2020高中数学 课时分层作业22 线性规划的实际应用 新人教A版必修5

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2020高中数学 课时分层作业22 线性规划的实际应用 新人教A版必修5

课时分层作业(二十二) 线性规划的实际应用 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为(  )‎ ‎【导学号:91432339】‎ A.3         B.4‎ C.18 D.40‎ C [由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线x+6y=0并向右上平移,由图可知,过点A(0,3)时z=x+6y取得最大值,最大值为18.‎ ‎]‎ ‎2.某服装制造商有‎10 m2‎的棉布料,‎10 m2‎的羊毛料和‎6 m2‎的丝绸料,做一条裤子需要‎1 m2‎的棉布料,‎2 m2‎的羊毛料和‎1 m2‎的丝绸料,做一条裙子需要‎1 m2‎的棉布料,‎1 m2‎的羊毛料和‎1 m2‎的丝绸料,做一条裤子的纯收益是20元,一条裙子的纯收益是40元,为了使收益达到最大,若生产裤子x条,裙子y条,利润为z,则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为(  )‎ A.z=20x+40y B.z=20x+40y C.z=20x+40y D.z=40x+20y A [由题意知A正确.]‎ ‎3.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为(  )‎ ‎【导学号:91432340】‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B.16万元 - 6 -‎ C.17万元 D.18万元 D [根据题意,设每天生产甲x吨,乙y吨,则目标函数为z=3x+4y,作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,作出直线3x+4y=0并平移,易知当直线经过点A(2,3)时,z取得最大值且zmax=3×2+4×3=18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.]‎ ‎4.某学校用800元购买A,B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B两种用品应各买的件数为(  )‎ A.2,4 B.3,3‎ C.4,2 D.不确定 B [设买A种用品x件,B种用品y件,剩下的钱为z元,则 求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).]‎ ‎5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为(  )‎ ‎ 【导学号:91432341】‎ A.4 650元 B.4 700元 C.4 900元 D.5 000元 C [设派用甲型卡车x(辆),乙型卡车y(辆),获得的利润为u(元),u=450x+350y,由题意,x,y满足关系式作出相应的平面区域(略),u=450x+350y=50(9x+7y)在由确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元.]‎ 二、填空题 ‎6.若点P(m,n)在由不等式组所确定的区域内,则n-m的最大值为________.‎ ‎【导学号:91432342】‎ ‎3 [作出可行域,如图中的阴影部分所示,可行域的顶点坐标分别为A(1,3),B(2,5),C(3,4),设目标函数为z=y-x,则y=x+z,其纵截距为z,由图易知点P的坐标为(2,5)时,n-m的最大值为3.‎ ‎]‎ ‎7.某学校用800元购买A,B两种教学用品,A种用品每件100元,B - 6 -‎ 种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B两种用品应各买的件数为________.‎ ‎3,3 [设买A种用品x件,B种用品y件,剩下的钱为z元,则 求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法(图略)求得整数解为(3,3).所以,A,B两种用品应各买3件.]‎ ‎8.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元.对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元.‎ ‎31.2 [设对项目甲投资x万元,对项目乙投资y万元,则 目标函数z=0.4x+0.6y.作出可行域如图所示,由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值,代入得zmax=0.4×24+0.6×36=31.2.]‎ 三、解答题 ‎9.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每‎10 g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每‎10 g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问:应如何使用甲、乙两种原料,才能既满足病人的营养需要,又使费用最省?‎ ‎【导学号:91432343】‎ ‎[解] 设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g,总费用为z,那么 目标函数为z=3x+2y,作出可行域如图所示:‎ 把z=3x+2y变形为y=-x+,得到斜率为-,它是在y轴上的截距为且随z变化的一组平行直线.‎ 由图可知,当直线y=-x+经过可行域上的点A时,截距最小,即z最小.‎ 由得A,‎ - 6 -‎ ‎∴zmin=3×+2×3=14.4.‎ ‎∴甲种原料×10=28(g),乙种原料3×10=30(g),‎ 即当使用甲、乙两种原料分别为‎28 g、‎30 g时,才能既满足病人的营养需要,又能使费用最省.‎ ‎10.两类药片有效成分如下表所示,若要求至少提供12毫克阿司匹林,70毫克小苏打,28毫克可待因,问两类药片最小总数是多少?怎样搭配价格最低?‎ 成分 种类   ‎ 阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)‎ A(毫克/片)‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎0.1‎ B(毫克/片)‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎0.2‎ ‎[解] 设A,B两种药品分别为x片和y片(x,y∈N),‎ 则有两类药片的总数为z=x+y,两类药片的价格和为k=0.1x+0.2y.‎ 如图所示,作直线l:x+y=0,‎ 将直线l向右上方平移至l1位置时,直线经过可行域上一点A,且与原点最近.‎ 解方程组 得交点A坐标.‎ 由于A不是整点,因此不是z的最优解,结合图形可知,经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x+y=11,经过的整点是(1,10),(2,9),(3,8),因此z的最小值为11.药片最小总数为11片.同理可得,当x=3,y=8时,k取最小值1.9,因此当A类药品3片、B类药品8片时,药品价格最低.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1.配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料,用料要求如下表所示(单位:kg)‎ 原料 药剂   ‎ 甲 乙 A ‎2‎ ‎5‎ B ‎5‎ ‎4‎ 药剂A、B至少各配一剂,且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元,现有原料甲‎20 kg - 6 -‎ ‎,原料乙‎33 kg,那么可以获得的最大销售额为(  )‎ A.600元 B.700元 C.800元 D.900元 D [设配制药剂A为x剂,药剂B为y剂,则有不等式组成立,即求u=100x+200y在上述线性约束条件下的最大值.借助于线性规划可得x=5,y=2时,u最大,umax=900.]‎ ‎2.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为(  )‎ ‎【导学号:91432344】‎ A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元 B [设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,运输费用z元,根据题意,得线性约束条件 目标函数z=400x+300y,画图(图略)可知,当平移直线400x+300y=0至经过点(4,2)时,z取得最小值2 200.]‎ ‎3.某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足约束条件则z=10x+10y的最大值是________.‎ ‎90 [原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.‎ 作出直线y=-x+可知当直线过点时z有最大值,由于x,y∈N*;可行域内与点最接近的整点为(5,4),所以当x=5,y=4时,z取得最大值为90.]‎ ‎4.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料‎1.5 kg,乙材料‎1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料‎0.5 kg,乙材料‎0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料‎150 kg,乙材料‎90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.‎ ‎216 000 [设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为 目标函数z=2 100x+900y.‎ - 6 -‎ 作出可行域为图中的四边形,包括边界的整数点,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).]‎ ‎5.某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A,B两种规格的小袋,每袋大米可同时分得A,B两种规格的小袋大米的袋数如表所示:‎ 规格类型 袋装大米类型      ‎ A B 甲 ‎2‎ ‎1‎ 乙 ‎1‎ ‎3‎ 已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋,市场急需A,B两种规格的成品数分别为15袋和27袋.‎ ‎(1)问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A,B两种规格的成品数,且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少?(要求画出可行域)‎ ‎(2)若在可行域的整点中任意取出一解,求其恰好为最优解的概率.‎ ‎【导学号:91432345】‎ ‎[解] (1)设需分甲,乙两种袋装大米的袋数分别为x,y,‎ 所用的袋装大米的总袋数为z,则z=x+y(x,y为整数),作出可行域D如图.‎ 从图中可知,可行域D的所有整数点为:(3,9),(3,10),(4,8),(4,9),(4,10),(5,8),(5,9),(5,10),共8个点 因为目标函数为z=x+y(x,y为整数),所以在一组平行直线x+y=t(t为参数)中,过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12,其经过的整点是(3,9)和(4,8),它们都是最优解.‎ 所以,需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3袋、9袋或4袋、8袋可使所用的袋装大米的袋数最少.‎ ‎(2)由(1)可知可行域内的整点个数为8,而最优解有两个,所以所求的概率为P==.‎ - 6 -‎
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