2020高中数学 课时分层作业7 二项式定理 新人教A版选修2-3

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2020高中数学 课时分层作业7 二项式定理 新人教A版选修2-3

课时分层作业(七)  二项式定理 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(  )‎ A.(2x+2)5        B.2x5‎ C.(2x-1)5 D.32x5‎ D [原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.]‎ ‎2.已知 的展开式的第4项等于5,则x等于(  )‎ ‎ 【导学号:95032078】‎ A. B.- C.7 D.-7‎ B [T4=Cx4=5,则x=-.]‎ ‎3.在的展开式中常数项是(  )‎ A.-28 B.-7‎ C.7 D.28‎ C [Tk+1=C··=(-1)k·C··x,‎ 当8-k=0,即k=6时,T7=(-1)6·C·=7.]‎ ‎4.在的二项展开式中,x2的系数为(  )‎ A.- B. C.- D. C [Tk+1=C·=(-1)k22k-6·Cx3-k,令3-k=2,则k=1,所以x2的系数为(-1)1×2-4×C=-,故选C.]‎ ‎5.设a∈Z,且0≤a<13,若512 018+a能被13整除,则a=(  )‎ 4‎ ‎ 【导学号:95032079】‎ A.0 B.1‎ C.11 D.12‎ D [512 018+a=(13×4-1)2 018+a,被13整除余1+a,结合选项可得a=12时,512 018+a能被13整除.]‎ 二、填空题 ‎6.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为________.‎ ‎-210 [由通项公式得T7=C·(-i)6=-C=-210.]‎ ‎7.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10展开式中x3的系数为________. ‎ ‎【导学号:95032080】‎ ‎330 [x3的系数为C+C+C+…+C=C+C+C+…+C=C=330.]‎ ‎8.如果的展开式中,x2项为第3项,则自然数n=________.‎ ‎8 [Tk+1=C()n-k=Cx,由题意知k=2时,=2,所以n=8.]‎ 三、解答题 ‎9.化简:S=1-‎2C+‎4C-‎8C+…+(-2)nC(n∈N*).‎ ‎[解] 将S的表达式改写为:S=C+(-2)C+(-2)‎2C+(-2)‎3C+…+(-2)nC=[1+(-2)]n=(-1)n.‎ ‎∴S=(-1)n=.‎ ‎10.记的展开式中第m项的系数为bm.‎ ‎(1)求bm的表达式;‎ ‎(2)若n=6,求展开式中的常数项;‎ ‎(3)若b3=2b4,求n. ‎ ‎【导学号:95032081】‎ ‎[解] (1)的展开式中第m项为C·(2x)n-m+1·=2n+1-m·C·xn+2-‎2m,‎ 所以bm=2n+1-m·C.‎ ‎(2)当n=6时,的展开式的通项为Tk+1=C·(2x)6-k·=26-k·C·x6-2k.‎ 依题意,6-2k=0,得k=3,‎ 4‎ 故展开式中的常数项为T4=23·C=160.‎ ‎(3)由(1)及已知b3=2b4,得2n-2·C=2·2n-3·C,从而C=C,即n=5.‎ ‎[能力提升练]‎ 一、选择题 ‎1.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有(  )‎ A.3项         B.4项 C.5项 D.6项 C [Tk+1=Cx·x=C·x,则k=0,6,12,18,24时,x的幂指数为整数,所以x的幂指数有5项是整数项.]‎ ‎2.使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(  )‎ ‎ 【导学号:95032082】‎ A.4 B.5‎ C.6 D.7‎ B [Tk+1=C(3x)n-k=C3n-kx,当Tk+1是常数项时,n-k=0,当k=2,n=5时成立.]‎ 二、填空题 ‎3.若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=________.‎ ‎-2 [Tk+1=C·(ax2)5-k=C·a5-kx.令10-k=5,解得k=2.又展开式中x5的系数为-80,则有C·a3=-80,解得a=-2.]‎ ‎4.对于二项式(n∈N*),有以下四种判断:‎ ‎①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.其中正确的是________.‎ ‎①④ [二项式的展开式的通项公式为Tk+1=Cx4k-n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.]‎ 三、解答题 ‎5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2‎ 4‎ 的系数的最小值及此时展开式中x7的系数. ‎ ‎【导学号:95032083】‎ ‎[解] 由题设知m+n=19,又m,n∈N*,‎ 所以1≤m≤18.‎ x2的系数为C+C=(m2-m)+(n2-n)=m2-‎19m+171.‎ 所以当m=9或10时,x2的系数的最小值为81,‎ 此时x7的系数为C+C=156.‎ 4‎
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