江苏省如东高级中学2019-2020学年高一下学期阶段测试数学试题

江苏省如东高级中学2019-2020学年高一下学期阶段测试数学试题

‎ 江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试 ‎ 高一数学试题 ‎ 考试时间：120分钟 2020.06‎ 一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．在空间直角坐标系中，点，1，关于平面对称点的坐标是 　　‎ A．，1， B．，， C．，， D．，1，‎ ‎2．圆的点到直线距离的最小值是 　　‎ A． B．2 C． D．‎ ‎3．已知三棱柱的体积为120，点，分别在侧棱，上，且，则三棱锥的体积为 　　‎ A．20 B．30 C．40 D．60‎ ‎4．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得数据如表：‎ 零件数（个 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工时间（分钟）‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 根据上表可得回归方程，则实数的值为 　　‎ A．34 B．35 C．36 D．37‎ ‎5．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 　　‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在四面体中，，分别为棱，的中点,，，，则异面直线与所成角的余弦值为 　　‎ A． B． C． D．‎ ‎7．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为 　　‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，已知圆，过点的直线交圆于两点，且，则满足上述条件的所有直线斜率之和为 　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．在中，内角、、所对边分别为、、，若，则的大小是 　　‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图所示，三棱锥中，与都是边长为1的正三角形，，若，，，四点都在球的表面上，则球的表面积为　　‎ A． B． C． D．‎ 二．多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分，选对得5分，漏选得3分，选错得0分）‎ ‎11．如图，正方体棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论正确的是 　 　‎ A．平面 ‎ B．，始终在同一个平面内 ‎ C．平面 ‎ D．三棱锥的体积为定值 ‎12．在三角形中，下列命题正确的有　 　‎ A．若，，，则三角形有两解 ‎ B．若，则一定是钝角三角形 ‎ C．若，则一定是等边三角形 ‎ D．若，则的形状是等腰或直角三角形 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若一组数据3，，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是 　．‎ ‎14．过点作圆的切线，切点为，则 　．‎ ‎15．在四面体中，、分别是、的中点，‎ 若记，则 　．‎ ‎16．从正方体上截下一个角，得三棱锥．如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1，2，4，则该三棱锥的底面的面积是 　．‎ 四．解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 锐角中，角，，所对的边分别为，，，若且2cosB(acosC+ccosA)=b．‎ ‎（1）求的外接圆直径；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．‎ ‎(1)求圆O的方程．‎ ‎(2)直线与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示．‎ ‎（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；‎ ‎（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表．若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？‎ 使用寿命 材料类型 ‎1个月 ‎2个月 ‎3个月 ‎4个月 总计 ‎20‎ ‎35‎ ‎35‎ ‎10‎ ‎100‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎100‎ 参考数据：，．‎ 参考公式：回归直线方程，其中，．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，点是线段上的动点．‎ ‎（1）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请写出值，并证明此时，平面；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）已知平面平面，求证：．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛（满分150分）．已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，第六组，，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求的值并估计这800名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中选取2名学生参与督查工作，其选取办法是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生．记这2名学生的竞赛成绩分别为、．求事件的概率．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 平行四边形中，，，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．‎ ‎（1）当为何值时，三棱锥C-OAD的体积最大？最大值为多少？‎ ‎（2）当时，求的大小．‎ 江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试 ‎ 高一数学参考答案 ‎1．． 2．． 3．． 4．． 5．． 6．． 7．． 8．．‎ ‎9．． 10．． 11．． 12．．‎ ‎13．2． 14．． 15． 16．．‎ ‎17．解：（1）因为，‎ 由正弦定理可得，，‎ 即，所以，‎ 因，故且，故， ……3分 由正弦定理，即外接圆直径1， ……5分 ‎（2）由正弦定理可得，，‎ ‎， 7分 由题意可得，，解可得，所以，‎ ‎，． ……10分 ‎18．（1）设圆O的半径长为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以 r==2. ‎ 所以圆O的方程为 x2+y2=4. ……5分 ‎（2）假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,‎ 所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=±2,‎ 经验证满足条件.所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为±2. ……12分 ‎19．解：（1）由折线图可知统计数据共有6组，‎ 即，，，，，．‎ 计算可得，，‎ ‎， ……2分 ‎． ……4分 月度利润与月份代码之间的线性回归方程为， ……5分 当时，．故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元； ……6分 ‎（2）由频率估计概率，型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，‎ 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为；……9分 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，‎ 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为．‎ ‎，应该采购新型材料． ……12分 ‎20．（1）解：在线段上存在点，当时，平面．‎ 证明如下：连接，交于点，连接，则点是的中点，‎ 又当，即点是的中点，由中位线定理得，‎ 平面，平面，‎ 平面． ……6分 ‎（2）证明：过作并交于点，‎ 又平面平面，平面，平面平面，‎ 平面，又平面，．‎ 在直三棱柱中，平面，平面，‎ ‎，又平面，平面，，‎ 平面．‎ 又平面，． ……12分 ‎21．解：（1）由频率分布直方图可知，‎ 解得． ……2分 这800名学生数学成绩的平均数为：‎ ‎．‎ ‎……5分 ‎（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为，，则，，‎ 第五组抽取3名学生，其成绩记为，，，则，，，‎ 第六组抽取1名学生，其成绩记为，则，‎ 现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：‎ ‎，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，共15个．‎ 其中事件包含的基本事件为：‎ ‎，，，，，，共7个，‎ 记“这2名学生的竞赛成绩分别为、，其中”为事件，‎ 则事件的概率为．……12分22．(1) 当时，三棱锥的体积最大，最大值为;(2).‎ ‎【解析】（1）由题意可得BD⊥OD，可得，OC⊥平面ABDO，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；（2）由AD⊥BO，即可得出．‎ 解：（1）由题知OD为CD在平面ABD上的射影，‎ ‎∵BD⊥CD，CO⊥平面ABD，∴BD⊥OD，‎ ‎∴∠ODC=α，则OC=CDsinα，OD=CDcosα．‎ ‎∴ -------3分 ‎==，‎ 当且仅当sin2α=1，即α=45°时取等号，‎ ‎∴当α=45°时，三棱锥O﹣ACD的体积最大，最大值为． --------6分 ‎ ‎（2）‎ 连接OB，，‎ 又因为BD⊥OD