2020高中数学 第二章 推理与证明 第2节 直接证明与间接证明习题 理 苏教版选修2-2

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2020高中数学 第二章 推理与证明 第2节 直接证明与间接证明习题 理 苏教版选修2-2

第2节直接证明与间接证明 ‎(答题时间:60分钟)‎ 一、选择题 ‎1. 命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ= (cos2θ-sin2θ) (cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了 ( )‎ A. 分析法 B. 综合法 C. 综合法、分析法综合使用 D. 间接证明法 ‎2. 已知x1>0,x1≠1且xn+1= (n=1,2,…),试证:“数列{xn}对任意的正整数n,都满足xn>xn+1,”当此题用反证法否定结论时应为 ( )‎ A. 对任意的正整数n,有xn=xn+1‎ B. 存在正整数n,使xn≤xn+1‎ C. 存在正整数n,使xn≥xn-1,且xn≥xn+1‎ D. 存在正整数n,使 (xn-xn-1) (xn-xn+1)≥0‎ ‎3. 要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明 ( )‎ A. 2ab-1-a2b2≤0‎ B. a2+b2-1-≤0‎ C. -1-a2b2≤0‎ D. (a2-1) (b2-1)≥0‎ ‎4. 已知a、b是非零实数,且a>b,则下列不等式中成立的是 ( )‎ A. <1 B. a2>b2‎ C. |a+b|>|a-b| D. > ‎5. 已知函数f (x)=x,a,b∈ (0,+∞),A=,B=f (),C=,则A、B、C的大小关系为 ( )‎ A. A≤B≤C B. A≤C≤B C. B≤C≤A D. C≤B≤A ‎6. 设0a+b,则a、b应满足的条件是________。 ‎ 三、解答题 ‎11. 已知a,b,c是不等正数,且abc=1。‎ 求证:++<++。‎ ‎12. 已知:a>0,b>0,a+b=1。‎ 求证: +≤2。‎ 4‎ ‎1. 解析:因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论。‎ 故选B。‎ 答案:B ‎2. 解析:根据全称命题的否定,是特称命题,即“数列{xn}对任意的正整数n,都满足xn>xn+‎1”‎的否定为“存在正整数n,使xn≤xn+‎1”‎,故选B。‎ 答案:B ‎3. 解析:因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔ (a2-1) (b2-1)≥0,故选D。‎ 答案:D ‎4. 解析:<1⇔<0⇔a (a-b)>0。‎ ‎∵a>b,∴a-b>0。而a可能大于0,也可能小于0,‎ 因此a (a-b)>0不一定成立,即A不一定成立;‎ a2>b2⇔ (a-b) (a+b)>0,‎ ‎∵a-b>0,只有当a+b>0时,a2>b2才成立,故B不一定成立;‎ ‎|a+b|>|a-b|⇔ (a+b)2> (a-b)2⇔ab>0,而ab<0也有可能,故C不一定成立;‎ 由于>⇔>0⇔ (a-b)·a2b2>0。‎ ‎∵a,b非零,a>b,∴上式一定成立,因此只有D正确。故选D。‎ 答案:D ‎5. 解析:因为当a,b∈ (0,+∞)时,≥≥,且函数f (x)=x,在R上为减函数,所以A≤B≤C,故选A。‎ 答案:A ‎6. 解析:由题目易得1+x>2>。‎ ‎∵ (1+x) (1-x)=1-x2<1,又00。‎ ‎∴1+x<。‎ 答案:C ‎7. 解析:本题为全称命题,其否定为特称命题。‎ 答案:存在一个三角形,它的外角至多有一个钝角 ‎8. 解析:y2= ()2=a+b=>=x2。‎ 答案:xa+b⇔ (-)2· (+)>0⇔a≥0,b≥0且a≠b。‎ 答案:a≥0,b≥0且a≠b ‎11. 证明:∵a,b,c是不等正数,且abc=1,‎ ‎∴++=++<++=++。‎ 4‎ ‎12. 证明:要证 +≤2。‎ 只要证:a++b++2≤4,‎ ‎∵由已知知a+b=1,‎ 故只要证: ≤1,‎ 只要证: (a+) (b+)≤1,‎ 只要证:ab≤,‎ ‎∵a>0,b>0,1=a+b≥2,∴ab≤,‎ 故原不等式成立。‎ 4‎
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