高科数学专题复习课件：第十一章 11_3变量间的相关关系、统计案例

高科数学专题复习课件：第十一章 11_3变量间的相关关系、统计案例

§11.3　变量间的相关关系、统计案例 基础知识　自主学习 课时作业 题型分类　深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1.两个变量的线性相关 知识梳理 (1)正相关 在散点图中，点散布在从 到 的区域，对于两个变量的 这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)负相关 在散点图中，点散布在从 到 的区域，两个变量的这 种相关关系称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 ，就称这两 个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线. 左下角 右上角 左上角 右下角 一条直线附近 2.回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线，使得样本数据的点到它的 的方法叫 做最小二乘法. (2)回归方程 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中 ， 是待定参数. 距离的平方和最小 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i y yx x x x          1 2 2 1 ( ) n i i i n i i n n y yx x x x          ˆy b x    3.回归分析 (1)定义：对具有 的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， 其中 称为样本点的中心. (3)相关系数 当r>0时，表明两个变量 ； 当r<0时，表明两个变量 . 相关关系 正相关 负相关 r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性 . r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间 . 通常|r|大于 时，认为两个变量有很强的线性相关性. 越强 几乎不存在线性相关关系 0.75 4.独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的 ，像这类变量 称为分类变量. (2)列联表：列出两个分类变量的 ，称为列联表.假设有两个分类 变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联 表(称为2×2列联表)为 不同类别 频数表 2×2列联表 构造一个随机变量K2＝ ，其中n＝ 为样本容量.   y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d (3)独立性检验 利用随机变量 来判断“两个分类变量 ”的方法称为独立性 检验. K2 有关系 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.(　 　) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关 关系.(　　) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.(　　) 思考辨析 × √ √ (4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程 ＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮.(　　) (5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大.(　 　) (6)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有 关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.(　　) × √ × 考点自测 1.(2015·湖北)已知变量x和y满足关系 ＝－0.1x＋1，变量y与z正相关. 下列结论中正确的是 A.x与y正相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y负相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关 答案 解析 所以x与y负相关.又y与z正相关， 所以x与z负相关. 故选C. 2.(教材改编)下面是2×2列联表：则表中a，b的值分别为 答案 解析 A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52 ∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.   y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合计 b 46 120 3.(2016·河南八市质检)为了研究某大型超市当天销售额与开业天数的 关系，随机抽取了5天，其当天销售额与开业天数的数据如下表所示： 答案 解析 A.67 B.68 C.68.3 D.71 根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.67x＋54.9， 由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 开业天数x 10 20 30 40 50 当天销售额y/万元 62 75 81 89 4.(2017·湖南三校联考)某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每 天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示： 答案 解析 x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 由上表可得线性回归方程 ，据此模型预测零售价 为15元时，每天的销售量为 A.51个 B.50个 C.49个 D.48个 5.(2016·玉溪一中月考)利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否 有关系，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度.为了调查用 电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地网民中抽取100位居民进 行调查.经过计算得K2≈3.855，那么就有________%的把握认为用电 脑时间与视力下降有关系. 答案 解析 根据表格发现3.855>3.841,3.841对应的是0.05，所以根据独立性检验 原理可知有95%的把握认为用电脑时间与视力下降有关系. 95 P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 题型分类　深度剖析 题型一　相关关系的判断 例1　(1)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系， 并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论： 其中一定不正确的结论的序号是 答案 解析 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ ∴①④一定错误. (2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所 有正确命题的序号为_____. 答案 解析 ①x，y是负相关关系； ③x、y之间不能建立线性回归方程. ①② 2ec x ①显然正确； 2ec x 判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的 分布从左上角到右下角，两个变量负相关. (2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关. 思维升华 跟踪训练1　(1)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2， x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…， n)都在直线y＝ x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 A.－1 B.0 C. D.1 所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D. 答案 解析 (2)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)， (13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)， (12.5,2)，(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与 U之间的线性相关系数，则 A.r2＜r1＜0 B.0＜r2＜r1 C.r2＜0＜r1 D.r2＝r1 对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1＞0； 对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2＜0， 故选C. 答案 解析 题型二　线性回归分析 例2　(2016·全国丙卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理 量(单位：亿吨)的折线图. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数 加以说明； 注：年份代码17分别对应年份2008－2014. 解答 由折线图中数据和附注中参考数据得 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾 无害化处理量. 附注： 解答 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨. 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程 ①利用公式，求出回归系数 ②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数. (2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值. (3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数 . (4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时， 两变量的线性相关性越强. 思维升华 跟踪训练2　(2015·课标全国Ⅰ)某公司为确定 下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣 传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年 利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传 费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步 处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 解答 (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； 解答 (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果 回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 解答 ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 解答 根据(2)的结果知，年利润z的预报值 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 题型三　独立性检验 例3　(2016·福建厦门三中模拟)某大型企业人力资源部为了研究企业员 工工作积极性和对待企业改革的关系，随机抽取了100名员工进行调查， 其中支持企业改革的调查者中，工作积极的有46人，工作一般的有35 人，而不太赞成企业改革的调查者中，工作积极的有4人，工作一般的 有15人. (1)根据以上数据建立一个2×2列联表； 解答 根据题设条件，得2×2列联表如下：   支持企业改革 不太赞成企业改革 总计 工作积极 46 4 50 工作一般 35 15 50 总计 81 19 100 (2)对于人力资源部的研究项目，根据以上数据是否可以认为企业的全体 员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关系？ 解答 P(K2 ≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 提出假设：企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关. 根据(1)中的数据，可以求得 所以有99%的把握认为抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性 有关， 从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关. (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 ①通过计算K2的大小判断：K2越大，两变量有关联的可能性越大. ②通过计算|ad－bc|的大小判断：|ad－bc|越大，两变量有关联的可能性 越大. (2)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成2×2列联表. 思维升华 ③比较k与临界值的大小关系，作统计推断. 跟踪训练3　(2017·衡阳联考)2016年9月20日是第28个全国爱牙日，为 了迎接此节日，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与 患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿 和不患龋齿分类，并汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名， 常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有 140名. (1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该地区学生常吃零 食与患龋齿有关系？ 解答 由题意可得2×2列联表如下： 根据2×2列联表中数据，得K2的观测值为   不常吃零食 常吃零食 总计 不患龋齿 60 100 160 患龋齿 140 500 640 总计 200 600 800 ∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该地区学生常吃零 食与患龋齿有关系. (2)4名卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据 收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到收集数据组，工作人 员乙分到处理数据组的概率. 解答 P(K2≥k0) 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表. 由表可知，分组的情况共有6种，工作人员甲负责收集数据且工作人 员乙负责处理数据的有2种， 小组 1 2 3 4 5 6 收集数据 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 处理数据 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 典例　(12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 思想方法指导 规范解答 求线性回归方程的方法技巧思想与方法系列24 年份 2006 2008 2010 2012 2014 需求量/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程 ； (2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量. 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法. 主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之 间贴近的数学表达式； (2)根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势； (3)求出线性回归方程。 返回 解　(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来 求线性回归方程，先将数据处理如下表. 年份－2010 －4 －2 0 2 4 需求－257 －21 －11 0 19 29 由上述计算结果，知所求线性回归方程为 (2)利用所求得的线性回归方程， 可预测2016年的粮食需求量大约为 6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨). [12分] 返回 课时作业 1.(2016·衡水质检)具有线性相关关系的变量x，y满足一组数据如下表所 示.若y与x的线性回归方程为 ，则m的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 x 0 1 2 3 y －1 1 m 8 √ 2.(2017·武汉质检)根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 √ 作出散点图如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.(2017·泰安月考)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类 专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计 得到成绩与专业的列联表：   优秀 非优秀 总计 A班 14 6 20 B班 7 13 20 总计 21 19 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 附：参考公式及数据： (2)独立性检验的临界值表： P(K2≥k0) 0.050 0.010 k0 3.841 6.635 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则下列说法正确的是 A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 答案 解析 √ 3.841

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