2019年高考数学总复习检测第7讲 函数的奇偶性与周期性

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2019年高考数学总复习检测第7讲 函数的奇偶性与周期性

第7讲 函数的奇偶性与周期性 ‎1.(2017·北京卷)已知函数f(x)=3x-()x,则f(x)(B)‎ A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数 ‎ 因为函数f(x)的定义域为R,‎ f(-x)=3-x-()-x=()x-3x=-f(x),‎ 所以函数f(x)是奇函数.‎ 因为函数y=()x在R上是减函数,‎ 所以函数y=-()x在R上是增函数.‎ 又因为y=3x在R上是增函数,‎ 所以函数f(x)=3x-()x在R上是增函数.‎ ‎2.(2014·新课标卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(C)‎ A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 ‎ 因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,‎ 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),‎ 所以f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),‎ 所以f(x)g(x)为奇函数.‎ ‎|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),‎ 所以|f(x)|g(x)为偶函数.‎ f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,‎ 所以f(x)|g(x)|为奇函数.‎ ‎|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,‎ 所以|f(x)g(x)|为偶函数.‎ ‎3.(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1+x),则f(-)=(A)‎ A.- B.- C. D. ‎ f(-)=f(-+4)=f(-)=-f()=-(1+)=-.‎ ‎4.(2016·安徽皖北联考)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+1)=-f(x),且f(x)在区间[0,2]上是递增的,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系为(A)‎ A.f(0)0,则实数m的取值范围为 [-,) .‎ ‎ 由f(m-1)+f(2m-1)>0‎ ‎⇒f(m-1)>-f(2m-1),‎ 因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x),‎ 所以f(m-1)>f(1-2m),‎ 又f(x)在[-10,10]上是减函数,‎ 所以解得-≤m<.‎ ‎7.已知函数f(x)=是奇函数.‎ ‎(1)求实数m,n的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.‎ ‎ (1)设x<0,则-x>0,‎ f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,‎ 又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=n=0,‎ f(-x)=-f(x),‎ 于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.‎ ‎(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,‎ 结合f(x)的图象可知有所以1时,f(x+)=f(x-),则f(6)=(D)‎ A.-2 B.-1‎ C.0 D.2‎ ‎ 由题意知,当x>时,f(x+)=f(x-),‎ 则当x>0时,f(x+1)=f(x).‎ 又当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),‎ 所以f(6)=f(1)=-f(-1).‎ 又当x<0时,f(x)=x3-1,‎ 所以f(-1)=-2,所以f(6)=2.故选D.‎ ‎9.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= 2 .‎ ‎ f(x)=1+,‎ 设g(x)=f(x)-1=,则g(x)是奇函数,‎ 因为f(x)的最大值为M,最小值为m,‎ 所以g(x)的最大值为M-1,最小值为m-1.‎ 所以M-1+m-1=0,所以M+m=2.‎ ‎10.已知定义域为R的函数f(x)=的图象关于原点对称.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)若对任意的t∈R,不等式f(2t2-2t)+f(t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.‎ ‎ (1)因为f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)是奇函数,所以f(0)=0,‎ 即=0,解得b=1,所以f(x)=.‎ 又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.‎ 故a=2,b=1.‎ ‎(2)由(1)知 f(x)===-+,‎ 易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.‎ 又f(x)是奇函数,所以不等式f(2t2-2t)+f(t2-k)<0等价于f(2t2-2t)<-f(t2-k)=f(k-t2),‎ 因为f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,‎ 所以2t2-2t>k-t2.‎ 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,‎ 从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<-.‎ 所以k的取值范围为(-∞,-).‎
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