2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第五章　2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第五章　2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

‎[基础题组练]‎ ‎1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于(　　)‎ A．－a＋b　　　　　　　 B.a－b C．－a－b D．－a＋b 解析：选B.设c＝λa＋μb，则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以所以所以c＝a－b.‎ ‎2．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．－2‎ C．±2 D．0‎ 解析：选B.因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x，1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2.‎ ‎3．已知A(1，4)，B(－3，2)，向量＝(2，4)，D为AC的中点，则＝(　　)‎ A．(1，3) B．(3，3)‎ C．(－3，－3) D．(－1，－3)‎ 解析：选B.设C(x，y)，则＝(x＋3，y－2)＝(2，4)，所以解得即C(－1，6)．由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．‎ ‎4．(2020·温州瑞安七中高考模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)‎ A．－8 B．－4‎ C．4 D．2‎ 解析：选C.设正方形的边长为1，则易知c＝(－1，－3)，‎ a＝(－1，1)，b＝(6，2)；因为c＝λa＋μb，‎ 所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，‎ 解得λ＝－2，μ＝－，故＝4.‎ ‎5．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0‎ 解析：选A.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.‎ ‎6．(2020·金华十校联考)已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是(　　)‎ A.－1 B.－1‎ C.＋1 D.＋1‎ 解析：选A.设点P(x，y)，动点P满足||＝1可得x2＋(y＋2)2＝1.‎ 根据＋＋的坐标为(＋x，y＋1)，可得|＋＋|＝，表示点P(x，y)与点Q(－，－1)之间的距离．‎ 显然点Q在圆C：x2＋(y＋2)2＝1的外部，求得QC＝，|＋＋|的最小值为QC－1＝－1，‎ 故选A.‎ ‎7．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________．‎ 解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又因为θ为锐角，所以θ＝.‎ 答案： ‎8．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则ab的最大值为________．‎ 解析：易知＝(a－1，1)，＝(－b－1，2)，由A，B，C三点共线知∥，故2(a－1)－(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1.‎ 由基本不等式可得1＝2a＋b≥2，当且仅当2a＝b时等号成立，所以ab≤，‎ 即ab的最大值为.‎ 答案： ‎9．(2020·台州质检)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a＝(cos C，b－c)，向量b＝(cos A，a)且a∥b，则tan A＝________．‎ 解析：a∥b⇒(b－c)cos A－acos C＝0，即bcos A＝ccos A＋acos C，再由正弦定理得sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A⇒sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝，所以sin A＝，tan A＝＝.‎ 答案： ‎10．如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ 解析：因为∠DEB＝∠ABC＝45°，‎ 所以AB∥DE，‎ 过D作AB，AC的垂线DM，DN，‎ 则AN＝DM＝BM＝BD·sin 45°＝，‎ 所以DN＝AM＝AB＋BM＝2＋，‎ 所以＝＋＝＋，‎ 所以λ＝，μ＝，‎ 所以λ＋μ＝1＋.‎ 答案：1＋ ‎11．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？‎ 解：由题设，知＝d－c＝2b－3a，‎ ＝e－c＝(t－3)a＋tb.‎ C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，‎ 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，‎ 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.‎ ‎①若a，b共线，则t可为任意实数；‎ ‎②若a，b不共线，则有 解之得t＝.‎ 综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；‎ a，b不共线时，t＝.‎ ‎12．(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且|DM|＝1，|DN|＝2，∠MDN＝.‎ ‎(1)试用向量，表示向量，；‎ ‎(2)求||，||；‎ ‎(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点)，若＝x＋y，求x，y的值．‎ 解：(1)如图所示，‎ ＝＋＝－；‎ ＝＋＝＋＝－.‎ ‎(2)由(1)知＝－，＝－，‎ 所以||＝＝，‎ ‎||＝＝.‎ ‎(3)由重心性质知：＋＋＝0，所以有：‎ ‎0＝x＋y＋＝x(－)＋y(－)－＝(x＋y－1)＋(－x)＋(－y).‎ 所以(x＋y－1)∶(－x)∶(－y)＝1∶1∶1⇒x＝y＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝.若动点P满足＝(1－λ)＋(λ∈R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为(　　)‎ A．5 B．10‎ C．2 D．4 解析：选A.设＝，因为＝(1－λ)＋＝(1－λ)＋λ，所以B，D，P三点共线．所以P点轨迹为直线BC.在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝，所以sin C＝，所以S△ABC＝×7×6×＝15，所以S△BCD＝S△ABC＝5.‎ ‎2．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围是(　　)‎ A．[－6，1] B．[4，8]‎ C．(－∞，1] D．[－1，6]‎ 解析：选A.由a＝2b，得 所以 又cos2α＋2sin α＝－sin2 α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m≤2，‎ 将λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，得≤m≤2，所以＝＝2－∈[－6，1]．‎ ‎3．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________________．‎ 解析：由题意得＝(－3，1)，＝(2－m，1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.‎ 答案：m≠ ‎4．(2020·浙江名校新高考研究联盟联考)如图，在等腰梯形ABCD中，‎ DC∥AB，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F为BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动，E为圆弧与AB的交点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是________．‎ 解析：建立平面直角坐标系如图所示，‎ 则A(0，0)，E(1，0)，D，B(2，0)，‎ C，F；‎ 设P(cos α，sin α)(0°≤α≤60°)，‎ 因为＝λ＋μ，‎ 所以(cos α，sin α)＝λ＋μ.‎ 所以 所以2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－30°)，‎ 因为0°≤α≤60°，所以－1≤2sin(α－30°)≤1.‎ 答案：[－1，1]‎ ‎5．(2020·嘉兴模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．‎ 解：(1)＝t1＋t2 ‎＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．‎ 当点M在第二或第三象限时，有 故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.‎ ‎(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．‎ 因为＝－＝(4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，且有公共点A，‎ 所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．‎ ‎6．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？‎ ‎(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．‎ 解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．‎ 因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，‎ 即2k－4＋5＝0，得k＝－.‎ ‎(2)法一：因为A、B、C三点共线，‎ 所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，‎ 所以，解得m＝.‎ 法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，‎ ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．‎ 因为A、B、C三点共线，所以∥.‎ 所以8m－3(2m＋1)＝0，‎ 即2m－3＝0，所以m＝.‎