(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=-+2=6,解得k=-2,k=(舍去), 所以线段AB的中点为(2,-1),线段AB的垂直平分线方程为y+1=(x-2),令y=0,得x=4.故点D的坐标为(4,0). 18.(2016·课标全国Ⅰ,文)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H. (1)求; (2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由. 答案 (1)2 (2)没有 解析 (1)由已知得M(0,t),P(,t). 又N为M关于点P的对称点,故N(,t), 故直线ON的方程为y=x,将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0, 解得x1=0,x2=.因此H(,2t). 所以N为OH的中点,即=2. (2)直线MN与C除H以外没有其他公共点.理由如下: 直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t). 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t, 即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外,直线MH与C没有其他公共点. 1.(2017·东北三校)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|·|FP3| 答案 C 解析 抛物线的准线方程为x=-,由定义得|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+,则|FP1|+|FP3|=x1++x3+=x1+x3+p,2|FP2|=2x2+p,由2x2=x1+x3,得2|FP2|=|FP1|+|FP3|,故选C. 2.若抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是( ) A.(,1) B.(0,0) C.(1,2) D.(1,4) 答案 A 解析 设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x+m,由平面几何的性质可知,抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最短的点即为直线y=4x+m与抛物线相切的点.而对y=4x2求导得y′=8x,又直线y=4x+m的斜率为4,所以8x=4,得x=,此时y=4×()2=1,即切点为(,1),故选A. 3.(2017·威海一模)过抛物线C:y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两条斜率均存在的直线,分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2),若直线PA,PB关于直线x=x0对称,则log2|y1 +y2|-log2y0的值为( ) A.1 B.-1 C.- D.无法确定 答案 A 解析 设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1,y02=2px0相减得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0),故kPA==(x1≠x0).同理可得kPB=(x2≠x0).若直线PA,PB关于直线x=x0对称,则PA,PB的倾斜角互补.故kPA=-kPB,即=-.所以y1+y2=-2y0,故=-2,故log2|y1+y2|-log2y0=1.故选A. 4.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 先确定切线的方程,再联立方程组求解. 抛物线y2=2px的准线为直线x=-,而点A(-2,3)在准线上,所以-=-2,即p=4,从而C:y2=8x,焦点为F(2,0).设切线方程为y-3=k(x+2),代入y2=8x得y2-y+2k+3=0(k≠0)①.由于Δ=1-4×·(2k+3)=0,所以k=-2或k=.因为切点在第一象限,所以k=.将k=代入①中,得y=8,再代入y2=8x中得x=8,所以点B的坐标为(8,8),所以直线BF的斜率为=. 5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于点H,若|MN|=20,则|FH|=( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案 D 解析 设弦MN的中点为G(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,两式相减得y12-y22=2p(x1-x2),得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),所以(y1-y2)·2y0=2p(x1-x2),所以=,所以弦MN所在直线的斜率kMN==,MN 的中垂线所在直线的方程为y-y0=-(x-x0),令y=0得xH=x0+p,所以|FH|=x0+p-=x0+=+==|MN|=×20=10.故选D. 6.(2017·湖南益阳模拟)如图所示,已知直线l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且A,B两点在抛物线C准线上的射影分别是M,N,若|AM|=2|BN|,则k的值是( ) A. B. C. D.2 答案 C 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组消去x,得ky2-4y+4k=0. ① 因为直线与抛物线相交,所以有Δ=42-4×k×4k=16(1-k2)>0.(*) y1,y2是方程①的两个根,所以有 又因为|AM|=2|BN|,所以y1=2y2. ④ 解由②③④组成的方程组,得k=. 把k=代入(*)式检验,不等式成立.所以k=,故选C. 7.(2017·北京东城期末)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 点O是原点,如果|BF|=3,|BF|>|AF|,∠BFO=,那么|AF|的值为( ) A.1 B. C.3 D.6 答案 A 解析 由已知直线的斜率为k=,则方程为y=(x-),联立方程得3x2-5px+=0,即(2x-3p)(6x-p)=0. 因为|BF|>|AF|,所以xB=p,xA=,依题意xB+=2p=3,所以p=,则|AF|=xA+=p=1.故选A. 8.(2017·广东实验中学月考)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,以AB为直径的圆与C的准线有公共点M,若点M的纵坐标为2,则p的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C 解析 取AB的中点N,分别过A,B,N作准线的垂线AP,BQ,MN,垂足分别为P,Q,M,如图所示. 由抛物线的定义可知,|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|, 在直角梯形APQB中,|MN|=(|AP|+|BQ|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,故圆心N到准线的距离等于半径, 即以AB为直径的圆与抛物线的准线相切, 由M的纵坐标为2,可得N的纵坐标为2, 抛物线y2=2px的焦点坐标为(,0). 设直线AB的方程为y=2(x-),即x=y+, 与抛物线方程y2=2px联立,消去x,得y2-py-p2=0. 由根与系数的关系可得AB的中点N的纵坐标为,即有p=4.故选C. 9.(2017·杭州中学模拟)已知M(a,2)是抛物线y2=2x上的一点,直线MP,MQ分别与抛物线交于P,Q两点,且直线MP,MQ的倾斜角之和为π,则直线PQ的斜率为( ) A. B. C.- D.- 答案 C 解析 易知M(2,2),设P(,y1),Q(,y2),由直线MP,MQ的倾斜角之和为π,知直线MP,MQ斜率互为相反数,即kMP+kMQ=0,即+=0, 化简得+=0,即=0,∴y1+y2=-4. ∴kPQ===-=-.故选C. 10.(2016·浙江,文)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围. 解析 (1)由题意可得,抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1. 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以B(,-). 又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-. 从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-,所以N(,-). 设M(m,0),由A,M,N三点共线得=, 于是m==2+. 所以m<0或m>2. 经检验,m<0或m>2满足题意. 综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 11.如图所示,斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A,B两点,M为抛物线弧AB上的动点. (1)若|AB|=8,求抛物线的方程; (2)求S△ABM的最大值. 答案 (1)y2=4x (2)p2 解析 (1)由条件知lAB:y=x-,与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+p2=0,则x1+x2=3p.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p. 又因为|AB|=8,即p=2,则抛物线的方程为y2=4x. (2)方法一:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,设M(,y0),则M到AB的距离为d=. 因为点M在直线AB的上方,所以-y0-<0, 则d====. 当y0=p时,dmax=p. 故S△ABM的最大值为×4p×p=p2. 方法二:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2+2(m-p)x+m2=0.由Δ=4(m-p)2-4m2=0,得m=.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+,两直线间的距离为d==p,故S△ABM的最大值为×4p×p=p2.查看更多