2020年高中数学第二章推理与证明2

2020年高中数学第二章推理与证明2

‎2.2.1‎‎ 第2课时 分析法 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a索的因应是(　　)‎ A．a－b＞0　 　　　　 B．a－c＞0‎ C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0‎ 解析：要证＜a，‎ 只需证b2－ac＜‎3a2，‎ 只需证b2－a(－b－a)＜‎3a2，‎ 只需证‎2a2－ab－b2＞0，‎ 只需证(‎2a＋b)(a－b)＞0，‎ 只需证(a－c)(a－b)＞0.‎ 故索的因应为C.‎ 答案：C ‎2．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：‎ ‎∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.‎ ‎∵x>0，∴ex>1,0<<1，‎ ‎∴ex－>0，即f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是 解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.‎ 答案：A ‎3．要使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是(　　)‎ A．|a|≥1且|b|≥1 B．|a|≥1且|b|≤1‎ C．(|a|－1)(|b|－1)≥0 D．(|a|－1)(|b|－1)≤0‎ 解析：a2＋b2－a2b2－1≤0⇔a2(1－b2)＋(b2－1)≤0⇔(b2－1)(1－a2)≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0⇔(|a|－1)(|b|－1)≥0.‎ 答案：C ‎4.＋与＋的大小关系是(　　)‎ 5‎ A.＋≥ ＋ B.＋≤ ＋ C.＋＞＋ D.＋＜＋ 解析：要想确定＋与＋的大小，‎ 只需确定(＋)2与(＋)2的大小，‎ 只需确定8＋2与8＋2的大小，‎ 即确定与的大小，显然＜.‎ ‎∴＋＜＋.‎ 答案：D ‎5．若x，y∈R＋，且＋≤a 恒成立，则a的最小值是(　　)‎ A．2 B. C．2 D．1‎ 解析：原不等式可化为 a≥＝＝ 要使不等式恒成立，只需a不小于的最大值即可．‎ ‎∵≤，当x＝y时取等号，∴a≥，‎ ‎∴a的最小值为.故选B.‎ 答案：B ‎6．设n∈N，则－________ －(填＞、＜、＝)．‎ 解析：要比较－与－的大小．‎ 即判断(－)－(－)‎ ‎＝(＋)－(＋)的符号，‎ ‎∵(＋)2－(＋)2‎ ‎＝2[－ ]‎ ‎＝2(－)＜0.‎ ‎∴－＜－.‎ 答案：＜‎ ‎7.如图所示，四棱柱ABCDA1B‎1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A‎1C(写上一个条件即可)．‎ 解析：要证BD⊥A‎1C，只需证BD⊥平面AA‎1C.‎ 5‎ 因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，‎ 即可证明BD⊥平面AA‎1C，从而有BD⊥A‎1C.‎ 答案：AC⊥BD(答案不唯一)‎ ‎8．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|＝________.‎ 解析：不妨设是x2－mx＋2＝0的一根，另一根为a，则m＝a＋，a＝2.‎ 设x2－nx＋2＝0的两根为b，c, 则n＝b＋c，bc＝2.‎ 由，b，c，a成等比数列及a＝4可得b＝1，c＝2，从而m＝，n＝3，|m－n|＝.‎ 答案： ‎9．已知0＜a≤1,0＜b≤1,0＜c≤1，求证：≥1.‎ 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴要证≥1，‎ 只需证1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc，‎ 即证1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0.‎ ‎∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)‎ ‎＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a)‎ ‎＝(1－a)(1－b－c＋bc)‎ ‎＝(1－a)(1－b)(1－c)，‎ 又a≤1，b≤1，c≤1，‎ ‎∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0.‎ ‎∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0成立，‎ 即证明了≥1.‎ ‎10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．‎ 证明：设圆和正方形的周长为l，依题意，圆的面积为π()2，正方形的面积为()2，‎ 因此本题只需证明π()2＞()2.‎ 为了证明上式成立，只需证明＞，两边同乘以正数，得＞，因此，只需证明4＞π.‎ 5‎ 上式显然成立，故π()2＞()2.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知a，b为正实数，函数f(x)＝()x，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A，B，C的大小关系为(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：因为函数f(x)＝()x为减函数，所以要比较A，B，C的大小，只需比较，，的大小，因为≥，两边同乘得：·≥ab，即≥，故≥≥，∴A≤B≤C.‎ 答案：A ‎2．设甲：函数f(x)＝|x2＋mx＋n|有四个单调区间，乙：函数g(x)＝lg(x2＋mx＋n)的值域为R，那么甲是乙的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．以上均不对 解析：对甲，要使f(x)＝|x2＋mx＋n|有四个单调区间，只需要Δ＝m2－4n>0即可；对乙，要使g(x)＝‎ lg(x2＋mx＋n)的值域为R，只需要u＝x2＋mx＋n的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m2－4n≥0，‎ 所以甲是乙的充分不必要条件．‎ 答案：A ‎3．要证－<成立，则a，b应满足的条件是________．‎ 解析：要证－<，只需证(－)3<()3，‎ 即a－b－3＋30，即(－)>0.‎ 故所需条件为或 即ab>0且a>b或ab<0且a0且a>b或ab<0且a

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