2020版高中数学 第2章 数列第1课时 等差数列的前n项和

2020版高中数学 第2章 数列第1课时 等差数列的前n项和

第1课时　等差数列的前n项和 ‎1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.(难点),2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.(重点),3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.(难点、易错点) ‎[基础·初探]‎ 教材整理　等差数列的前n项和 阅读教材P39第二自然段～P39例1，完成下列问题.‎ ‎1.数列的前n项和的概念 一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.‎ ‎2.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d ‎1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)‎ A.13　　　B‎.35　‎　　C.49　　　D.63‎ ‎【解析】　a2＋a6＝a1＋a7＝14，‎ ‎∴S7＝＝49.‎ ‎【答案】　C ‎2.等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝________.‎ ‎【解析】　因为a1＝1，d＝1，‎ 所以Sn＝n＋×1‎ 7‎ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎3.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.‎ ‎【解析】　由S10＝＝120，得a1＋a10＝24.‎ ‎【答案】　24‎ ‎4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ ‎【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝3.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)‎ ‎＝2n＋1.‎ 因为n＝1时，a1＝3，也满足an＝2n＋1，‎ 所以an＝2n＋1.‎ ‎ 【答案】　2n＋1‎ ‎[小组合作型]‎ 有关等差数列的前n项和的基本运算 ‎　已知等差数列{an}中，‎ ‎(1)a1＝，S4＝20，求S6；‎ ‎(2)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；‎ ‎(3)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.‎ ‎【精彩点拨】　利用等差数列求和公式的两种形式求解.‎ ‎【自主解答】　(1)S4＝‎4a1＋d＝‎4a1＋6d＝2＋6d＝20，‎ ‎∴d＝3.‎ 故S6＝‎6a1＋d＝‎6a1＋15d＝3＋15d＝48.‎ 7‎ ‎(2)∵Sn＝n·＋＝－15，‎ 整理得n2－7n－60＝0，‎ 解得n＝12或n＝－5(舍去)，‎ a12＝＋(12－1)×＝－4.‎ ‎(3)由Sn＝＝＝－1 022，‎ 解得n＝4.‎ 又由an＝a1＋(n－1)d，‎ 即－512＝1＋(4－1)d，‎ 解得d＝－171.‎ a1，n，d为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二.一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中，应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10.‎ ‎【解】　 解得a1＝－5，d＝3.‎ ‎∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，‎ S10＝‎10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.‎ 等差数列前n项和公式的实际应用 ‎　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？‎ ‎【精彩点拨】　因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程.‎ ‎【自主解答】　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，‎ 7‎ a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.‎ ‎25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.‎ ‎1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关 键在于构造合适的等差数列.‎ ‎2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知 识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：‎ ‎(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.‎ ‎(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前 n项和Sn，还是求项数n.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距‎10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米. ‎ ‎【导学号：18082026】‎ ‎【解析】　假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米).‎ ‎【答案】　2 000‎ ‎[探究共研型]‎ 等差数列的前n项和公式推导 探究1　如图222，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？‎ 图222‎ 7‎ ‎【提示】　在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数分别记为a1，a2，…，a6，则数列{an}构成一个以a1＝4为首项，以d＝1为公差的等差数列，设此时钢管总数为S6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层有a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝…＝a6＋a1＝13(根)，‎ 此时钢管总数为2S6＝(a1＋a6)×6＝13×6＝78(根)，‎ 原来钢管总数为S6＝×6＝39(根).‎ 探究2　通过探究1，你能推导出等差数列{an}的求和公式吗？‎ ‎【提示】　Sn＝a1＋a2＋…＋an， ①‎ 把数列{an}各项顺序倒过来相加得 Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1， ②‎ ‎①＋②得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，‎ 则Sn＝.‎ 探究3　你能用a1，d，n表示探究2中的公式吗？该结果与Sn＝有什么区别与联系.‎ ‎【提示】　Sn＝＝ ‎＝a1n＋，即Sn＝a1n＋.‎ 该公式是由探究2中的公式推导得出，都是用来求等差数列的前n项和，在求解时都可以“知三求一”，求Sn时，都需知a1，n，不同在于前者还需知an，后者还需知d.‎ ‎　(1)已知等差数列{an}中，若a1 009＝1，求S2 017；‎ ‎(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，求.‎ ‎【精彩点拨】　由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解.‎ ‎【自主解答】　(1)法一：∵a1009＝a1＋1008d＝1，∴S2017＝‎2017a1＋d＝2 017(a1＋1 008d)＝2017.‎ 法二：∵a1009＝，∴S2017＝×2 017＝‎2017a1009＝2017.‎ ‎(2)法一：＝＝＝＝＝.‎ 7‎ 法二：∵＝＝，‎ ‎∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎1.若{an}是等差数列，则Sn＝·n＝na中(a中为a1与an的等差中项).‎ ‎2.若{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则＝.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.在等差数列{an}中.‎ 已知a3＋a15＝40，求S17.‎ ‎【解】　法一：∵a1＋a17＝a3＋a15，∴S17＝＝ ‎＝＝340.‎ 法二：∵a3＋a15＝‎2a1＋16d＝40，∴a1＋8d＝20，‎ ‎∴S17＝‎17a1＋d＝17(a1＋8d)＝17×20＝340.‎ 法三：∵a3＋a15＝‎2a9＝40，∴a9＝20，∴S17＝‎17a9＝340.‎ ‎1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)‎ A.8 B‎.10 C.12 D.14‎ ‎【解析】　由题意知a1＝2，由S3＝‎3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A.5 B‎.7 C.9 D.11 ‎ ‎【解析】　法一：∵a1＋a5＝‎2a3，‎ ‎∴a1＋a3＋a5＝‎3a3＝3，‎ ‎∴a3＝1，‎ 7‎ ‎∴S5＝＝‎5a3＝5，故选A.‎ 法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝‎3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，‎ ‎∴S5＝‎5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.‎ ‎【答案】　A ‎3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.‎ ‎【解析】　S19＝＝＝‎19a10＝190.‎ ‎【答案】　190‎ ‎4.记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝________. ‎ ‎【导学号：18082027】‎ ‎【解析】　法一：由 解得d＝3.‎ 法二：由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，‎ ‎∴20－4＝4＋4d，‎ 解得d＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.‎ ‎【解】　设等差数列的公差为d，则 S3＝‎3a1＋d＝‎3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，‎ S6＝‎6a1＋d＝‎6a1＋15d＝24，‎ 即‎2a1＋5d＝8.‎ 由解得 故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.‎ 7‎