2019年高考数学总复习检测第48讲 空间几何体的表面积与体积

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2019年高考数学总复习检测第48讲 空间几何体的表面积与体积

第48讲 空间几何体的表面积与体积 ‎1.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(A)‎ A.+1 B.+3‎ C.+1 D.+3‎ ‎ 由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形,高为3的三棱锥的组合体,‎ 所以该几何体的体积 V=×π×12×3+××××3=+1.‎ ‎2.(2015·新课标卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:‎ ‎“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(B)‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎ 设米堆的底面半径为r尺,则r=8,所以r=,‎ 所以米堆的体积为V=×π·r2·5=×()2×5≈(立方尺).故堆放的米约有÷1.62≈22(斛).‎ ‎3.(2018·河北五校高三联考)已知几何体的三视图如图所示,则其体积为(C)‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎ 将三视图还原为直观图,如图1.‎ 图1‎ 由直观图可知,该几何体是一个组合体,将该组合体分割成两个几何体,如图2.‎ 图2‎ ‎   其中EAGHD为四棱锥,EGHFBC为三棱柱.‎ 四棱锥EAGHD是底面边长分别为1,2的矩形,高为1,其体积V1=×1×2×1=.‎ 三棱柱EGHFBC为斜三棱柱,此棱柱通过割补可变成一个直三棱柱E′GHF′BC,如图3.‎ 图3‎ 此棱柱的体积V2=×2×1×1=1.‎ 所以所求几何体的体积V=V1+V2=.‎ ‎4.已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R,AB=AC=2,∠BAC=120°, 则球O的表面积为(D)‎ ‎ A. π B.π C. π D.π ‎ 在△ABC中,因为AB=AC=2,∠BAC=120°,‎ 所以∠ABC=30°,‎ 由正弦定理得=2r(r为△ABC的外接圆半径),‎ 即2r= =4,所以r=2.‎ 因为R2=r2+h2,又因为h=,‎ 所以R2=4+,解得R2=,‎ 所以球O的表面积为S=4πR2=.‎ ‎5.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 80 cm2,体积是 40 cm3.‎ ‎ 由三视图还原几何体如图所示,‎ 下面长方体的长、宽都是4,高为2;上面正方体的棱长为2.‎ 所以该几何体的表面积为(4×4+2×4+2×4)×2+2×2×4=80(cm2);‎ 体积为4×4×2+23=40(cm3).‎ ‎6.(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 π .‎ ‎ 设正方体的棱长为a,则6a2=18,所以a=.‎ 设球的半径为R,则由题意知2R==3,‎ 所以R=.故球的体积V=πR3=π×()3=π.‎ ‎7.一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为,求这个三棱锥的体积.‎ ‎ 如图,正三棱锥SABC,‎ 设H为正三角形ABC的中心,连接SH,则SH即为该正三棱锥的高,‎ 连接AH并延长交BC于E,‎ 则E为BC的中点,且AH⊥BC.‎ 因为△ABC是边长为6的正三角形,‎ 所以AE=×6=3,所以AH=AE=2,‎ 在△ABC中,S△ABC=BC·AE=×6×3=9.‎ 在Rt△SHA中,SA=,AH=2,‎ 所以SH===,‎ 所以V正三棱锥=S△ABC·SH=×9×=9.‎ ‎8.(2015·重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A)‎ A.+π B.+π C.+2π D.+2π ‎ 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积V1=××2×1×1=,半圆柱的体积V2=×π×12×2=π,所以V=+π.‎ ‎9.(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为 2+ .‎ ‎ 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1,高为1的圆柱体构成,‎ 所以V=2×1×1+2××π×12×1=2+.‎ ‎10.如图,是一个奖杯的三视图(单位:cm),底座是正四棱台.‎ ‎(1)求这个奖杯的体积(π取3.14);‎ ‎(2)求这个奖杯的底座的侧面积.‎ ‎ (1)球的体积V球=πr3=36π,‎ 圆柱的体积V圆柱=Sh1=64π,‎ 正四棱台的体积是V正四棱台=h2(S上+S下+)=336,‎ 所以此几何体的体积是V=100π+336=650(cm3).‎ ‎(2)因为底座是正四棱台,‎ 所以它的斜高是h′==5,‎ 所以它的侧面积是 S侧=4××(6+12)×5=180 (cm2).‎
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