【数学】2020届一轮复习（文理合用）第10章第8讲n次独立重复试验与二项分布（理）作业

【数学】2020届一轮复习（文理合用）第10章第8讲n次独立重复试验与二项分布（理）作业

对应学生用书[练案77理]‎ 第八讲　n次独立重复试验与二项分布(理)‎ A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·启东模拟)甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为(　C　)‎ A．　　 B．1　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　1－×＝，选C项．‎ ‎2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么第4次取球之后停止的概率为(　B　)‎ A．　　 B．()3× C．×　　 D．C×()3× ‎[解析]　由题意知，第4次取球后停止是当且仅当前3次取的球是黑球，第4次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为()3×.‎ ‎3．袋中有5个球(3个白球，2个黑球)，现每次取一个，无放回地抽取两次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为(　C　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　解法一：设条件A＝“第一次取到一个白球”，则P(A)＝，A∩B＝“无放回地取两次，都取到白球”，则P(A∩B)＝＝，∴所求P(B|A)＝＝＝.‎ 解法二：第一次抽到白球条件下，还剩2白2黑4个球，抽到白球的概率＝.‎ ‎4．(2019·河北承德)用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为(　C　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于的概率为P＝1－＝，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于的概率为()3＝.故选C．‎ ‎5．(2018·课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数．DX＝2.4，P(X＝4)0，故p>1－p，则p＝0.6，故选B．‎ 二、填空题 ‎6．(2019·河南郑州)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为_____.‎ ‎[解析]　甲第3次考试才通过科目二，则前2次都未通过，第3次通过，故所求概率为(1－)2×＝.‎ ‎7．(2019·厦门质检)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为_____.‎ ‎[解析]　第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝C()2××＝.‎ 三、解答题 ‎8．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ ‎[解析]　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝.‎ P(X＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，‎ P(X＝2)＝(1－)××＋×(1－)×＋××(1－)＝，P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)·P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝×＋×＝.‎ 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ‎9．(2019·南京模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}．‎ A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．‎ 由题意，A1与A2相互独立，A1与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2.‎ 因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，‎ 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，‎ P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)‎ ‎＝P(A1)P()＋P()P(A2)‎ ‎＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)‎ ‎＝×(1－)＋(1－)×＝.‎ 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.‎ ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B(3，)．于是 P(X＝0)＝C×()0×()3＝，P(X＝1)＝C×()1×()2＝，P(X＝2)＝C×()2×()1＝，P(X＝3)＝C×()3×()0＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望为E(X)＝3×＝.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·潍坊统考)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　B　)‎ A．3　　 B．　　‎ C．2　　 D． ‎[解析]　每个轮次甲不能通过的概率为×＝，通过的概率为1－＝，因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B(3，)，所以X的数学期望为3×＝.‎ ‎2．在某“猜羊”游戏中，一只羊随机躲在两扇门后，选手选择其中一个门并打开，如果这只羊就在该门后，则为猜对；否则，为猜错．已知一位选手获得了4次“猜羊”机会，若至少猜对2次才能获奖，则该选手获奖的概率为(　D　)‎ A．0.25　　 B．0.3125　　‎ C．0.5　　 D．0.6875‎ ‎[解析]　依题意得，一位选手每次猜对的可能性为，因此该选手获奖的概率为C·()4＋C·()4＋C·()4＝＝0.6875，选D． ‎ ‎3．(2019·湖南联考)体育课的排球发球项目考试的规则：每位学生最多可发球3次，‎ 一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　C　)‎ A．(0，)　　 B．(，1)‎ C．(0，)　　 D．(，1)‎ ‎[解析]　根据题意，发球次数为1即第一次发球成功，故P(X＝1)＝p，发球次数为2即第一次发球失败，第二次发球成功，故P(X＝2)＝p(1－p)，‎ 发球次数为3即第一次、第二次发球失败，故P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，‎ 依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，‎ 结合p的实际意义，可得0E(X)＝E(Y)，‎ 顾客A应选择根据方案a抽奖2次、方案b抽奖1次，可使所获奖金的期望值最大．‎