2017年四川省省级联考高考模拟数学文

2017年四川省省级联考高考模拟数学文

2017 年四川省省级联考高考模拟数学文 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={-2，-1，0，1，2}，集合 B={x|x2≤1}，A∩B=( ) A.{-2，-1，0，1} B.{-1，1} C.{-1，0} D.{-1，0，1} 解析：∵集合 A={-2，-1，0，1，2}， 集合 B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}， ∴A∩B={-1，0，1}. 答案：D. 2.已知 i 是虚数单位，复数(2+i)2 的共轭复数为( ) A.3-4i B.3+4i C.5-4i D.5+4i 解析：复数(2+i)2=3+4i 共轭复数为 3-4i. 答案：A. 3.设向量 m =(2x-1，3)，向量 n =(1，-1)，若 ⊥ n ，则实数 x 的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 解析：利用向量垂直的性质求解. 答案：C. 4.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为( ) A.45 B.55 C.66 D.110 解析：模拟程序的运行，可得： s=0，i=1，i＜10， s=1，i=2，i＜10， s=3，i=3，i＜10， s=6，i=4＜10， s=10，i=5＜10， s=15，i=6＜10， s=21，i=7＜10， s=28，i=8＜10， s=36，i=9＜10， s=45，i=10≤10， s=55，i=11＞10， 输出 s=5，5. 答案：B. 5.已知圆的方程为 x2+y2-6x=0，过点(1，2)的该圆的所有弦中，最短弦的长为( ) A. 1 2 B.1 C.2 D.4 解析：化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答案. 答案：C. 6.已知双曲线 E：x2- 2 3 y =1 的左焦点为 F，直线 x=2 与双曲线 E 相交于 A，B 两点，则△ABF 的面积为( ) A.12 B.24 C.4 3 D.8 3 解析：求出双曲线的左焦点，求出 AB 坐标，然后求解三角形的面积. 答案：A. 7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2  )的部分图象如图所示，则函数 f(x)的 解析式为( ) A.f(x)=2sin(x- 6  ) B.f(x)=2sin(2x- 3  ) C.f(x)=2sin(x+ 12  ) D.f(x)=2sin(2x- 6  ) 解析：由题意求出 A，T，利用周期公式求出ω，利用当 x= 5 12  时取得最大值 2，求出φ，即 可得到函数的解析式. 答案：B. 8.实数 x，y 满足不等式组 0 0 10 2 1 0 x y xy xy           ，则 2x-y 的最大值为( ) A.- 1 2 B.0 C.2 D.4 解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 k 的几何意义，进行平移，结合图象得 到 k=2x-y 的最大值. 答案：D. 9.利用计算机产生 120 个随机正整数，其最高位数字(如：34 的最高位数字为 3，567 的最 高位数字为 5)的频数分布图如图所示，若从这 120 个正整数中任意取出一个，设其最高位 数字为 d(d=1，2，…，9)的概率为 P，下列选项中，最能反映 P 与 d 的关系的是( ) A.P=lg(1+ 1 d ) B.P= 1 2d  C.P=  25 120 d  D.P= 31 52d 解析：利用排除法，即可判断. 答案：A. 10.设 a，b 是不相等的两个正数，且 blna-alnb=a-b，给出下列结论：①a+b-ab＞1；②a+b ＞2；③ 11 ab ＞2.其中所有正确结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：①由 blna-alnb=a-b 得1 ln 1 lnab ab  ，构造函数 f(x)=1 ln x x  ，x＞0，判断 a， b 的取值范围即可. ②由对数平均不等式进行证明， ③构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可. 答案：D. 二、填空题(每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上) 11.某单位有 500 位职工，其中 35 岁以下的有 125 人，35～49 岁的有 280 人，50 岁以上的 有 95 人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本，需 抽取 35 岁以下职工人数为_____. 解析：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，即可得出结论. 答案：25. 12.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为_____. 解析：该几何体是一个半圆柱，即可求出其体积. 答案：π. 13.已知 tanα=3，则 sinαsin( 3 2  -α)的值是_____. 解析：利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”即可得出. 答案：- 3 10 . 14.已知函数 f(x)=2x-2-x，若不等式 f(x2-ax+a)+f(3)＞0 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的 取值范围是_____. 解 析 ： 由 函 数 解 析 式 可 得 函 数 f(x)为 定 义 域 上 的 增 函 数 且 为 奇 函 数 ， 把 不 等 式 f(x2-ax+a)+f(3)＞0 对任意实数 x 恒成立转化为 x2-ax+a+3＞0 恒成立，由判别式小于 0 求 得实数 a 的取值范围. 答案：(-2，6). 15.如图，A1，A2 为椭圆 22 95 xy =1 的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S，Q，T 为椭圆上 不同于 A1，A2 的三点，直线 QA1，QA2，OS，OT 围成一个平行四边形 OPQR，则 |OS|2+|OT|2=_____. 解析：当 Q 选在短轴的端点上，取 Q(0， 5 )，由于 A1(-3，0)，A2(3，0)根据直线的斜率 公式代入椭圆方程，即可求得 T 点坐标，则|OS|2+|OT|2=7+7=14. 答案：14. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.一种饮料每箱装有 6 听，经检测，某箱中每听的容量(单位：ml)如以下茎叶图所示. (Ⅰ)求这箱饮料的平均容量和容量的中位数； (Ⅱ)如果从这箱饮料中随机取出 2 听饮用，求取到的 2 听饮料中至少有 1 听的容量为 250ml 的概率. 解析：(Ⅰ)由茎叶图，能示出这箱饮料的平均容量的容量的中位数. (Ⅱ)把每听饮料标上号码，其中容量为 248ml，249ml 的 4 听分别记作 1，2，3，4，容量炎 250ml 的 2 听分别记作：a，b.抽取 2 听饮料，得到的两个标记分别记为 x 和 y，则{x，y} 表示一次抽取的结果，由此利用列举法能求出从这箱饮料中随机取出 2 听饮用，取到的 2 听饮料中至少有 1 听的容量为 250ml 的概率. 答案：(Ⅰ)由茎叶图知，这箱饮料的平均容量为 249+ 1 1 0 0 1 1 6       =249， 容量的中位数为 249 249 2  =249. (Ⅱ)把每听饮料标上号码，其中容量为 248ml，249ml 的 4 听分别记作 1，2，3，4， 容量炎 250ml 的 2 听分别记作：a，b.抽取 2 听饮料， 得到的两个标记分别记为 x 和 y，则{x，y}表示一次抽取的结果， 即基本事件，从这 6 听饮料中随机抽取 2 听的所有可能结果有： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，a}，{1，b} {2，3}，{2，4}，{2，a}，{2，b} {3，4}，{3，a}，{3，b} {4，a}，{4，b} {a，b} 共计 15 种，即事件总数为 15. 其中含有 a 或 b 的抽取结果恰有 9 种，即“随机取出 2 听饮用， 取到的 2 听饮料中至少有 1 听的容量为 250ml”的基本事件个数为 9. 所以从这箱饮料中随机取出 2 听饮用，取到的 2 听饮料中至少有 1 听的容量为 250ml 的概率 为 9 15 =0.6. 17.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 acosB=bcosA. (Ⅰ)判断△ABC 的形状； (Ⅱ)求 sinB+cos(A+ 6  )的取值范围. 解析：(Ⅰ)由正弦定理以及两角差的正弦函数公式化简已知可得 sin(A-B)=0，结合 A，B 的 范围，可求 A=B，可得△ABC 是等腰三角形. (Ⅱ)由(Ⅰ)及三角函数恒等变换的应用可得：sinB+cos(A+ 6  )=sin(A+ 3  )，由 0＜A＜ 2  ， 可求范围 ＜A+ ＜ 5 6  ，利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围. 答案：(Ⅰ)由 acosB=bcosA， 根据正弦定理，得 sinAcosB=sinBcosA，即 sin(A-B)=0， 在△ABC 中，有-π＜A-B＜π， 所以 A-B=0，即 A=B， 所以△ABC 是等腰三角形. (Ⅱ)由(Ⅰ)，A=B，则 sinB+cos(A+ 6  )=sinA+( 3 2 cosA- 1 2 sinA)= sinA+ cosA=sin(A+ 3  ). 因为 A=B，所以 0＜A＜ 2  ，则 ＜A+ ＜ 5 6  ， 所以- ＜sin(A+ )≤1， 于是 sinB+cos(A+ )的取值范围是( ，1]. 18.设数列{an}各项为正数，且 a2=4a1，an+1=an 2+2an(n∈N*). (Ⅰ)证明：数列{log3(1+an)}为等比数列； (Ⅱ)设数列{log3(an+1)}的前 n 项和为 Tn，求使 Tn＞520 成立时 n 的最小值. 解析：(Ⅰ)求出首项，化简已知条件，利用等比数列的定义证明：数列{log3(1+an)}为等比 数列； (Ⅱ)求出首项的通项公式，然后求和，列出不等式求解即可. 答案：(Ⅰ)证明：由已知，a2=a1 2+2a1=4a1，则 a1(a1-2)=0， 因为数列{an}各项为正数，所以 a1=2， 由已知，an+1+1=(an+1)2＞0， 得 log3(an+1+1)=2log3(an+1). 又 log3(a1+1)=log33=1， 所以，数列{log3(1+an)}是首项为 1，公比为 2 的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，log3(1+an)=2n-1， 所以 Tn=1+2+22+…+2n-1=2n-1. 由 Tn＞520，得 2n＞521(n∈N*)， 所以 n≥10. 于是 Tn＞520 成立时 n 的最小值为 10. 19.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，将△AED，△DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于 P. (Ⅰ)求证：平面 PBD⊥平面 BFDE； (Ⅱ)求四棱锥 P-BFDE 的体积. 解析：(Ⅰ)连接 EF 交 BD 于 O，连接 OP，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 中点，点 F 是 BC 中 点，可得 EF⊥OP，又 EF平面 BFDE，即可证得平面 PBD⊥平面 BFDE； (Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可知平面 POD⊥平面 DEF，进一步得到∠OPD=90°，作 PH⊥OD 于 H，则 PH ⊥平面 DEF，求出 PH 的值，则答案可求. 答案：(Ⅰ)证明：连接 EF 交 BD 于 O，连接 OP. 在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 中点，点 F 是 BC 中点， ∴BE=BF，DE=DF， ∴△DEB≌△DFB， ∴在等腰△DEF 中，O 是 EF 的中点，且 EF⊥OD， 因此在等腰△PEF 中，EF⊥OP， 从而 EF⊥平面 OPD， 又 EF 平面 BFDE， ∴平面 BFDE⊥平面 OPD， 即平面 PBD⊥平面 BFDE； (Ⅱ)解：由(Ⅰ)的证明可知平面 POD⊥平面 DEF， 可得，OP=OE=OF= 2 2 ，OD= 32 2 ，PD=2， 由于 OP2+PD2=OD2=18 4 ， ∴∠OPD=90°， 作 PH⊥OD 于 H，则 PH⊥平面 DEF， 在 Rt△POD 中，由 OD·PH=OP·PD，得 PH= 2 3 . 又四边形 BFDE 的面积 S= 1 2 EF·BD= × 2 ×2 2 =2， ∴四棱锥 P-BFDE 的体积 V= 1 3 S·PH= 4 9 . 20.过点 C(2，2)作一直线与抛物线 y2=4x 交于 A，B 两点，点 P 是抛物线 y2=4x 上到直线 l： y=x+2 的距离最小的点，直线 AP 与直线 l 交于点 Q. (Ⅰ)求点 P 的坐标； (Ⅱ)求证：直线 BQ 平行于抛物线的对称轴. 解析：(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x0，y0)，利用点到直线的距离公式通过最小值，求出 P 点坐标. (Ⅱ)设点 A 的坐标为( 2 1 4 y ，y1)，显然 y1≠2.当 y1=-2 时，求出直线 AP 的方程；当 y1≠-2 时，求出直线 AP 的方程与直线 l 的方程 y=x+2 联立，可得点 Q 的纵坐标，求出 B 点的纵坐 标，推出 BQ∥x 轴，求出直线 AC 的方程与抛物线方程 y2=4x 联立，求得点 B 的纵坐标，然 后推出结果 BQ∥x 轴. 答案：(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x0，y0)，则 2 0y =4x0， 所以，点 P 到直线 l 的距离 d=   2 0 20 000 2 242 4 2 22 2 4 2 y y yxy     . 当且仅当 y0=2 时等号成立，此时 P 点坐标为(1，2). (Ⅱ)设点 A 的坐标为( ，y1)，显然 y1≠2. 当 y1=-2 时，A 点坐标为(1，-2)，直线 AP 的方程为 x=1； 当 y1≠-2 时，直线 AP 的方程为 y-2= 1 2 1 2 14 y y   (x-1)， 化简得 4x-(y1+2)y+2y1=0； 综上，直线 AP 的方程为 4x-(y1+2)y+2y1=0. 与直线 l 的方程 y=x+2 联立，可得点 Q 的纵坐标为 yQ= 1 1 28 2 y y   . 当 2 1y =8 时，直线 AC 的方程为 x=2，可得 B 点的纵坐标为 yB=-y1. 此时 yQ=  11 12 1 1 1 4228 4222 2 4 yy yy y y          ， 即知 BQ∥x 轴， 当 ≠8 时，直线 AC 的方程为 y-2= (x-2)， 化简得(4y1-8)x-( -8)y+(2 -8y1)=0， 与抛物线方程 y2=4x 联立，消去 x， 可得(y1-2)y2-( -8)y+(2 -8y1)=0， 所以点 B 的纵坐标为 yB= 2 11 1 11 8 2 8 22 yyyyy  . 从而可得 BQ∥x 轴， 所以，BQ∥x 轴. 21.设 a，b∈R，函数 f(x)= 1 3 x3+ax2+bx+1，g(x)=ex(e 为自然对数的底数)，且函数 f(x)的 图象与函数 g(x)的图象在 x=0 处有公共的切线. (Ⅰ)求 b 的值； (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性； (Ⅲ)证明：当 a≤ 1 2 时，g(x)＞f(x)在区间(-∞，0)内恒成立. 解析：(Ⅰ)求出两个函数的导函数，利用函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在 x=0 处有公 共的切线，列出方程，即可求出 b. (Ⅱ)求出导函数 f′(x)，通过-1≤a≤1 时，判断函数的单调性，当 a2＞1 时，判断导函数 的符号，判断函数的单调性. (Ⅲ)令 h(x)=g′(x)-f′(x)=ex-x2-2ax-1，求出导函数 h′(x)=ex-2x-2a，令 u(x)=h′ (x)=ex-2x-2a，求出 u′(x)=ex-2.通过当 a≤ 时，利用函数的单调性与最值求解即可. 答案：(Ⅰ)f′(x)=x2+2ax+b，g′(x)=ex， 由 f′(0)=b=g′(0)=1，得 b=1. (Ⅱ)f′(x)=x2+2ax+1=(x+a)2+1-a2， 当 a2≤1 时，即-1≤a≤1 时，f′(x)≥0，从而函数 f(x)在定义域内单调递增， 当 a2＞1 时，f′(x)=(x+a+ 2 1a  )(x+a- 2 1a  )，此时 若 x∈(-∞，-a- 2 1a  )，f′(x)＞0，则函数 f(x)单调递增； 若 x∈(-a- ，-a+ )，f′(x)＜0，则函数 f(x)单调递减； 若 x∈(-a+ ，+∞)时，f′(x)＞0，则函数 f(x)单调递增. (Ⅲ)令 h(x)=g′(x)-f′(x)=ex-x2-2ax-1， 则 h(0)=e0-1=0.h′(x)=ex-2x-2a，令 u(x)=h′(x)=ex-2x-2a，则 u′(x)=ex-2. 当 a≤ 1 2 时，u(0)=h′(0)=1-2a≥0， 又当 x≤0 时，u′(x)＜0，从而 u(x)单调递减； 所以 u(x)＞0. 故当 x∈(-∞，0)时，h(x)单调递增； 又因为 h(0)=0，故当 x＜0 时，h(x)＜0， 从而函数 g(x)-f(x)在区间(-∞，0)单调递减； 又因为 g(0)-f(0)=0 所以 g(x)＞f(x)在区间(-∞，0)恒成立.