2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第五章 第3讲 平面向量的数量积及应用举例

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2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第五章 第3讲 平面向量的数量积及应用举例

‎[基础题组练]‎ ‎1.(2019·高考全国卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·=(  )‎ A.-3          B.-2‎ C.2     D.3‎ 解析:选C.因为=-=(1,t-3),所以||==1,解得t=3,所以=(1,0),所以·=2×1+3×0=2,故选C.‎ ‎2.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.设a与b的夹角为α,‎ 因为(a-b)⊥b,‎ 所以(a-b)·b=0,‎ 所以a·b=b2,‎ 所以|a|·|b|cos α=|b|2,又|a|=2|b|,‎ 所以cos α=,因为α∈(0,π),所以α=.故选B.‎ ‎3.(2020·河北衡水模拟三)已知向量a=(1,k),b=(2,4),则“k=-”是“|a+b|2=a2+b2”的(  )‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 解析:选C.由|a+b|2=a2+b2,得a2+2a·b+b2=a2+b2,得a·b=0,得(1,k)·(2,4)=0,解得k=-,所以“k=-”是“|a+b|2=a2+b2”的充要条件.故选 C.‎ ‎4.(2020·河南安阳二模)如图所示,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=4,CD=8.若=-7,3=,则·=(  )‎ A.11 B.10‎ C.-10 D.-11‎ 解析:选D.‎ 以A为坐标原点,建立直角坐标系如图所示.‎ 则A(0,0),B(4,0),E(1,4),F(5,1),所以=(5,1),=(-3,4),则·=-15+4=-11.故选D.‎ ‎5.已知向量||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数的值为(  )‎ A. B. C.6 D.4‎ 解析:选A.因为向量||=3,||=2,=m+n,与夹角为60°,所以·=3×2×cos 60°=3,‎ 所以·=(-)·(m+n)‎ ‎=(m-n)·-m||2+n||2‎ ‎=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,所以=,故选A.‎ ‎6.(2020·河南郑州一模)已知e1,e2为单位向量且夹角为,设a=3e1+2e2,b=3e2,则a在b方向上的射影为________.‎ 解析:根据题意得,a·b=9e1·e2+6e=9×1×1×+6=-+6=,又因为|b|=3,所以a在b方向上的射影为==.‎ 答案: ‎7.(2020·江西临川九校3月联考)已知平面向量a=(2m-1,2),b=(-2,3m-2),且a⊥b,则|2a-3b|=________.‎ 解析:因为a⊥b,所以a·b=-2(2m-1)+2(3m-2)=0,解得m=1,‎ 所以a=(1,2),b=(-2,1),所以2a-3b=(2,4)-(-6,3)=(8,1),‎ 所以|2a-3b|==.‎ 答案: ‎8.(2020·石家庄质量检测(一))已知与的夹角为90°,||=2,||=1,=λ+μ(λ,μ∈R),且·=0,则的值为________.‎ 解析:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以=(0,2),=(1,0),=(1,-2).设M(x,y),则=(x,y),所以·=(x,y)·(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y,又=λ+μ,即(x,y)=λ(0,2)+μ(1,0)=(μ,2λ),‎ 所以x=μ,y=2λ,‎ 所以==.‎ 答案: ‎9.已知向量m=(sin α-2,-cos α),n=(-sin α,cos α),其中α∈R.‎ ‎(1)若m⊥n,求角α;‎ ‎(2)若|m-n|=,求cos 2α的值.‎ 解:(1)若m⊥n,则m·n=0,‎ 即为-sin α(sin α-2)-cos2 α=0,‎ 即sin α=,‎ 可得α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z.‎ ‎(2)若|m-n|=,即有(m-n)2=2,‎ 即(2sin α-2)2+(2cos α)2=2,‎ 即为4sin2α+4-8sin α+4cos2α=2,‎ 即有8-8sin α=2,‎ 可得sin α=,‎ 即有cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-.‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).‎ ‎(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;‎ ‎(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.‎ 解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).‎ 所以|+|=2,|-|=4.‎ 故所求的两条对角线的长分别为4,2.‎ ‎(2)法一:由题设知:=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).‎ 由(-t)·=0,得:‎ ‎(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,‎ 从而5t=-11,‎ 所以t=-.‎ 法二:·=t2,=(3,5),‎ t==-.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·安徽滁州一模)△ABC中,AB=5,AC=10,·=25,点P是△ABC内(包括边界)的一动点,且=-λ(λ∈R),则||的最大值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.△ABC中,AB=5,AC=10,·=25,所以5×10×cos A=25,cos A=,‎ 所以A=60°,BC==5,因为AB2+BC2=AC2,所以B=90°.以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的坐标系,‎ 则A(0,0),B(5,0),C(5,5),设点P为(x,y),0≤x≤5,0≤y≤5,‎ 因为=-λ,‎ 所以(x,y)=(5,0)-λ(5,5)=(3-2λ,-2λ),‎ 所以所以y=(x-3),直线BC的方程为x=5,‎ 联立解得此时||最大,为=.故选B.‎ ‎2.(2020·广东广雅中学模拟)如图所示,等边△ABC的边长为2,AM∥BC,且AM=6.若N为线段CM的中点,则·=(  )‎ A.24 B.23‎ C.22 D.18‎ 解析:选B.法一:如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,过点A作垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,),因为△ABC为等边三角形,且AM∥BC,所以∠MAB=120°,所以M(-3,3).因为N是CM的中点,所以N(-1,2),所以=(-1,2),=(-5,3),所以·=23.‎ 法二:依题意知||=||=2,与的夹角为60°,‎ 且=3,=(+)=(3+)=(-)+=2-.‎ =-=3-=3(-)-=3-4.则·=·(3-4)=6+6-8·-·=23.‎ ‎3.如图,AB是半圆O的直径,P是上的点,M,N是直径AB上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则·=________.‎ 解析:连接AP,BP,则=+,=+=-,所以·=(+)·(-)=·-·+·-||2=-·+·-||2=·-||2=1×6-1=5.‎ 答案:5‎ ‎4.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是________.‎ 解析:如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+2(y-)2-,当x=0,y=时,·(+)取得最小值为-.‎ 答案:- ‎5.(创新型)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cos B,2cos2 -1),n=(c,b-2a),且m·n=0.‎ ‎(1)求∠C的大小;‎ ‎(2)若点D为边AB上一点,且满足=,||=,c=2,求△ABC的面积.‎ 解:(1)因为m=(cos B,cos C),n=(c,b-2a),m·n=0,‎ 所以ccos B+(b-2a)cos C=0,在△ABC中,由正弦定理得sin Ccos B+(sin B-2sin A)cos C=0,‎ sin A=2sin Acos C,又sin A≠0,‎ 所以cos C=,而C∈(0,π),所以∠C=.‎ ‎(2)由=知,-=-,‎ 所以2=+,‎ 两边平方得4||2=b2+a2+2bacos ∠ACB=b2+a2+ba=28.①‎ 又c2=a2+b2-2abcos ∠ACB,‎ 所以a2+b2-ab=12.②‎ 由①②得ab=8,‎ 所以S△ABC=absin ∠ACB=2.‎
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