2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一上学期12月联考数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一上学期12月联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一上学期12月联考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出集合，然后利用补集和并集的定义可求出集合.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，又，因此，.‎ 故选 ：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集和并集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．下列说法正确的是（ ）‎ A．四边形一定是平面图形 B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等 C．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等 ‎【答案】B ‎【解析】根据四边形包含平面四边形和空间四边形判断A选项的正误；根据棱锥的结构特征判断B选项的正误；举特例判断C选项的正误；根据棱柱的结构特征判断D选项的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，四边形包含平面四边形和空间四边形，空间四边形不是平面图形，A选项错误；‎ 对于B选项，棱锥的侧面的个数与底面的边数相等，B选项正确；‎ 对于C选项，球的表面不能展开为平面图形，C选项错误；‎ 对于D选项，棱柱的侧棱相等，但和底棱不一定相等，D选项错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单几何体结构特征，正确把握一些常见的简单几何体的结构特征是解答的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎3．若，，，则它们的大小顺序是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用幂函数的单调性得出、的大小关系，再比较这三个数与零的大小关系，由此可得出这三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 幂函数在上为减函数，则，即；‎ 对数函数在上为增函数，则.‎ ‎，所以，，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎4．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：令，又，‎ 所以，根据零点的存在定理，所以所在的区间是，故选B.‎ ‎【考点】函数的零点.‎ ‎5．集合，则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分和两种情况讨论，得出关于的不等式或方程，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，或.‎ ‎①若，则，解得；‎ ‎②若，由韦达定理得，无解.‎ 综上所述，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎6．定义在上的偶函数的部分图象如图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意判断出函数在区间上的单调性，并判断出四个选项中各函数在区间的单调性，由此可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，函数在区间上单调递增，‎ 由于函数为偶函数，在该函数在区间上单调递减.‎ 对于A选项，函数在区间上单调递减；‎ 对于B选项，函数在区间上单调递减；‎ 对于C选项，函数在区间上单调递减；‎ 对于D选项，函数在区间上单调递增.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的单调性是解答的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎7．已知是偶函数，它在上是增函数.若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用偶函数的性质将不等式变形为，再由函数在上的单调性得出，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由于函数是偶函数，由得，‎ 又函数在上是增函数，则，即，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8．设函数在上的值域是，则 的取值所组成的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求得函数在上的最大值为，由此可得出，然后分或两种情况讨论，利用数形结合思想可得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数，图象开口向下，对称轴为直线.‎ 由于函数在上的最大值为，，‎ 解方程，整理得，解得或.‎ 由于函数在上的值域是，则或，‎ ‎①若，则，如下图所示：‎ 由于函数在区间上的值域为，则，此时；‎ ‎②若，则，如下图所示：‎ 由于函数在区间上的值域为，则，此时.‎ 综上所述，的取值集合为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据二次函数在区间上的值域求参数，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎9．在中，，，，若使绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】绕直线旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以到的距离为半径，高之差为的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 绕直线旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以到的距离为半径，高之差为的圆锥的组合体，如下图所示：‎ ‎，，则，，‎ 所以，几何体的体积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是旋转体的体积，其中分析出几何体的形状及底面半径和高之差等几何量是解答的关键．‎ ‎10．如图，已知在四面体中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】取的中点，连接、，可知与所成的角为或其补角，由可得出，可计算出的正弦值，由此可计算出与所成的角的大小.‎ ‎【详解】‎ 取的中点，连接、，如下图所示：‎ ‎、分别为、的中点，，同理可得且，‎ 所以，与所成的角为或其补角，‎ ‎，，，在中，，‎ ‎，因此，与所成的角为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎11．已知函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分和解方程，求出的值，然后分和解不等式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，，方程无解；‎ 当时，令，解得，合乎题意.‎ 下面解不等式.‎ 当时，令，得出，解得，此时，；‎ 当时，令，解得，此时，.‎ 因此，不等式的解集为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12．已知函数，若有四个不等实根、、、，且，求的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出函数和的图象，根据二次函数图象的对称性得出，根据对数运算得出，并计算出的取值范围，利用函数的单调性可求出代数式的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 作出函数和的图象如下图所示：‎ 由于二次函数的图象关于直线对称，所以，，‎ 由，得，即，‎ 所以，，可得，‎ 由图象知，当时，直线与函数的图象有四个交点，‎ 所以，，即，即，‎ ‎，得，‎ 由于函数在区间上为减函数，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点相关的代数式取值范围的计算，解题的关键就是将所求代数式转化为以某变量为自变量的函数来求解，考查数形结合思想以及函数方程思想的应用，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数在上单调递减，则实数取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据幂函数在上的单调性得出指数的符号，进而可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于幂函数在上单调递减，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据幂函数的单调性求参数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．已知，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】计算出，再结合已知条件可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15．三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为，一个小虫从点出发沿侧面两周到达点，则小虫所行的最短路程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将正三棱柱沿侧棱展开，再拼接一次，则小虫所行的最短路程为六个矩形拼接而成的矩形的对角线的长度，利用勾股定理即可计算出结果.‎ ‎【详解】‎ 将正三棱柱沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，‎ 在展开图中，最短距离是六个矩形拼接而成的矩形的对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．‎ 由已知求得矩形的长等于，宽等于，‎ 因此，小虫所行的最短路程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎16．已知，在时，的最小值为，当关于的方程有有两个不等实根时，的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】换元，求出二次函数在上的最小值的表达式，然后作出函数与函数的图象，利用数形结合思想可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，令，则为二次函数在上的最小值，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.‎ ‎①当时，函数在区间上单调递增，‎ 此时，；‎ ‎②当时，二次函数在处取得最小值，即；‎ ‎③当时，二次函数在区间上单调递减，‎ 此时，.‎ 综上所述，.‎ 由得，则函数与函数的图象有两个交点，令，‎ 作出函数与函数的图象如下图所示：‎ 如图所示，当时，即当时，函数与函数的图象有两个交点，此时，关于的方程有有两个不等实根.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数在定区间上最值的求解，同时也考查了利用方程根的个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，综合性较强，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）已知，，用、表示.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用指数幂的运算性质可计算出结果；‎ ‎（2）由题意得出，利用换底公式和对数的运算性质可用、表示出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式；‎ ‎（2），，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂的运算和对数式的化简，涉及指数、对数的运算性质以及换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．集合，，.‎ ‎（1）若，，求实数的值；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出集合、，根据条件，可得出且，由此可求得实数的值；‎ ‎（2）分、、、四种情况讨论，分别求得实数的值或取值范围，综合可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 因为，所以和至少有一个在中，‎ 又因为，所以且，‎ 将代入，整理得，得或.‎ 当时，满足题意；‎ 当时，也满足题意.‎ 综上，或；‎ ‎（2）且，分以下四种情况讨论：‎ ‎①当时，，解得或；‎ ‎②当时，则，无解；‎ ‎③当时，则，无解；‎ ‎④当时，则，无解.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据集合运算和包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，，，为的中点，是线段上的一点.‎ ‎（1）若为的中点，求证：平面平面；‎ ‎（2）当点在什么位置时，平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）为靠近点的三等分点.‎ ‎【解析】（1）连接、，由中位线的性质得出，可得出平面，证明四边形为平行四边形，可得出，进而得出平面，再利用面面平行的判定定理可证明出平面平面；‎ ‎（2）连接、，设，利用相似三角形得出，由平面结合线面平行的性质得出，再利用平行线分线段成比例定理可确定点的位置.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如下图所示，连接、，‎ 因为、分别为、的中点，所以，‎ 平面，平面，所以，平面，‎ 又因为，为的中点，所以，‎ 又，所以四边形是平行四边形，，‎ 平面，平面，平面，‎ 又因为平面，平面，，‎ 所以平面平面；‎ ‎（2）连接、，设，连接，‎ 因为平面，平面，平面平面，‎ ‎，所以.‎ 在梯形中，，，‎ 又，所以，所以，，‎ 所以为线段上靠近点的三等分点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面平行的证明，同时也考查了线面平行的动点问题，涉及线面平行性质定理的应用，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎20．如图所示棱锥中，底面是长方形，底面周长为，，且是四棱锥的高.设.‎ ‎（1）当时，求三棱锥的体积；‎ ‎（2）四棱锥外接球的表面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）计算出的面积，以为高，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积，即为三棱锥的体积；‎ ‎（2）将四棱锥补成长方体，四棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设，则，利用二次函数的基本性质可求出外接球半径的最小值，再利用球体的表面积公式可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，，的面积为， ‎ 因此，三棱锥的体积为；‎ ‎（2）将四棱锥补成长方体，‎ 则四棱锥的外接球和长方体的外接球相同.‎ 设，则，所以球的半径， 当时，取得最小值，球的表面积，则的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用等体积法计算三棱锥的体积，同时也考查了多面体外接球表面积最值的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21．据气象中心观察和预测:发生于甲地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度与时间的函数图象图所示，过线段上一点作横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为内沙尘暴所经过的路程.‎ ‎（1） 当时，求的值；‎ ‎（2）将随变化的规律用数学关系式表示出来；‎ ‎（3）若乙城位于甲地正南方向，且距甲地，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到乙城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到乙城?如果不会，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）会，.‎ ‎【解析】（1）作出图形，设直线分别交直线、于点、，可知的值为直角梯形的面积，进而得解；‎ ‎（2）分、、三种情况讨论，分析直线左侧图形的形状，计算出其面积，即为关于的函数表达式；‎ ‎（3）分、、三种情况解方程，求出值，即为所求时间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设直线分别交直线、于点、，则，，，‎ 则的值为直角梯形的面积，所以，；‎ ‎（2）当时，此时，，（如图）；‎ 当时，此时，，（如图），‎ ‎ ；‎ 当时，、的坐标分别为、，‎ 直线的解析式为，点坐标为，，（如图）.‎ 综上，；‎ ‎（3）沙尘暴会侵袭到乙城. ‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，令，解得，，‎ ‎，.‎ 所以沙尘暴发生后侵袭到乙城.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是分段函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算，难度适中．‎ ‎22．已知函数（且）是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若关于的方程在上有实数根，求的取值范围；‎ ‎（3）若对于，使得恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）由求出实数的值，再利用定义验证函数为奇函数；‎ ‎（2）求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，解出即可；‎ ‎（3）由得，，令，构造函数，根据二次函数的基本性质得出关于实数的不等式组，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于函数是上的奇函数，则，解得，‎ ‎，‎ 则，‎ 所以，函数为奇函数；‎ ‎（2）由（1）得，，当时，，，‎ 所以，所以，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是；‎ ‎（3）由得，，‎ 设，由题意知对恒成立，‎ 令，由题意得，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性求参数、函数方程有解的问题以及函数不等式恒成立问题，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.‎