高中数学选修2-2课时练习第二章 4_1

高中数学选修2-2课时练习第二章 4_1

‎§4　导数的四则运算法则 ‎4．1　导数的加法与减法法则 ‎[学习目标]‎ ‎1．理解导数的加法与减法法则的推导方法．‎ ‎2．掌握导数的加法与减法法则．‎ ‎3．会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算．‎ ‎[知识链接]‎ 利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么？‎ 答　应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式；②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．导数的加法与减法法则 ‎(1)符号语言 ‎①[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．‎ ‎②[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．‎ ‎(2)文字语言 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)．‎ ‎2．两个函数和差的求导法则的推广 ‎(1)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数)．‎ ‎(2)[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　直接利用法则求导数 例1　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x；‎ ‎(2)y＝1＋sincos；‎ ‎(3)y＝x；‎ ‎(4)y＝(＋1).‎ 解　观察式子的特点，可以先化简再求导．‎ ‎(1)∵y＝x＋2＋，∴y′＝1－.‎ ‎(2)∵y＝1＋sincos＝1＋sin x，∴y′＝cos x.‎ ‎(3)∵y＝x＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.‎ ‎(4)∵y＝(＋1)＝－＋，‎ ‎∴y′＝(－)′＋′＝－ － ‎ ‎＝－.‎ 规律方法　对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．‎ 跟踪演练1　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x5－x3＋3x＋；‎ ‎(2)y＝sin4＋cos4.‎ 解　(1)y′＝′‎ ‎＝′－′＋(3x)′＋()′＝x4－4x2＋3.‎ ‎(2)∵y＝2－2sin2cos2 ‎＝1－sin2＝1－·＝＋cos x，‎ ‎∴y′＝－sin x.‎ 要点二　求导法则的逆向应用 例2　已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．‎ 解　由f′(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入关于x的方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－‎2c)x＋c－1＝0，又该方程对一切x∈R恒成立，所以解得 所以f(x)＝2x2＋2x＋1.‎ 规律方法　待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．‎ 跟踪演练2　设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式．‎ 解　∵f′(x)＝2x＋1，‎ ‎∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，‎ 又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－‎4c＝0，即c＝，‎ ‎∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋.‎ 要点三　导数的应用 例3　已知函数f(x)＝x3＋x，求函数在点(2,10)处的切线方程．‎ 解　f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋(x)′＝3x2＋1.‎ ‎∴f′(2)＝3×22＋1＝13.‎ ‎∴所求切线的斜率是13.‎ ‎∴切线方程为y－10＝13(x－2)，‎ 即13x－y－16＝0.‎ ‎∴所求切线的方程是13x－y－16＝0.‎ 规律方法　‎ 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则．‎ 跟踪演练3　已知函数f(x)＝sin x＋cos x，求曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程．‎ 解　∵f′(x)＝(sin x＋cos x)′‎ ‎＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x，‎ ‎∴f′＝cos－sin＝0.‎ ‎∴曲线y＝f(x)在x＝处的切线斜率为0.‎ 又f＝，∴所求切线方程为y＝.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．函数f(x)＝sin x＋x的导数是(　　)‎ A．f′(x)＝cos x＋1 B．f′(x)＝cos x－1‎ C．f′(x)＝－cos x＋1 D．f′(x)＝－cos x＋x 答案　A ‎2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2‎ C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5‎ 答案　B 解析　∵y′＝3x2－6x，‎ ‎∴曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－3.‎ ‎∴切线方程为y＝－3x＋2.‎ ‎3．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为________．‎ 答案　14‎ 解析　g′(x)＝f′(x)＋1，‎ ‎∴g′(1)＝f′(1)＋1＝14.‎ ‎4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________．‎ 答案　(1，e)‎ 解析　∵(ex)′＝ex.设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的切线斜率为e，令＝‎ e.即x0·ex0＝e ‎∴x0＝1.∴切点坐标为(1，e)．‎ ‎1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具．‎ ‎2．利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．下列结论不正确的是(　　)‎ A．若y＝3，则y′＝0‎ B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3‎ C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1‎ D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 答案　D 解析　利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x，∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.‎ ‎2．函数y＝x－(2x－1)2的导数是(　　)‎ A．3－4x B．3＋4x C．5＋8x D．5－8x 答案　D 解析　y＝x－(4x2－4x＋1)＝－4x2＋5x－1，‎ y′＝－8x＋5.‎ ‎3．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　)‎ A．(1,0) B．(2,8)‎ C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)‎ 答案　C 解析　∵f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.‎ ‎4．曲线f(x)＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　因为曲线过点(1,2)，‎ 所以b＋c＝1，‎ 又f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，‎ ‎∴b＝－1，c＝2.‎ 所以所求的切线方程为y－2＝x－1，‎ 即x－y＋1＝0，‎ 故两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0的距离为 d＝＝.‎ ‎5．过点P(－1,2)且与曲线f(x)＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________________________．‎ 答案　2x－y＋4＝0‎ 解析　易求f′(x)＝6x－4，f′(1)＝2.‎ ‎∴所求直线的斜率k＝2.‎ 则直线方程为y－2＝2(x＋1)，‎ 即2x－y＋4＝0.‎ ‎6．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为________________________．‎ 答案　‎7 m/s 解析　∵s′＝2t－，‎ ‎∴v＝s′(4)＝8－＝7 (m/s)．‎ ‎7．已知函数f(x)＝2x＋x2－x，求f′(1)，f′(4)．‎ 解　f′(x)＝(2x＋x2－x)′＝(2x)′＋(x2)′－x′‎ ‎＝2xln 2＋2x－1，‎ ‎∴f′(1)＝2ln 2＋1，‎ f′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7.‎ 二、能力提升 ‎8．函数y＝的导数为(　　)‎ A.＋1 B.－1‎ C.＋1 D.－1‎ 答案　D 解析　∵y＝－x＋3－，‎ ‎＝3＋－1＝－1.‎ ‎9．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)‎ A．4 B．－ C．2 D．－ 答案　A 解析　依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，‎ f′(1)＝g′(1)＋2＝4.‎ ‎10．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.‎ 答案　2‎ 解析　令t＝ex，则x＝ln t，所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2.‎ ‎11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．‎ 解　因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，‎ 所以a＋b＋c＝1.‎ y′＝2ax＋b，‎ 曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为‎4a＋b＝1.‎ 又曲线过点(2，－1)，‎ 所以‎4a＋2b＋c＝－1.‎ 由 解得 所以a、b、c的值分别为3、－11、9.‎ ‎12．已知函数f(x)＝的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.求函数y＝f(x)的解析式．‎ 解　由M(－1，f(－1))在x＋2y＋5＝0上得 ‎－1＋‎2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2.‎ 即＝－2，①‎ 又f′(x)＝.由f′(－1)＝－得 ＝－.②‎ 由①②得a＝2，b＝3，‎ ‎∴函数f(x)的解析式为f(x)＝.‎ 三、探究与创新 ‎13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．‎ ‎(1)解　由7x－4y－12＝0得y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝，‎ ‎∴f(2)＝，①‎ 又f′(x)＝a＋，‎ ‎∴f′(2)＝，②‎ 由①，②得 解之得.‎ 故f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，‎ 由y′＝1＋知 曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(x－x0)，‎ 即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.‎ 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.‎