【数学】福建省泉州市惠安县第十六中学2020届高三上学期期中考试试题（理）（解析版）

【数学】福建省泉州市惠安县第十六中学2020届高三上学期期中考试试题（理）（解析版）

福建省泉州市惠安县第十六中学2020届高三上学期期中 考试数学试题（理）‎ 一、选择题 ‎1.设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：，‎ 结合交集的定义可得：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2.已知集合，则集合的子集个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】，则的子集个数为个.‎ ‎3.在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量的运算法则，可得 ‎ ，‎ 所以，故选A.‎ ‎4.已知向量与向量平行，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由向量与向量平行，所以，解得，又，故选C．‎ ‎5.已知函数下面结论错误的是（ ）‎ A. 函数的最小正周期为 B. 函数是偶函数 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在区间上是增函数 ‎【答案】C ‎【解析】利用诱导公式有,,最小正周期,选项A正确；因为,所以为偶函数,选项B正确；‎ 令,,当,不是整数,不符合,故选项C错误；‎ 当时,,在为减函数,‎ 则在区间上是增函数,选项D正确.故选C.‎ ‎6.的内角所对的边分别为,且，，，则ÐB=（ ）‎ A. B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理得，所以 所以，又因为 所以或 故选B.‎ ‎7.已知命题对任意，命题存在，使得，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，有正有负，所以无法比较大小，故是假命题．当时，显然成立，为真命题．所以为真命题．‎ ‎8.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ ‎,选D.‎ ‎9.函数的图像可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，‎ 所以，‎ 函数为奇函数，排除AB；‎ 当时，，‎ 故在上存在零点，D符合，‎ 故选D.‎ ‎10.已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】的图象关于点对称，则关于原点对称. 当时恒有即函数的周期为.‎ 所以.‎ ‎11.已知为常数，函数在内有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，要有两个根，则需有一个解，分离参数得，令，，故当时，函数单调递减，当时函数单调递增，注意到，要使有两个解，则需，解得.‎ ‎12.已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据可知，‎ 令为增函数，‎ 所以恒成立，分离参数得，而当时，最大值为，故.‎ 二、填空题 ‎13.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，‎ 幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，‎ ‎∴a是奇数，且a＜0，‎ ‎∴a=﹣1．‎ 故答案为﹣1．‎ ‎14.已知曲线，则其在点处的切线方程是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，，那么切线的斜率，由点斜式可得切线方程为.‎ ‎15.在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；‎ ‎∴；‎ ‎∴a=b+2，或b=a+2；‎ 且；‎ ‎∴；‎ 当a=b+2时，；‎ ‎∵b2+2b﹣2的最小值为；‎ ‎∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．‎ 故答案为﹣3．‎ ‎16.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ‎，‎ 三、解答题 ‎17.设常数，函数．‎ ‎（1）若为偶函数，求的值；‎ ‎（2）若，求方程在区间上的解．‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵为偶函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，或，‎ ‎∴，或，‎ ‎∵，‎ ‎∴或或 ‎18.记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．‎ ‎（1）证明：函数与不存在“点”；‎ ‎（2）若函数与存在“点”，求实数的值 解：（1）函数，则．‎ 由且，得 ‎ ‎，此方程组无解， ‎ 因此，与不存在“”点． ‎ ‎（2）函数，， ‎ 则． ‎ 设为与的“”点，由且，得 ‎，即，（*） ‎ 得，即，则．‎ 当时，满足方程组（*），即为与“”点．‎ 因此，的值为．‎ ‎19.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．‎ 解：（1）因为，所以，‎ 由正弦定理化角为边可得，‎ 即，由余弦定理可得，又，所以．‎ ‎（2）由（1）可得，设的外接圆的半径为，‎ 因为，，所以，‎ 则 ‎，‎ 因为为锐角三角形，所以，即，‎ 所以，所以，‎ 所以，故的取值范围为．‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，证明：．‎ 解：（1）的定义域为，.‎ ‎（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.‎ ‎（ii）若，令得，或 当时，；‎ 当时，.所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.‎ 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于 ‎，‎ 所以等价于.‎ 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.‎ 所以，即.‎ ‎21.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：‎ ‎（1）当在什么范围内时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？‎ ‎（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．‎ 解：（1）由题意知，当时，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得或，‎ ‎∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；‎ ‎（2）当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ ‎∴；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；‎ 有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；‎ 当自驾人数为时，人均通勤时间最少．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.‎ 解：（1）由，得的直角坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． ‎ 综上，所求方程为．‎