2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第二章　第4讲　二次函数与幂函数

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第二章　第4讲　二次函数与幂函数

‎ [基础题组练]‎ ‎1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　 B．0‎ C．1 D．－2‎ 解析：选D.函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上是增加的，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.‎ ‎2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是(　　)‎ 解析：选C.若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.‎ ‎3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)‎ A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0‎ C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0‎ 解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0，故选A.‎ ‎4.幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C.因为y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即00，所以01，即a<－时，‎ f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，‎ 所以－2a－1＝1，‎ 即a＝－1满足题意．‎ 综上可知，a＝－或－1.‎ ‎10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，‎ 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.‎ 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，‎ 因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.‎ ‎(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，‎ 所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；‎ 即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立．‎ 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，‎ 因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，‎ 所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·湖南4月联考)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)‎ C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ 解析：选B.易知定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m是减少的，所以函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上是减少的，所以抛物线的对称轴x＝≥1，所以k≥2.故选B.‎ ‎2．(2020·湖北荆州质量检查(一))若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]‎ C．(－∞，0] D．[0，＋∞)‎ 解析：选B.因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3成立，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]，故选B.‎ ‎3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为____________．‎ 解析：当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.‎ 答案：1‎ ‎5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，‎ F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；‎ ‎(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．‎ 解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，‎ 且－＝－1，‎ 解得a＝1，b＝2，‎ 所以f(x)＝(x＋1)2.‎ 所以F(x)＝ 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.‎ ‎(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，‎ 即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．‎ 又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.‎ 故b的取值范围是[－2，0]．‎