高考数学模拟试卷 2 (11)

高考数学模拟试卷 2 (11)

- 1 - 黄冈中学 2018 年高三 5 月第二次模拟考试 数学（理科）试卷(27) 试卷满分：150 分 一.选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合    2 2 3 , 1,0,1,2,3A x y x x B      ，则  RC A B  （ ） A． 0,1 B． 0,1,2 C． 1,0,1 D． 1,3 2. 若复数 2 3 2018 | 3 4 |1 3 4 iz i i i i i         … ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ） A． 1 5  B． 9 5  C． 9 5 D． 9 5 i 3. 设 5 3 7 5 3 5 7 14( ) , ( ) , log7 5 5a b c     ，则 cba ,, 的大小关系是( ) A． cab  B． bac  C． acb  D． abc  4．一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是( ) A．16 2 3 B．16 2 5 C． 20 2 3 D． 20 2 5 5. 下列命题正确的个数是（ ） 1 :p 若 ,m n 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，若 , , ,m n m n    ∥ ∥ ， 则 ∥ 2 :p 命题“ 3 2 0 0 0, 1 0x x x    R ”的否定是“ 3 2, 1 0x R x x     ” 3 :p 函数 sin( )6y x   在 2x  处取得最大值，则正数 的最小值为 6  4 :p 若随机变量  2~ ,Z N   ，则   0.6826P Z        ，  2 2 0.9544P Z        . 已 知 随 机 变 量  ~ 6,4X N ， 则 - 2 -  2 8 0.8185P X   A．1个 B． 2 个 C． 3个 D． 4 个 6. 过双曲线 2 2: 1x y   上任意点 P 作双曲线  的切线，交双曲线  两条渐近线分别交于 ,A B 两点，若 O 为坐标原点，则 AOB 的面积为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 7. 函数 2sin( ) x xf x e  在[ , ]  的图像大致为( ) 8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前 n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入 10m  ，则输 出的 S 为（ ） n=1,S=0 1 结束 是 n 为奇数? 否 输入正整数 m a=n2 2 开始 n=n+1 a=n2-1 2 S=S+a n≥m? 输出 S 是 否 图二 - 3 - A. 100 B. 250 C. 140 D. 190 9．已知 ABC 所在平面内有两点 ,P Q ，满足 0,PA PC QA QB QC BC           ，若 4, 2AB AC   ， 2 3APQS  ,则 2 AB AC BC    的值为( ) A. 4 3 B. 8 4 3 C. 12 4 3 D. 20 4 3 10. 已 知 三 棱 锥 S ABC 的 底 面 是 以 AB 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 2AB SA SB SC    ，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A. 8 6 27  B. 4 3 9  C. 4 3 27  D. 32 3 27  11.实数 x ， y 满足约束条件 3 3 1 0 x y x y y     ≤ ≥ ≥ ，它表示的平面区域为 C ，目标函数 2z x y  的最 小值为 1p .由曲线  2 3 0y x y ≥ ，直线 3x  及 x 轴围成的平面区域为 D ，向区域 D 内任投 入一个质点，该质点落入C 的概率为 2p ，则 1 22 4p p 的值为( ) A． 1 2 B． 2 3 C． 3 5 D． 4 3 12. 若函数 2 ( ) ln ln xf x ax x x x     有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1(1, )1 e e e  B. 1[1, ]1 e e e  C. 1( , 1)1 e e e   D. 1[ , 1]1 e e e   二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分. 13.若  611 1ax x      的展开式中的常数项是 11 ，则实数 a 的值为_________. 14．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b   ＞ ＞ 的左焦点 1F ，过点 1F 作倾斜角为 30 的直线与圆 2 2 2x y b  相交的弦长为 2b ，则椭圆的离心率为_________. - 4 - 15.已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS 且 8 42 6S S  ，则 9 10 11 12a a a a   的最小值为 _________. 16.在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知 6a c  ，(3 cos ) tan sin2 BA A  ， 则 ABC 的面积的最大值为 ． 三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题 17.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 2 2( ) (2 3)a b c bc    ． （1）求角 A 的大小；（2）若等差数列 na 的公差不为零，且 1sin1 Aa ，且 2a 、 4a 、 8a 成 等比数列，求 1 4 n na a        的前 n 项和 nS ． 18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中， SCD 为钝角三角形，侧面 SCD 垂 直于底面 ABCD ，CD SD ，点 M 是 SA 的中点， AD BC∥ ， 90ABC  ， 1 2AB AD BC  . （1）求证：平面 MBD  平面 SCD ； （2）若直线 SD 与底面 ABCD 所成的角为 60 ，求二面角 B MD C  余弦值． 19.（本小题满分 12 分）IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作 IC 芯片核心 部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转 换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程 （Siemens process）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出 的 50 片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的 30 片单晶的晶圆中有 28 片达标， 没有使用该工艺的 20 片单晶的晶圆中有 12 片达标． （1）用列联表判断：这次实验是否有 99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门 子制程（Siemens process）这一工艺标准有关？ （2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布 - 5 - 光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的 多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的 晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进 行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很 难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程 中，前三个环节每个环节生产正常的概率为 2 3 ，每个环节出错需要修复的费用均为 20 元，第四环节生产正常的概率为 3 4 ，此环节出错需要修复的费用为 10 元，问：一次试 验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测 过程不产生费用） 参考公式： 2 2 ( )= ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d         参考数据： 2 0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0k 2.072 2.7 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20.（本小题满分 12 分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线C 上一点  ,2Q a 到焦点的距离为 3，线段 AB 的两端点  1 1,A x y ，  2 2,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线 C 的方程； （2）在抛物线 C 上存在点  3 3,D x y ，满足 3 1 2x x x  ，若 ABD 是以角 A 为直角的等腰 直角三角形，求 ABD 面积的最小值. 21.（本小题满分 12 分）已知函数 2( ) ln , ( ) ( ).2 af x x x g x x x a a R     （1）若直线 ( 0) ( ) ( ) ,x t t y f x y g x A B   与曲线 和 分别交于 两点,且曲线 ( )y f x 在 A 处的切线与 ( )y g x 在 B 处的切线相互平行，求 a 的取值范围； （2）设 ( ) ( ) ( )h x f x g x  在其定义域内有两个不同的极值点 1 2, ,x x 且 1 2. 0,x x  已知 若 不等式 1 1 2e x x    恒成立，求  的取值范围. （二）选考题 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 - 6 - 已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为 1 5 cos ( ) 2 5 sin x y         为参数 ，直线 1 : 0l x  ， 直线 2 : 0l x y  ，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐 标系. （1）求曲线C 和直线 1 2,l l 的极坐标方程； （2）若直线 1l 与曲线C 交于 ,O A 两点，直线 2l 与曲线C 交于 ,O B 两点，求线段 AB 的长. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 0a  ， 0b  ，且 2 2 2a b  ． （1）若 2 2 1 4 | 2 1| | 1|x xa b      恒成立，求 x 的取值范围； （2）证明： 5 51 1( )( ) 4a ba b    ． - 7 - 黄冈中学 2018 年高三 5 月第二次模拟考试 数学（理科）答案(27) 试卷满分：150 分 一.选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合    2 2 3 , 1,0,1,2,3A x y x x B      ，则  RC A B  （ ） A． 0,1 B． 0,1,2 C． 1,0,1 D． 1,3 【答案】B 2.若复数 2 3 2018 | 3 4 |1 3 4 iz i i i i i         … ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ） A． 1 5  B． 9 5  C． 9 5 D． 9 5 i 【答案】B 3.设 5 3 7 5 3 5 7 14( ) , ( ) , log7 5 5a b c     ，则 cba ,, 的大小关系是( ) A． cab  B． bac  C． acb  D． abc  【答案】D 4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( ) A．16 2 3 B．16 2 5 C． 20 2 3 D． 20 2 5 【答案】B 5.下列命题正确的个数是（ ） 1 :p 若 ,m n 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，若 , , ,m n m n    ∥ ∥ ， 则 ∥ 【错误】 2 :p 命题“ 3 2 0 0 0, 1 0x x x    R ”的否定是“ 3 2, 1 0x R x x     ”【错误】 3 :p 函数 sin( )6y x   在 2x  处取得最大值，则正数 的最小值为 6  【正确】 4 :p 若 随 机 变 量  2~ ,Z N   ， 则   0.6826P Z        ，  2 2 0.9544P Z        . 已 知 随 机 变 量  ~ 6,4X N ， 则 - 8 -  2 8 0.8185P X   【正确】 A．1个 B． 2 个 C． 3个 D． 4 个 【答案】B 6. 过双曲线 2 2: 1x y   上任意点 P 作双曲线  的切线，交双曲线  两条渐近线分别交于 ,A B 两点，若 O 为坐标原点，则 AOB 的面积为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 7. 函数 2sin( ) x xf x e  在[ , ]  的图像大致为( ) 8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前 n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入 10m  ，则输 出的 S 为（ ） A. 100 B. 250 C. 140 D. 190 【答案】D - 9 - 9．已知 ABC 所在平面内有两点 ,P Q ，满足 0,PA PC QA QB QC BC           ，若 4, 2AB AC   ， 2 3APQS  ,则 2 AB AC BC    的值为( ) A. 4 3 B. 8 4 3 C. 12 4 3 D. 20 4 3 【答案】D 【解析】因为 0PA PC    ，所以 P 为 AC 中点，又因为QA QB QC BC      即 QA QB BC QC BQ        ，所以 2QA BQ  ，所以Q 为线段 AB 的靠近 B 的三等分点．所以 1 3APQ ABCS S  ，所以 1 sin 22ABCS AB AC A    ，所以 1sin 2A  ， 3cos 2A  或 3 2  ．故 cos 4 3AB AC AB AC A        . 10. 已 知 三 棱 锥 S ABC 的 底 面 是 以 AB 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 2AB SA SB SC    ，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A. 8 6 27  B. 4 3 9  C. 4 3 27  D. 32 3 27  【答案】D 11．实数 x ， y 满足约束条件 3 3 1 0 x y x y y     ≤ ≥ ≥ ，它表示的平面区域为C ，目标函数 2z x y  的 最小值为 1p .由曲线  2 3 0y x y ≥ ，直线 3x  及 x 轴围成的平面区域为 D ，向区域 D 内任 投入一个质点，该质点落入 C 的概率为 2p ，则 1 22 4p p 的值为( ) A． 1 2 B． 3 5 C． 2 3 D． 4 3 【答案】C 【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点 3 1,2 2A     处取得最小值，且最小值为 1 2z  ，即 1 1 2p  ．区域 C 的面积为 1 1 122 2 2    ，平面区域 D 的面积为 33 32 0 0 2 33 d 63x x x       ， - 10 - 故 2 1 12 6 12p   ，所以 1 2 1 22 4 1 3 3p p    ． 12. 若函数 2 ( ) ln ln xf x ax x x x     有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1(1, )1 e e e  B. 1[1, ]1 e e e  C. 1( , 1)1 e e e   D. 1[ , 1]1 e e e   【 解 析 】 由 题 意 可 得 ln , (0, )ln x xa xx x x     有 3 个 不 同 解 ， 令 ln( ) ,ln x xg x x x x   2 2 2 2 1 ln 1 ln ln (1 ln )(2 ln )(0, ), '( ) ,( ln ) ( ln ) x x x x x xx g x x x x x x x          则 当 (0, )x  时 ， 令 2 lny x x  ， 则 1 2 1 1' 2 , (0, ), ' 0,2 xy x y yx x     当 递 减 ； 当 1( , ), ' 0,2x y y   递 增 ， 则 min 11 ln 1 ln 2 0, (0, )2y x      则当 时 ， 恒 有 2 ln 0. '( ) 0,x x g x  令 得 1x  或 , (0,1) , '( ) 0, ( )x e x g x g x  且 时 递 减 ； (1, ) , '( ) 0, ( )x e g x g x 时 递增； ( , )x e  时， '( ) 0, ( )g x g x 递减，则 ( )g x 的极小值为 (1) 1, ( )g g x 的 极 大 值 为 1( ) ,1 eg e e e   结 合 函 数 图 象 可 得 实 数 a 的 取 值 范 围 是 1(1, )1 e e e  .[答案]A 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分. 13. 若  611 1ax x      的展开式中的常数项是 11 ，则实数 a 的值为_________. 【答案】 2 14．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b   ＞ ＞ 的左焦点 1F ，过点 1F 作倾斜角为 30 的直线与圆 2 2 2x y b  相交的弦长为 2b ，则椭圆的离心率为_________. 【答案】 6 3 15.已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS 且 8 42 6S S  ，则 9 10 11 12a a a a   的最小值为 _________. 【解析】由题意可得： 9 10 11 12 12 8a a a a S S     ,由 8 42 6S S  可得 8 4 4 6S S S   ,由 - 11 - 等比数列的性质可得： 4 8 4 12 8, ,S S S S S  成等比数列,则    2 4 12 8 8 4S S S S S   ,综上可 得： 2 4 9 10 11 12 12 8 4 4 4 ( 6) 36 12 24Sa a a a S S SS S           当且仅当 4 6S  时等号成立.综上可得,则 9 10 11 12a a a a   的最小值为 24. 16.在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知 6a c  ，(3 cos ) tan sin2 BA A  ， 则 ABC 的面积的最大值为 ． 【答案】 2 2  (3 cos ) tan sin2 BA A  ， sin(3 cos ) sin1 cos BA AB   ，整理得 3sin sin sinB A C  ，则3b a c  又 6a c  ， 2b  .又 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 则 24 ( ) 2 2 cos 36 2 (1 cos )a c ac ac B ac B       , 16cos 1B ac    21 1 16cos 1 ( 1) 8 642 2ABCS ac B ac acac       ， 6a c  ， 9ac   72 64 2 2ABCS    ，当且仅当 3a c  时取等号. 三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题 17. 在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 2 2( ) (2 3)a b c bc    ． （1）求角 A 的大小；（2）若等差数列 na 的公差不为零，且 1sin1 Aa ，且 2a 、 4a 、 8a 成 等比数列，求 1 4 n na a        的前 n 项和 nS ． 【 解 析 】 （ 1 ） 由 2 2( ) (2 3)a b c bc    ， 2 2 2 3a b c bc    ， 所 以 2 2 2 3cos 2 2 b c aA bc    6A   （2）设 na 的公差为 d ，由得 21 a ，且 2 4 2 8a a a ， ∴ 2 1 1 1( 3 ) ( )( 7 )a d a d a d    ．又 0d  ，∴ 2d  ，∴ 2na n ． - 12 - ∴ 1 4 1 1 1 ( 1) 1n na a n n n n     ， ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 12 2 3 3 4 1 1 1n nS n n n n               … 18. 如图，在四棱锥 S ABCD 中， SCD 为钝角三角形，侧面 SCD 垂直于底面 ABCD ， CD SD ，点 M 是 SA的中点， AD BC∥ ， 90ABC  ， 1 2AB AD BC  . （1）求证：平面 MBD  平面 SCD ； （2）若直线 SD 与底面 ABCD 所成的角为 60 ，求二面角 B MD C  余弦值． 【解析】（1）证明：取 BC 中点 E ，连接 DE ，设 AB AD a  ， 2BC a ， 依题意得，四边形 ABED 为正方形，且有 BE DE CE a   ， 2BD CD a  ， 所以 2 2 2BD CD BC  ，所以 BD CD ， 又平面 SCD  底面 ABCD ，平面 SCD I 底面 ABCD CD ， BD  底面 ABCD ， 所以 BD  平面 SCD . 又 BD  平面 MBD ，所以平面 MBD  平面 SCD （2）过点 S 作 CD 的垂线，交 CD 延长线于点 H ，连接 AH ， 因为平面 SCD  底面 ABCD ，平面 SCD I 底面 ABCD CD ， SH CD SH  平面 SCD ，所以 SH  底面 ABCD ，故 DH 为斜线 SD 在底面 ABCD 内的射影， SDH 为斜线 SD 与底面 ABCD 所成的角，即 60SDH   由（1）得， 2SD a ，所以在 Rt SHD 中， 2SD a ， 2 2DH a ， 6 2SH a ， 在 ADH 中， 45ADH   ， AD a ， 2 2DH a ，由余弦定理得 2 2AH a ， 所以 2 2 2AH DH AD  ，从而 90AHD   ， - 13 - 过点 D 作 DF SH∥ ，所以 DF  底面 ABCD ， 所以 , ,DB DC DF 两两垂直，如图，以点 D 为坐标原点， DB uuur为 x 轴正方向， DC uuur 为 y 轴正 方向， DF uuur为 z 轴正方向建立空间直角坐标系，则  2 ,0,0B a ，  0, 2 ,0C a ， 2 60, ,2 2S a a      ， 2 2, ,02 2A a a      ， 2 2 6, ,4 2 4M a a a      ， 设平面 MBD 的法向量  , ,n x y z r 0 0 n DB n DM      r uuur r uuuur 得 2 0 2 2 6 04 2 4 x x y z      取 1z  得 30, ,12n       r ， 设平面 MCD 的法向量  , ,m x y z   ur 0 0 m DC m DM      ur uuur ur uuuur 得 2 0 2 2 6 04 2 4 y x y z         ，取 1z  得，  3,0,1m   ur ， 所以 1 7cos , 77 24 n mn m n m      r urr ur r ur 故所求的二面角 B MD C  的余弦值为 7 7 . 19. IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作 IC 芯片核心部分首先需要制造单 晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达 到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process）这一 - 14 - 工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的 50 片单晶的晶圆进行研 究，结果发现使用了该工艺的 30 片单晶的晶圆中有 28 片达标，没有使用该工艺的 20 片 单晶的晶圆中有 12 片达标． （1）用列联表判断：这次实验是否有 99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门 子制程（Siemens process）这一工艺标准有关？ （2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布 光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的 多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的 晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进 行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很 难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程 中，前三个环节每个环节生产正常的概率为 2 3 ，每个环节出错需要修复的费用均为 20 元，第四环节生产正常的概率为 3 4 ，此环节出错需要修复的费用为 10 元，问：一次试 验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测 过程不产生费用） 参考公式： 2 2 ( )= ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d         参考数据： 2 0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0k 2.072 2.7 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）由题意列列表为： 使用工艺 不使用工艺 合计 合格 28 12 40 不合格 2 8 10 合计 30 20 50 故 2 2 50(28 8 2 12) 25 7.87930 20 40 10 3K        故有 99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门 子制程这一工艺技术有关 - 15 - （2）设 iA 表示检测到第 i 个环节有问题， ( 1,2,3,4)i  ，X 表示成为一个合格的多晶圆需消耗 的费用，则 X 的可能取值为： 0,10,20,30,40,50,60,70 0X  ，表明四个环节均正常 3 1 2 3 4 2 3 24( 0) ( ) ( )3 4 108P X P A A A A    10X  表明第四环节有问题 3 1 2 3 4 2 1 8( 10) ( ) ( )3 4 108P X P A A A A    20X  表明前三环节有一环节有问题 1 2 3 1 2 3 36( 20) ( ) ( )3 3 4 108P X C    30X  表明前三环节有一环节及第四环节有问题 1 2 3 1 2 1 12( 30) ( ) ( )3 3 4 108P X C    40X  ，表明前三环节有两环节有问题 2 2 3 1 2 3 18( 40) ( ) ( )3 3 4 108P X C    50X  表明前三环节有两环节及第四环节有问题 2 2 3 1 2 1 6( 50) ( ) ( )3 3 4 108P X C    60X  表明前三环节有问题 3 1 2 3 4 1 3 3( 60) ( ) ( )3 4 108P X P A A A A    70X  四环节均有问题 3 1 2 3 4 1 1 1( 70) ( ) ( )3 4 108P X P A A A A    费用 X 分布列为： X 0 10 20 30 40 50 60 70 P 24 108 8 108 36 108 12 108 18 108 6 108 3 108 1 108 故： 0 24 10 8 20 36 30 12 40 18 50 6 60 3 70 1 1215 45 108 54 2EX                  （元） 故大约需要耗费 45 2 元 20. 已知抛物线C 顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线 C 上一点  ,2Q a 到焦点的距离为 3， 线段 AB 的两端点  1 1,A x y ，  2 2,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线 C 的方程； （2）在抛物线 C 上存在点  3 3,D x y ，满足 3 1 2x x x  ，若 ABD 是以角 A 为直角的等腰 直角三角形，求 ABD 面积的最小值. 【答案】（1） 2 4x y ；（2）最小值为 16. 【解析】（1）设抛物线的方程为 2 2x py ，抛物线的焦点为 F ，则 3 2 2 pQF    ，所以 1p  ，则抛物线C 的方程为 2 4x y . - 16 - （2）如图所示， 设 2 1 1, 4 xA x      ， 2 2 2 , 4 xB x      ， 2 3 3( , )4 xD x ，根据抛物线关于 y 轴对称，取 1 0x  ，记 1ABk k ， 2ADk k ， 则有 2 1 1 4 x xk  ， 3 1 2 4 x xk  ，所以 2 1 14x k x  ， 3 2 14x k x  ， 1 2 1k k   ， 又因为 ABD 是以 A 为顶点的等腰直角三角形，所以 AB AD ， 即 2 2 1 2 1 2 3 11 1k x x k x x       ，将 2 3,x x 代入得： 2 2 1 1 1 2 2 11 4 2 1 4 2k k x k k x     化简求出 1x ，得： 3 1 1 2 1 1 4 4 2 2 kx k k   ， 则   22 2 2 1 1 2 1 1 4 41 1| | 12 2ABD kS AB k k k          ，可以先求 AB 的最小值即可， 2 2 1 1 2 1 1 4 41 kAB k k k     ，令  3 2 22 2 2 2 111 tty t t t t t      ， 则          1 3 2 2 22 2 22 3 1 2 2 1 12 t t t t t t y t t                       1 1 2 3 3 2 2 3 22 2 2 22 2 1 3 3 2 2 1 1 1t t t t t t t t t t t t t t                      1 2 22 22 1 1 1t t t t t      所以可以得出当 1t  即 1 1k  时， AB 最小值为 4 2 ，此时 1 0x  ，即当  0,0A ，  4,4B ，  4,4D  时， ABD 为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为 16. 21. 已知函数 2( ) ln , ( ) ( ).2 af x x x g x x x a a R     - 17 - （1）若直线 ( 0) ( ) ( ) ,x t t y f x y g x A B   与曲线 和 分别交于 两点,且曲线 ( )y f x 在 A 处的切线与 ( )y g x 在 B 处的切线相互平行，求 a 的取值范围； （2）设 ( ) ( ) ( )h x f x g x  在其定义域内有两个不同的极值点 1 2, ,x x 且 1 2. 0,x x  已知 若不等式 1 1 2e x x    恒成立，求  的取值范围. 【解析】（1）依题意，函数 ( )f x 的定义域为（0， ）， '( ) ln 1, '( ) 1.f x x g x ax    因 为 曲 线 ( )y f x 在 A 处 的 切 线 与 ( )y g x 在 B 处 的 切 线 相 互 平 行 ， 所 以 '( ) '( ) (0, )f t g t 在 有解，即方程 ln 0 (0, )t at  在 有解.……………………2 分 方程 ln 0 (0, )t at  在 有解转化为函数 lny x y ax 与函数 的图像在 (0, ) 上有交 点， 如 图 ， 令 过 原 点 且 与 函 数 lny x 的 图 像 相 切 的 直 线 的 斜 率 为 k ， 只 须 .a k 令切点为 0 0 0 0 0 0 ln1( ,ln ), '| ,x x xA x x k y kx x  则 又 ，所以 0 0 0 ln1 ,x x x  解得 0 1,x e k e  于是 ，所以 1.a e  ………………………………………5 分 （2） 2( ) ( ) ( ) ln ( 0), '( ) ln .2 ah x f x g x x x x x a x h x x ax        所以 因为 1 2, ( )x x h x为 在其定义域内有两个不同的极值点，所以 1 2, ln 0x x x ax 是方程 的两个 根，即 1 2 1 1 2 2 1 2 ln lnln ,ln , .x xx ax x ax a x x     作差得 ……………………………6 分 因为 1 20, 0, ,x x    所以 1 1 2 1 21 ln ln 1e x x x x              1 2 1 2 1 2 1( )ax ax a x x a x x          - 18 -  1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ln ln (1 )( )1 lnx x x x x x x x x x x x            1 1 2 12 2 (1 )( 1) ln . x x x xx x       ……8 分 令 1 2 xt x  ，则 (1, )t   ，由题意知，不等式 (1 )( 1)ln (1, )tt tt       在 上恒成立. 令 2 2 2 2 (1 )( 1) 1 (1 ) ( 1)( )( ) ln , '( ) .( ) ( ) t t tt t tt t t t t                  则 （ ⅰ ） 若 2 1, (1, ), '( ) 0,t t    对一切 所 以 ( ) (1, )t 在 上 单 调 递 增 ， 又 (1) 0,  所以 ( ) 0t  (1, )在 上恒成立，符合题意.……………………………10 分 （ⅱ）若 2 21, (1, )t  当 时， 2'( ) 0; ( , ) ,t t   当 时 2'( ) 0, ( ) (1, )t t   所以 在 上 单调递减，在 2( , )  上单调递增，又 (1) 0, ( ) )t  所以 在(1,+ 上不能恒小于 0，不符 合题意，舍去. 综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式 1 1 2e x x    恒成立，只须 2 1. 0, 1    又 所以0< .……… 12 分 （二）选考题 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为 1 5 cos ( ) 2 5 sin x y         为参数 ，直线 1 : 0l x  ， 直线 2 : 0l x y  ，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐 标系. （1）求曲线C 和直线 1 2,l l 的极坐标方程； （2）若直线 1l 与曲线C 交于 ,O A 两点，直线 2l 与曲线C 交于 ,O B 两点，求线段 AB 的长. - 19 - 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知 0a  ， 0b  ，且 2 2 2a b  ． （1）若 2 2 1 4 | 2 1| | 1|x xa b      恒成立，求 x 的取值范围； （2）证明： 5 51 1( )( ) 4a ba b    ． 【解析】（1）设 , 1, 1| 2 1| | 1| 3 2, 1,2 1, .2 x x y x x x x x x               由 2 2 2a b  ，得 2 21 ( ) 12 a b  ， 故 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 1 4 1 4( )( ) (1 4 )2 2 b aa ba b a b a b         2 2 2 2 1 4 9(1 4 2 )2 2 b a a b      ， 所以 9 | 2 1| | 1|2 x x    ． 当 1x  时， 9 2x  ，得 91 2x  ； 当 1 12 x  时， 93 2 2x   ，解得 13 6x  ，故 1 12 x  ； 当 1 2x  时， 9 2x  ，解得 9 2x   ，故 9 1 2 2x   ． 综上， 9 9 2 2x   ． （2） 5 5 5 5 4 41 1( )( ) b aa b a ba b a b       5 5 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) =4b aa b a b a ba b       