专题3-1+导数的概念及其运算（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题3-1+导数的概念及其运算（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第三章 导数 第01节 导数的概念及其运算 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 ‎1.导数概念及其几何意义 ‎①了解导数概念的实际背景。‎ ‎②理解导数的几何意义。‎ ‎2013·新课标I.21;新课标II.21;‎ ‎2014•新课标I. 21;新课标II. 8; ‎ ‎2015•新课标I. 21;‎ ‎2016•新课标II.16;新课标III.15; ‎ ‎1.求切线方程或确定切点坐标问题为主； ‎ ‎2.单独考查导数运算的题目少；‎ ‎3.单独考查导数概念的题目极少.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则；‎ ‎(2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.‎ ‎2.导数的运算 ① 根据导数定义，求函数的导数。‎ ‎②能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。‎ ‎2013·新课标I.16，21;新课标II.10，21;‎ ‎2014•新课标I.11， 21;新课标II. 8,21; ‎ ‎2015•新课标I. II.12,21;‎ ‎2016•新课标I. 7，21;II.16,21;III.15,21;‎ ‎2017•新课标I.21；II. III.11,21.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 ‎1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝nxn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ ‎2．导数的运算法则 ‎（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎（3）(g(x)≠0)．‎ ‎ (4) 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ 对点练习：‎ ‎【2017广东佛山二模】若直线与曲线相切，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为，斜率 ‎，切线方程为，将原点坐标代入化简得，故.‎ ‎2．函数在处的导数几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ 对点练习：‎ ‎【2016四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )‎ ‎（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，，，．故选A．‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 本节中导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有：‎ ‎(1)求切线方程问题．‎ ‎(2)确定切点坐标问题．‎ ‎(3)已知切线问题求参数．‎ ‎(4)切线的综合应用．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 导数的运算 ‎【1-1】求下列函数的导数.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；‎ ‎（5）‎ ‎ (2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：‎ ‎(3)根据求导法则进行求导可得：‎ ‎.‎ ‎(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：‎ ‎(5)设μ=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x复合而成，所以y′=f′μ·μ′x=(μ5)′·(3-2x)′=5μ4·(-2)=-10μ4=‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.求函数导数的一般原则如下：‎ ‎(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；‎ ‎(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；‎ ‎(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.‎ ‎2.复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.‎ ‎①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；‎ ‎②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；‎ ‎③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；‎ ‎④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，所以，解得，故选C．‎ ‎【变式二】已知函数为的导函数，则 （ ）‎ A．0 B．2014 C．2015 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，所以，‎ 则为奇函数，且为偶函数，所以 ‎；故选D．‎ 考点2 导数的几何意义 ‎【2-1】曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C．和 D．‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C．‎ ‎【2-2】【2017山西孝义二模】曲线过点处的切线方程是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【2-3】已知曲线，‎ ‎（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；‎ ‎（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程； ‎ ‎（3）求斜率为4的曲线的切线方程..‎ ‎【答案】（1）(2) (3) .‎ ‎【解析】（1）上，且 ‎∴在点P(2,4)处的切线的斜率k==4;‎ ‎∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即 ‎（2）设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率，∴切线方程为（）=（-），即 ‎∵点P(2,4)在切线上，∴4=2，即，∴，‎ ‎∴（x0+1）(x0-2)2=0‎ 解得x0=-1或x0=2‎ 故所求的切线方程为.‎ ‎（3）设切点为（x0,y0）‎ 则切线的斜率为k=x02=4, x0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）‎ ‎∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)‎ 即.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为.‎ ‎2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程，可按如下方式求得：‎ 第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；‎ 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；如果曲线在点处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知，有点必在切线上，代入切线方程，可得，所以有．‎ ‎【变式二】已知函数，则函数点P（1，）的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为切线斜率所以切线方程为，与两坐标轴的交点为因此围成的三角形的面积为 ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例1：已知曲线．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）求曲线过点的切线方程．‎ 易错分析：易于因为审题不严或理解有误，将两道小题混淆，特别是第（2）小题独立出现时．‎ 正确解析：（1）∵ ，‎ ‎∴曲线在处的斜率． ‎ ‎∵时，，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为，‎ 即． ‎ ‎(2) 设过点的切线与曲线相切于点，‎ 则切线的斜率为， ‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ 解得，或，‎ ‎∴所求的切线为，或．‎ 温馨提醒：(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P的切线方程”与“该曲线在点P处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P处的切线方程”问题的考查较为普遍.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ ‎————近似与精确、有限与无限——无限逼近的极限思想 ‎1.由可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.‎ ‎2.曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”“割线→切线”.‎ ‎(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．‎ ‎【典例】己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎