高考数学模拟试卷3 (12)

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- 1 - 高考数学训练题（第 48 套） 1．设集合 1 02 xA x x      ≥ ，  1,0,1,2B   ，则 A B  （ ） A． 1,0,1 B． 0,1,2 C． 1,0,1,2 D． 1,2 2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的 平均数为（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 3．设 x ， y 满足约束条件 0 1 0 3 0 y x y x y        ≥ ≥ ≤ ，则 4 3z x y  的最大值为（ ） A．3 B．9 C．12 D．15 4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D．1 5．已知各项都为正数的等比数列 na ，满足 3 1 22a a a  ，若存在两项 ma ， na ， - 2 - 使得 14m na a a ，则 1 4 m n  的最小值为（ ） A．2 B． 3 2 C． 1 3 D．1 6．函数   2 21 1 1 2 2 2 x x f x              的图象大致为（ ） A． B． C． D． 7 ． 已 知 函 数    sin 2 ( 0,0 )f x A x A       的 图 象 经 过 点 ,012     和 3,12 2      ，当 0, 2x     时，方程   2 3f x a  有两个不等的实根，则实数 a 的取 值范围是（ ） A． 3,2   B． 1 , 32      C． 1,2 D． 3 3 , 34      8．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如 图，“大衍数列”：0,2,4,8,12 来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推 论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总 和．下图是求大衍数列前 n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入 8m  ，则输 出的 S （ ） - 3 - A．44 B．68 C．100 D．140 9．设数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 2 1n na a n    ，且 1350nS  ．若 2 2a  ，则 n 的 最大值为（ ） A．51 B．52 C．53 D．54 10．若自然数 n 使得作竖式加法    1 2n n n    均不产生进位现象，则称 n 为“开 心数”．例如：32 是“开心数”．因32 33 34  不产生进位现象；23 不是“开心数”， 因 23 24 25  产生进位现象，那么，小于 100 的“开心数”的个数为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 11．已知函数 2lny a x  1,eex       的图象上存在点 P ，函数 2 2y x   的图象 上存在点Q，且 P ，Q关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A． 2e ,  B． 13,4 e     C． 2 2 14 ,ee     D． 23,e   12．如图，各棱长均为1的正三棱柱 1 1 1ABC A BC ， M ， N 分别为线段 1A B ， 1BC 上的动点，若点 M ，N 所在直线与平面 1 1ACC A 不相交，点O为 MN 中点，则O 点 的轨迹的长度是（ ） - 4 - A． 2 2 B． 3 2 C．1 D． 2 13．已知复数 1 4i 1 iz   ，其中i 为虚数单位，则复数 z 的实部为_________． 14．已知圆 过点  5,1A ，  5,3B ，  1,1C  ，则圆 的圆心到直线l ： 2 1 0x y   的距离为__________． 15．在锐角 ABC△ 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，若 2C B ，则 c b 的取值范围是________． 16．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，点  0 ,2 2M x 0( )2 px  是抛物线C 上一点，以 M 为圆心的圆与线段 MF 相交于点 A ，且被直线 2 px  截得的弦长为 3 MA ，若 2MA AF  ，则 AF  _______． 17．已知 cos 14 xm       ， ， 23sin cos4 4 x xn       ， ，设函数  f x m n   ． （1）求函数  f x 的单调增区间； （2）设 ABC△ 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比 - 5 - 数列，求  f B 的取值范围． 18．过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018 年春节前夕， A 市 某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标， （1）求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x （同一组中的数 据用该组区间的中点值作代表）； （2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布  2,N   ， 利用该正态分布，求 Z 落在 14.55,38.45 内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包 速冻水饺中这种质量指标值位于 10,30 内的包数为 X ，求 X 的分布列和数学期 望． 附 ： ① 计 算 得 所 抽 查 的 这 100 包 速 冻 水 饺 的 质 量 指 标 的 标 准 差 为 142.75 11.95   ； ② 若  2~ ,Z N   ， 则 ( ) 0.6826P Z      ≤ ， ( 2 2 ) 0.9544P Z      ≤ ． 19．如图，矩形 ABCD中， 6AB  ， 2 3AD  ，点 F 是 AC 上的动点．现将矩形 ABCD沿着对角线 AC 折成二面角 D AC B  ，使得 30D B  ． - 6 - （1）求证：当 3AF  时， D F BC  ； （2）试求CF 的长，使得二面角 A D F B   的大小为 4  ． 20．对于椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ，有如下性质：若点 0 0,x y 是椭圆上的点，则 椭圆在该点处的切线方程为 0 0 2 2 1x x y y a b   ．利用此结论解答下列问题．点 31, 2Q     是 椭圆 2 2 2 2C: 1( 0)x y a ba b     上的点，并且椭圆在点Q处的切线斜率为 1 2  ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点 P 在直线 3x y  上，经过点 P 的直线 m ， n 与椭圆C 相切，切点分 别为 M ， N ．求证：直线 MN 必经过一定点． 21．已知函数   lnf x x ax  ． （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）当 1a  时，函数     1 2g x f x x mx     有两个零点 1 2x x、 ，且 1 2x x ． 求证： 1 2 1x x  ． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 4cos 2 4sin x a y a       （ a 为参数），以O 为 极 点 ， x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为  6    R ． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于 ,A B 两点，求 AB 的值． 23．选修 4—5:不等式选讲 已知 (0 )x y z   ， ， ， ， 3x y z  ＝ ． - 7 - （1）求 1 1 1 x y z   的最小值 （2）证明： 2 2 23 x y z≤ ＋ ＋ ． - 8 - 高考数学训练题（第 48 套） 答案 1．【答案】A 【 解 析 】 由 题 意 得  1 10 = 0 1 22 2 x xA x x x xx x                ≥ ≤ ≤ ， ∴  1,0,1A B   ．选 A． 2．【答案】B 【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为： 32 34 332   ，结合题意可知：甲组的 中位数为 33，即 3m  ，则甲组数据的平均数为： 24 33 36 313    ．本题选择 B 选项． 3．【答案】C 【解析】所以，过 3,0 时， 4 3z x y  取得最大值为 12．故选 C． 4．【答案】B 【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为 1 的三棱锥，故得到 体积为： 1 1 12 1 13 2 3      ．故答案为：B． 5．【答案】B 【解析】 正项等比数列  na 满足： 3 1 22a a a  ，可得 2 1 1 12a q a a q  ，即 2 2 0q q   ， 2q  ， 14m na a a ， 2 116m na a a  ，    1 1 2 1 1 12 2 16m na a a      ， 2 2 2 1 12 16m na a    ， 6m n   ， - 9 -  1 4 1 1 4 6 m nm n m n         1 4 1 4 35 5 26 6 2 n m n m m n m n                ≥ ， 当 且 仅 当 4n m m n  时，等号成立，故 1 4 m n  的最小值为 3 2 ，故选 B． 6．【答案】C 【解析】     2 2 2 21 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x x x x f x f x                                   ，所以函数是 偶函数，关于 y 轴对称，排除 A、D，当 2x  时，   92 016f   ，排除 B，故选 C． 7．【答案】D 【解析】因为点 ,012     在函数图象上， sin 2 012A            ， 0    ， 6    ， 又 点 3,12 2      在 函 数 图 象 上 ， 3sin 2 12 6 2A            ， 3A  ，   3sin 2 6f x x       ， 0, 2x     ， 72 ,6 6 6x          ，当方程   2 3f x a  有两个不等的实根时，已知函数  y f x 的图象与直线   2 3f x a  有两个不 同，由图象可知 3 2 3 32 a  ≤ ， 3 3 34 a ≤ ，故选 D． 8．【答案】C 【解析】第 1 次运行， 1n  ， 2 1 02 na   ， 0 0 0S    ，不符合 n m≥ ，继续运 行； 第 2 次运行， 2 2, 2, 0 2 22 nn a S      ，不符合 n m≥ ，继续运行； 第 3 次运行， 2 13, 4, 4 2 62 nn a S      ，不符合 n m≥ ，继续运行； 第 4 次运行， 2 4, 8, 8 6 142 nn a S      ，不符合n m≥ ，继续运行； - 10 - 第 5 次运行， 2 15, 12, 14 12 262 nn a S      ，不符合 n m≥ ，继续运行； 第 6 次运行， 2 6, 18, 26 18 442 nn a S      ，不符合n m≥ ，继续运行； 第 7 次运行， 2 17, 24, 24 44 682 nn a S      ，不符合 n m≥ ，继续运行； 第8 次运行， 2 8, 32, 68 32 1002 nn a S      ，符合n m≥ ，退出运行，输出 100S  ； 故选 C． 9．【答案】A 【解析】若 n 为偶数，则      1 2 3 4 1n n nS a a a a a a          12 1 1 2 3 1 2 1 1 2 n nn           ， 50 1275 1350S   ， 52 1738 1350S   ， 所以这样的偶数不存在，若 n 为奇数， 则      1 2 3 4 5 1n n nS a a a a a a a         1 2 2 1 2 4 1 2 1 1a n                1 2 2 1 2 132 2 n n n na a         ， 若 51 21301.5 1350S a   ，则当 2 48.5 2a    时成立，若 53 21405.5 1350S a   ， 则当 2 55.5 2a   不成立，故选 A． 10．【答案】D 【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵    1 2 10n n n     ，即 2 3n  ．，∴ 个位数可取 0，1，2 三个数，∵十位数需要满足：3 10n  ，∴ 33n  ．，∴十位可 以取 0，1，2，3 四个数，故小于 100 的“开心数”共有 3×4=12 个．故选：D． 11．【答案】D 【解析】函数 2 2y x   的图象与函数 2 2y x  的图象关于原点对称，若函数 2lny a x  （ 1 ,eex      ）的图象上存在点 P ，函数 2 2y x   的图象上存在点Q， - 11 - 且 P ，Q 关于原点对称，则函数 2lny a x  （ 1 ,eex      ）的图象与函数 2 2y x  的图象有交点，即方程 22ln 2a x x   （ 1 ,x ee      ）有解，即 2 2 2lna x x   （ 1 ,eex      ）有解，令   2 2 2lnf x x x   ，则    22 1x f x x    ，当 1 ,1ex      时，   0f x ＜ ，当  1 ex ， 时，   0f x ＞ ，故当 1x  时，  f x 取最小值 3，由 2 1 1 4e ef       ，   2e ef  ，故当 ex  时，  f x 取最大值 2e ，故 23 ea    ， ，故 选：D． 12．【答案】B 【解析】由题意， 点 M ，N 所在直线与平面 1 1ACC A 不相交，则 MN∥平面 1 1ACC A ，过 M 作 1MQ AA∥ 交 AB 于Q，过Q 作QH AC∥ ，连结 NH ，得 1NH BB∥ ， 1 1BB AA ∥ ， NH MQ∥ ， 则平面 MQHN∥平面 1 1ACC A ，则 MN ∥平面 1 1ACC A ，因为 M 为线段 1A B 上的动 点，所以这样的 MN 有无数条，其中 MN 中点O 的轨迹的长度等于底面正 ABC△ 的 高 3 2 ，故选 B． 13．【答案】 3 2  【解析】 1 4i 1 iz     1 4i 1 i 3 5i= 2 2     ，所以复数 z 的实部为 3 2  ． 14．【答案】 5 5 - 12 - 【解析】由题知，圆心坐标为 2,2 ，则 1 5 55 d   ． 15．【答案】 2, 3 【解析】因为 2C B ，所以sin sin2 2sin cosC B B B  ， 2 cosc b B  ， 2cosc Bb  ， 因为锐角 ABC△ ，所以0 2B   ，0 2 2C B    ，0 3 2A C B B          ， 6 4B    ， 2 3cos ,2 2B       ，  2, 3c b  ． 16．【答案】1 【解析】将 M 点坐标代入抛物线方程得 08 2px ，解得 0 4x p  ，即 4 ,2 2M p      ，   2 24 2 22 pMF p       ， 由 于 MA 为 圆 的 半 径 ， 而 3DE MA ， 所 以 2π 3DME  ， π 6BDM  ， 故 4 1 1 2 2 3 p MB MA MFp     ， 即   2 24 1 4 2 22 3 2 p p p p        ， 两 边 平 方 化 简 得 4 12 p p   ， 解 得 2p  ， 故 3MF  ， 1 13AF MF  ． 17．【答案】（1） 4 24 43 3k k      ， ， k Z ；（2） 3 11, 2     ． 【解析】（1）   cos 14 xf x m n          ， 2 13sin cos sin4 4 2 6 2 x x x             ， ，·····3 分 令 2 22 2 6 2 xk k      ≤ ≤ ，则 4 24 43 3k x k    ≤ ≤ ， k Z ， 所以函数  f x 单调递增区间为 4 24 43 3k k      ， ， k Z ．·······6 分 （2）由 2b ac 可知 2 2 2 2 2 2 1cos 2 2 2 2 a c b a c ac ac acB ac ac ac       ≥ （当且仅当 a c 时取等号），·······8 分 - 13 - 所以0 3B  ≤ ， 6 2 6 3 B    ≤ ，   3 11 2f B  ≤ ， 综上  f B 的取值范围为 3 11, 2     ．·······12 分 18．【答案】（1） 26.5x  （2）0.6826 （3） X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 ∴   2E X  ． 【解析】（1）所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x 为 5 0.1 15 0.2 25 0.3 35 0.25 45 0.15 26.5x            ．·······3 分 （2）①∵ Z 服从正态分布  2,N   ，且 26.5  ， 11.95  ， ∴ (14.55 38.45) (26.5 11.95 26.5 11.95) 0.6826P Z P Z        ， ∴ Z 落在 14.55,38.45 内的概率是0.6826 ．·······3 分 ②根据题意得 1~ 4, 2X B     ，   4 0 4 1 10 2 16P X C       ；   4 1 4 1 11 2 4P X C       ；   4 2 4 1 32 2 8P X C       ；   4 3 4 1 13 2 4P X C       ；   4 4 4 1 14 2 16P X C       ．·······11 分 ∴ X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 ∴   14 22E X    ．·······12 分 19．【答案】（1）见解析；（2） 11 34CF  ． 【解析】 - 14 - 解:（1）连结 DF ， BF ． 在矩形 ABCD中， 2 3AD  , 6CD  ， 4 3AC  , 60DAC  ． 在 ADF△ 中，∵ 3AF  , 2 2 2 2 cos 9DF DA AF DA AF DAC        ， ∵ 2 2 29 3DF AF DA    ， DF AC  ，即 D F AC  ．·······2 分 又在 ABF△ 中， 2 2 2 2 cos 21BF AB AF AB AF CAB       ， ∴在 D FB△ 中，  22 2 2 23 21D F FB D B    , BF D F   ,·······4 分 又 AC FB F  , ∴ D F  平面 ABC ．·······5 分 ∴ D F BC  ．·······6 分 （2）解：在矩形 ABCD中，过 D 作 DE AC 于O，并延长交 AB 于 E ．沿着对角 线 AC 翻折后， 由（1）可知，OE ，OC ，OD 两两垂直， - 15 - 以O为原点，OE 的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz ， 则  0,0,0O ，  1,0,0E ，  0,0,3D ，  3,2 3,0B ， EO  平面 AD F ,  1,0,0OE  为平面 AD F 的一个法向量．·······7 分 设平面 BD F 的法向量为  , ,n x y z ，  0, ,0F t ，  3, 2 3,3BD    ，  3, 2 3,0BF t   ， 由 0, 0, n BD n BF           得   3 2 3 3 0 3 2 3 0 x y z x t y           ， ， 取 3,y  则 2 3x t  ， z t ，  2 3,3,n t t   ．·······9 分 cos ,4 n OE n OE     即  2 2 2 3 2 22 3 9 t t t      , 3 4t  ．·······11 分 当 11 34CF  时，二面角 A D F B   的大小是 4  ．·······12 分 20．【答案】（1） 2 2 14 3 x y  （2）直线 MN 必经过一定点 4 ,13      【解析】（1）∵椭圆C 在点Q处的切线方程为 2 2 3 12 x y a b   ， 其斜率为 2 2 2 1 3 2 b a    ， ∴ 2 23 4a b ．·······1 分 又点Q在椭圆上， ∴ 2 2 1 9 14a b   ．·······2 分 解得 2 4a  ， 2 3b  ． - 16 - ∴椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  ；·······4 分 （2）设  0 0,P x y ，  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 则切线 1 1: 14 3 x x y ym   ，切线 2 2: 14 3 x x y yn   ．·······6 分 ∵ ,m n 都经过点 P ， ∴ 1 0 1 0 14 3 x x y y  ， 2 0 2 0 14 3 x x y y  ． 即直线 MN 的方程为 0 0 14 3 x x y y  ．·······7 分 又 0 0 3x y  ，·······8 分 ∴  00 3 14 3 x yx x   ， 即  03 4 12 12 0x y x y    ．·······10 分 令 3 4 0, 12 12 0, x y y        得 4 , 3 1. x y      ∴直线 MN 必经过一定点 4 ,13      ．·······12 分 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）    1 0,f x a xx       ·······1 分 ①当 0a≥ 时，  f x 在 0, 上单调递增；·······2 分 ②当 0a  时，  f x 在 10, a     上单调递增，在 1 ,a      上单调递减····4 分 （2）当 1a  时，   1ln 2g x x mx    ， 由已知得： 1 1 1ln 2x mx   ， 2 2 1ln 2x mx   ，·······5 分 两式相减得： 1 1 2 1 2 12 1 2 2 1 1ln 02 2 2ln x x xx x xx x x x       ， - 17 - 1 2 1 1 2 1 2ln x xx x x    ， 2 1 2 1 2 1 2ln x xx x x   ， 1 2 2 1 1 2 1 2 2ln x x x xx x x x     ，·······8 分 令  1 2 0,1xt x   ，设   1 2lnh t t tt    ，   2 2 2 1 2 2 11 0t th t t t t          ，  h t 在 0,1 上单调递增，    1 0h t h   ，即 1 2lnt tt   ，又ln 0t  ， 1 12ln t t t    ， 1 2 1x x   ·······12 分 22．【答案】（1） 2 4 cos 12 0     ；（2） 6AB  ． 【解析】（1）将方程 4cos 2 4sin x a y a       消去参数a 得 2 2 4 12 0x y x    ， ∴曲线C 的普通方程为 2 2 4 12 0x y x    ，·······12 分 将 2 2 2x y   ， cosx   代入上式可得 2 4 cos 12    ， ∴曲线C 的极坐标方程为： 2 4 cos 12 0     ．·······5 分 （2）设 ,A B 两点的极坐标方程分别为 1, 6       ， 2 , 6       ， 由 2 4 cos 12 6          消去 得 2 2 3 12 0    ，·······7 分 根据题意可得 1 ， 2 是方程 2 2 3 12 0    的两根， ∴ 1 2 2 3   ， 1 2 12    ， ∴  2 1 2 1 2 1 22 6AB            ．·······10 分 23．【答案】（1）3； （2）证明见解析． - 18 - 【解析】（1）因为 33 0x y z xyz  ≥ ， 3 1 1 1 3 0x y z xyz   ≥ ， 所以  1 1 1 9x y z x y z        ≥ ,即 1 1 1 3x y z   ≥ ， 当且仅当 1x y z   时等号成立，此时 1 1 1 x y z   取得最小值 3．·······5 分 （2） 2 2 2x y z       2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 x y z x y y z z x          2 2 2 2 3 x y z xy yz zx    ≥  2 33 x y z   ．·······10 分 ，