2020届广西壮族自治区广西柳州高级中学二模数学（理）试题（解析版）

2020届广西壮族自治区广西柳州高级中学二模数学（理）试题（解析版）

‎2020届广西壮族自治区广西柳州高级中学二模数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对两个集合进行化简，然后求它们的交集即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意A∩B＝‎ 即A∩B＝{2，3，4}‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集及其运算，求交集即求两个集合中的共同元素，正确理解定义是解决本题的关键．‎ ‎2．设为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．‎ ‎【详解】‎ 由i＝1+i，得，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．‎ ‎3．若等边的边长为4，则（ ）‎ A．8 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可画出图形，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出的值．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 根据条件，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等边三角形的概念，以及向量夹角的概念，向量数量积的计算公式．‎ ‎4．在的展开式中的系数为（ ）‎ A．50 B．20 C．15 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把（x﹣y）6按照二项式定理展开，可得（2x﹣1）（x﹣y）6的展开式中x3y3的系数．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（2x﹣1）（x﹣y）6＝（2x﹣1）（•y6•x5y•x4y2•x3y3•x2y4 xy5 y6），‎ 故展开式中x3y3的系数为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．‎ ‎5．若等比数列满足：，，，则该数列的公比为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接由得到q=2或﹣2，再依据条件进行取舍.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q ‎∵，∴q=2或﹣2，‎ 又当q=2时，满足， ‎ 当q=﹣2时，，不满足，‎ ‎∴q=2．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式的基本运算，考查了分类讨论思想，属于基础题.‎ ‎6．若实数，满足，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用反例判断A、B、D不正确，函数的单调性以及函数的奇偶性判断C的正误即可．‎ ‎【详解】‎ 对于A，∵e﹣2＜e1，∴A错误；‎ 对于B：，∴B错误；‎ 对于C：为偶函数，且当x∈（0，+∞）时，单调递增，当时，，即，故C正确；‎ 对于D，反例a＝2，b＝﹣1，可得0，0，．所以D不正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断与应用，考查指数函数，三角函数，以及函数奇偶性、单调性的应用，是基本知识的考查．‎ ‎7．在正四棱柱中，，，点，分别为棱，上两点，且，，则（ ）‎ A．，且直线，异面 B．，且直线，相交 C．，且直线，异面 D．，且直线，相交 ‎【答案】A ‎【解析】作图，通过计算可知D1E≠AF，取点M为BC的中点，则AMFD1共面，显然点E不在面AMFD1内，由此直线D1E，AF异面．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 如图，取点M为BC的中点，则AD1∥MF，‎ 故AMFD1共面，点E在面AMFD1面外，‎ 故直线D1E，AF异面．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题．‎ ‎8．设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出导函数，利用切线的斜率，求出a，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，∴a＝1，‎ 因为x＞0，所以当0＜x＜3时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，3]上递减，‎ 所以，∴1＜m≤2．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ ‎9．国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成时，那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球贏球的概率为，则在比分为，且甲发球的情况下，甲以赢下比赛的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设双方20：20平后的第k个球甲贏为事件Ak（k＝1，2，3，…），‎ P（甲以赢）＝P（A2A3A4）+P（），由此利用独立事件乘法概率公式能求出甲以赢的概率．‎ ‎【详解】‎ 设双方20：20平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…），‎ 则P（甲以赢）＝P（A2A3A4）+P（）＝P（）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4）＝（）+（）＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．‎ ‎10．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）的定义域为：x≠1，均满足，‎ 当x＝﹣1时，f（﹣1）0，排除A、 C．‎ 当x＝2时，f（2）0，排除B；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象的判断，利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．‎ ‎11．设圆，若等边的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值为（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，设∠CAB＝θ（0＜θ），连接PC与AB交于点D，把|PD|、|CD|用含有θ的代数式表示，再由三角函数求最值．‎ ‎【详解】‎ 化圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0为（x﹣1）2+y2＝4，‎ 连接AC，BC，设∠CAB＝θ（0＜θ），连接PC与AB交于点D，‎ ‎∵AC＝BC，△PAB是等边三角形，∴D是AB的中点，得PC⊥AB，‎ 在圆C：（x﹣1）2+y2＝4中，圆C的半径为2，|AB|＝4cosθ，|CD|＝2sinθ，‎ ‎∴在等边△PAB中，|PD||AB|，‎ ‎∴|PC|＝|CD|+|PD|4．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．‎ ‎12．设函数，下述四个结论：‎ ‎①是偶函数； ‎ ‎②的最小正周期为；‎ ‎③的最小值为0； ‎ ‎④在上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假．‎ ‎【详解】‎ 因为函数f（x）定义域为R，而且f（﹣x）＝cos|2x|+|sinx|＝f（x），所以f（x）是偶函数，①正确；‎ 因为函数y＝cos|2x|的最小正周期为π，y＝|sinx|的最小正周期为π，所以f（x）的最小正周期为π，②正确；‎ f（x）＝cos|2x|+|sinx|＝cos2x+|sinx|＝1﹣2sin2x+|sinx|＝﹣2（|sinx|）2，而|sinx ‎|∈[0，1]，所以当|sinx|＝1时，f（x）的最小值为0，③正确；‎ 由上可知f（x）＝0可得1﹣2sin2x+|sinx|＝0，解得|sinx|＝1或|sinx|（舍去）‎ 因此在[0，2π]上只有x或x，所以④不正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若等差数列满足：，，则______.‎ ‎【答案】n ‎【解析】【详解】‎ 设等差数列{an}的公差为d ‎∵a1＝1，a2+a3＝5，即 ‎∴d＝1， ‎ ‎∴an＝n，‎ 故答案为：n ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．‎ ‎14．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.‎ ‎【答案】0.4‎ ‎【解析】将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，‎ 由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，‎ 则韦恩图如下：中有30人，中有10人，又不买猪肉的人有30位，‎ ‎∴中有20人，∴只买猪肉的人数为：100，‎ ‎∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为=0.4，‎ 故答案为；0.4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.‎ ‎15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意画出图形，结合已知可得B（，），写出F1B的方程，与联立求得A点坐标，得到A为B、F1的中点，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 如图，因为B在渐近线上，‎ ‎∴设B（，）, 且，，‎ ‎∵， ‎ ‎∴，则B（，）‎ ‎∴F1B：y（x+2），‎ 联立，解得A（，），即A为B、F1的中点 ‎∴．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．‎ ‎16．若函数，恰有2个零点，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别设h（x）＝ex﹣a，g（x）＝（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．‎ ‎【详解】‎ 设h（x）＝ex﹣a，g（x）＝（x﹣a）（x﹣2a）‎ 若在x＜1时，h（x）＝ex﹣a与x轴有一个交点，‎ 所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝e﹣a＞0，所以0＜a＜e，‎ 而函数g（x）＝（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，‎ 所以a＜1，‎ 若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，‎ 则函数g（x）＝（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，‎ 当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），‎ 当h（1）＝e﹣a≤0时，即a≥e时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，‎ 综上所述a的取值范围是a＜1，或a≥e．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：‎ 消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 ‎≥5次 收费比率 ‎1‎ ‎0.95‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.80‎ 该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：‎ 消费次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 人数 ‎60‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：‎ ‎（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；‎ ‎（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列和数学期望 ‎【答案】(1) 45元(2)分布列见解析，数学期望为46.25元 ‎【解析】（1）分别求出两次消费为公司获得的利润，然后求平均值即可； ‎ ‎（2）由（1）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列，由期望公式计算得到期望．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵第一次消费为200元，利润为50元：第二次消费190元，利润为40元 ‎∴两次消费的平均利润为45元 ‎（2）若该会员消费1次，则 若该会员消费2次，则 若该会员消费3次，则 若该会员消费4次，则 若该会员消费5次，则 故X的分布列为：‎ ‎50‎ ‎45‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎30‎ ‎0.6‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ ‎0.05‎ 的期望为（元）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18．的内角，，的对边分别为，，，设.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的周长为8，求的面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用三角形内角和定理即二倍角公式化简已知等式，结合B的范围即可得到结果．‎ ‎（2）利用三角形的面积求出ac，利用余弦定理结合基本不等式求出ac的范围，即可得面积的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）且 ‎，‎ 又，‎ ‎（2）由题意知：‎ ‎，‎ 或（舍）（当时取“”）‎ 综上，的面积的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎19．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析(2) ‎ ‎【解析】（1）由菱形性质及勾股数得及，故平面，从而平面平面．‎ ‎（2）可证得，，于是为二面角所成的平面角 ‎．解三角形得出的大小．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令的中点为，连接，，‎ ‎，‎ 且 又∵底面为边长为2的菱形，‎ 且 又 又平面，平面 又平面，∴平面平面，‎ ‎（2）过作直线于，连接 ‎∵平面，面，‎ 为二面角所成的平面角 又 ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是二面角的作法，属于中档题．‎ ‎20．设椭圆，过点的直线，分别交于不同的两点、，直线恒过点 ‎（1）证明：直线，的斜率之和为定值；‎ ‎（2）直线，分别与轴相交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2) 轴上存在定点使为定值，该定值为1‎ ‎【解析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y＝k（x﹣4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得证；‎ ‎（2）设M（x3，0），N（x4，0），由y﹣1＝k1（x﹣2），令y＝0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，直线的斜率分别为 ‎，由得 ‎，可得：，‎ ‎（2）由，令，得，即 同理，即，设轴上存在定点则 ‎，要使为定值，即 故轴上存在定点使为定值，该定值为1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎21．设函数，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2) ‎ ‎【解析】（1）利用f（x ‎）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；‎ ‎（2）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min＝g（），当m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在上单调递增，，‎ 所以存在唯一，.当，递减；‎ 当，递增.‎ 所以，‎ ‎（2），‎ 当时，，在上单调递减，‎ ‎，满足题意 当时，在上单调递增，‎ ‎，，‎ 所以存在唯一，.‎ 当，递减；当，递增 而，.所以存在唯一.‎ 当，递增；当递减.‎ 要时，恒成立，即所以 当时，，当，递减，‎ 在递增，与题意矛盾 综上：的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数单调区间，求函数极值、最值问题，还涉及函数恒成立问题，考查了分类讨论思想及推理论证能力，属于难题．‎ ‎22．在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.‎ ‎（1）当时，求直线与曲线的普通方程；‎ ‎（2）若，其中，求直线的倾斜角.‎ ‎【答案】(1) ；；(2) 或 ‎【解析】（1）直接化曲线C的参数方程为普通方程，将α代入l的参数方程，再化为普通方程. ‎ ‎（2）将l的参数方程代入C的普通方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系得|MA|•|MB|，,然后求得tanα即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时直线的普通方程为：；曲线的普通方程为；‎ ‎（2）将直线代入得 所以直线的倾斜角为或 ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．‎ ‎23．已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式成立，证明：‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析 ‎【解析】（1）将a＝1代入f（x）中，去绝对值，然后分别解不等式；‎ ‎（2）由条件可得，对恒成立，转化为最值问题建立不等式组，然后解出的范围即可证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：当时 若则 若则成立 若则 综上，不等式的解集为 ‎（2）当时 ‎【点睛】‎ 本题考查解含绝对值不等式以及绝对值不等式恒成立问题，转化为求解函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题．‎