【数学】江苏省淮安市高中教学协作体2019-2020学年高二上学期期中考试试题

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【数学】江苏省淮安市高中教学协作体2019-2020学年高二上学期期中考试试题

江苏省淮安市高中教学协作体2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题所给出的四个选项中,‎ 只有一项是正确的,请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)‎ ‎1. 命题“,”的否定为 ( )‎ A., B.,‎ C., D.,‎ ‎2.“”是“”的 条件. ( )‎ A.充分不必要条件; B.必要不充分条件 C.充要条件; D.既不充分也不必要条件 ‎3.不等式的解集为 ( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4.已知等比数列中,,,则 等于 ( )‎ A、 B、‎4 C、 D、不确定 ‎5.下列命题正确的是 ( ) ‎ A.若,则     B.若,则  ‎ C.若,则 D.若,则 ‎6.下列命题正确的个数为 ( )‎ ‎(1)已知定点满足,动点满足,则动点的轨迹是椭圆;‎ ‎(2)已知定点满足,动点满足,则动点的轨迹是 一条射线;‎ ‎(3)当时,曲线:表示椭圆;‎ ‎(4)曲线方程的化简结果为.‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎7.若分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上一点,且,‎ 则的长为 ( ) ‎ A. B.或 C. D.‎ ‎8. 已知、分别为椭圆的左、右焦点,‎ 过的直线交椭圆于两点.若周长是,则该椭圆方程是( ) ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9. 已知等差数列的前项和为,若,,则等于( )‎ A.2 B‎.3 ‎C.4 D.8‎ ‎10. 已知等差数列中,首项为(),公差为,前项和为, ‎ 且满足,则实数的取值范围是 ( )‎ A. ; B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共计30分.不需要写出解答过程,请将答案 填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎11.若双曲线的焦距为8,点在其渐近线上,则双曲线的方程 为 ‎ ‎12.设为等差数列的前项和,若,则 ‎ ‎13.已知椭圆,长轴在轴上.若焦距为,则等于 ‎ ‎14. 若函数,则该函数的最小值为 ‎ ‎15. 已知椭圆的左、右焦点分别为,是短轴的一个端点 若为钝角,则椭圆离心率的取值范围是 .‎ ‎16.已知数列,记数列的前项和为 ,若对任意的,‎ 恒成立,则实数的取值范围 ‎ 三、解答题(本大题共5小题,12分+12分+14分+16分+16分,共计70分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列中,,.‎ ‎(1)求,;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 设数列的前项和为,数列为等比数列,且,.‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎(1)解不等式:‎ ‎(2)若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若对一切,均有成立,求实数的取值范围. ‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,是椭圆的右顶点,是上顶点,是左焦点, 为线段上一点,且 .‎ ‎(1)若椭圆的离心率为,且的面积为,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线与直线的交点恰在椭圆上,求椭圆的离心率.‎ ‎21. (本小题满分16分)‎ 某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为(米),外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)为(米).‎ ‎⑴求关于的函数关系式,并指出其定义域;‎ ‎⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过‎14米,则其腰长应在什么范围内?‎ ‎⑶当防洪堤的腰长为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.‎ 参考答案 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.)‎ ‎1.A 2.B 3. B 4. C 5. D 6.C 7. C 8. A 9. B 10. D 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共计30分. ‎ ‎11. ; 12. 1; 13.7; 14. 4; 15.; 16.或.‎ 三、解答题(本大题共5小题,12分+12分+14分+16分+16分,共计70分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列中,,.‎ ‎(1)求,;(2)设,求数列的前项和.‎ 解:(1)由 …………2分 可解得:,. ……………6分 ‎ (2)由(1)可得,所以, …………8分 ‎ 所以 …………12分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 设数列的前项和为,数列为等比数列,且,.‎ ‎(1)求数列和的通项公式;(2)设,求数列的前项和.‎ 解:(1)当时,,‎ 当时,,‎ 所以,, ………………3分 设数列的公比为,因为,所以,‎ 因为,所以,,‎ 所以,所以, ……………………6分 ‎(2),所以 ‎………8分 又 两式相减得 ………10分 ‎,所以 ………12分 ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎(1)解不等式:‎ ‎(2)若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若对一切,均有成立,求实数的取值范围. ‎ 解:(1)原不等式等价于, ……………2分 等价于, 所以原不等式的解集为.……4分 ‎(2)当时,原不等式是,恒成立,符合题意; …………………5分 当时,不等式是二次不等式,结合二次函数图象,得 ‎,即,解得, …………………7分 综上所述,实数的取值范围是 …………………8分 ‎(3)不等式可等价转化为对恒成立, ‎ 即对恒成立, ……………………10分 设,则 ‎ ‎,‎ 因为,所以,所以 ‎(当且仅当等号成立),所以, …………………13分 所以,所以实数的取值范围是. …………………14分 ‎20. (本小题满分16分)‎ 在平面直角坐标系中,是椭圆的右顶点,是上顶点,是左焦点, 为线段上一点,且 .‎ ‎(1)若椭圆的离心率为,且的面积为,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线与直线的交点恰在椭圆上,求椭圆的离心率.‎ 解:(1)设,其中,‎ ‎∵椭圆的离心率为,∴,即, …………2分 又∵的面积为,∴,即, …………4分 又,∴,即,∴, ‎ ‎∴椭圆的方程为; …………6分 ‎(2)由,,得直线, …………8分 ‎∵,且,∴‎ ‎∴,得, ……………10分 ‎∴直线, ………………………………………12分 联立方程组,解得,所以,………14分 ‎ ‎ ‎∵点恰在椭圆上,∴,即,‎ 化简得 ,即,‎ 又, ∴ …………16分 ‎21. (本小题满分16分)‎ 某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为(米),外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)为(米).‎ ‎⑴求关于的函数关系式,并指出其定义域;‎ ‎⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过‎14米,则其腰长应在什么范围内?‎ ‎⑶当防洪堤的腰长为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.‎ 解:⑴∵,∴,,‎ ‎,‎ ‎ , , …………………4分 又∵,∴, ‎ ‎∴; ……………………6分 ‎⑵得,‎ ‎∵, ∴腰长的范围是. …………………10分 ‎⑶∵,‎ ‎∴,当且仅当即时等号成立.‎ ‎∴外周长的最小值为米,此时腰长为米. …………………16分.‎
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