成都市高三二轮复习文科数学（四） 复数、算法、推理与证明

成都市高三二轮复习文科数学（四） 复数、算法、推理与证明

第 9 页 共 9 页 成都市高三二轮复习文科数学（四） 复数、算法、推理与证明 经典例题：‎ ‎1.设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A.第一象限　　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选D　∵(1－i)x＝1＋yi⇒x－xi＝1＋yi⇒(x－1)－(x＋y)i＝0⇒⇒∴x＋yi＝1－i，其在复平面内所对应的点为(1，－1)，在第四象限，故选D.‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)‎ A.－1－i B.－1＋I C.1－i D.1＋i 解析：选D　由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.‎ ‎3.(2019·郑州市第一次质量预测)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为(　　)‎ A.1 B.－‎1 ‎‎ C. D.－ 解析：∵＝＝＋i，∴由题意得＝，解得a＝，故选C.‎ ‎4.(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)‎ A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝‎1 ‎‎ C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1‎ 解析：选C　由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.‎ ‎1.(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎‎ C.3 D.4‎ 解析：选B　k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判断k<3，k＝2；‎ 第二次循环：s＝2，判断k<3，k＝3；‎ 第三次循环：s＝2，判断k＝3，‎ 故输出2.故选B.‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅰ)右图是求的程序框图，图中空白框中应填入(　　)‎ 第 9 页 共 9 页 A.A＝ B.A＝2＋ C.A＝ D.A＝1＋ 解析：选A　A＝，k＝1≤2成立，执行循环；A＝，k＝2，2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3，3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A.‎ ‎3.(2019·南昌市第一次模拟测试)如图所示程序框图，当输入的x为1时，输出的结果为(　　)‎ A.3 B‎.4 ‎‎ C.5 D.6‎ 解析：选C　执行程序框图，i＝0，输入的x为1时，y＝1＋1＝2，i＝1，y＝2＜20，则x＝2；y＝4，i＝2，y＝4＜20，则x＝4；y＝8，i＝3，y＝8＜20，则x＝8；y＝16，i＝4，y＝16＜20，则x＝16；y＝32，i＝5，y＝32＞20，退出循环体.故输出的结果为5，选C.‎ ‎4.(2019·洛阳尖子生第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n的值是(　　)‎ A.5 B‎.6 ‎‎ C.7 D.8‎ 解析：选C　由题意，可得A＝1，B＝1，k＝3，满足条件k≤n；C＝2，A＝1，B＝2，k＝4，满足条件k≤n；C＝3，A＝2，B＝3，k＝5，满足条件k≤n；C＝5，A＝3，B＝5，k＝6，满足条件k≤n；C＝8，A＝5，B＝8，k＝7，满足条件k≤n；C＝13，A＝8，B＝13，k＝8，此时应该不满足条件k≤n，退出循环，输出的C的值为13.可得8>n≥7，所以输入的正整数n的值是7.故选C.‎ ‎1.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.‎ 甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高.‎ 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)‎ A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 解析：选A　依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾.综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A.‎ ‎2.二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝(　　)‎ 第 9 页 共 9 页 A.2πr4 B.3πr‎4 ‎‎ C.4πr4 D.6πr4‎ 解析：选A　二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，′＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，∵(2πr4)′＝8πr3，∴“超球”的四维测度W＝2πr4，故选A.‎ ‎3.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　设1＋＝x，则1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x1＝，x2＝(舍).故1＋＝.故选C.‎ ‎[题后悟通]‎ ‎1、复数代数形式运算的方法 ‎(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可.‎ ‎(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分母中含有根号的分数时常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”.‎ ‎2、程序框图2类常考问题的解题技巧 ‎(1)求解程序框图的运行结果问题 第 9 页 共 9 页 先要找出控制循环的变量及其初值、终值，然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律.要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件.‎ ‎(2)对于程序框图的填充问题 最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可.‎ ‎ ‎ ‎3.破解归纳推理题的思维3步骤 ‎(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；‎ ‎(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；‎ ‎(3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧.‎ ‎4.破解类比推理题的3个关键 ‎(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；‎ ‎(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；‎ ‎(3)会检验，即检验猜想的正确性.要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.‎ 课后限时练习：‎ 一、选择题 ‎1.(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(　　)‎ A.2　　　　　　　　　 B. C. D.1‎ ‎2.已知复数z＝，则复数z的虚部为(　　)‎ A.－ B.－i C.i D.－ 第 9 页 共 9 页 ‎3.给出下面四个类比结论：‎ ‎①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.‎ ‎②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.‎ ‎③实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有z＋z＝0，则z1＝z2＝0.‎ ‎④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.‎ 其中类比结论正确的个数是(　　)‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ ‎4.(2019·开封市定位考试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x为(　　)‎ A.－1 B.0‎ C.－1或1 D.－1或0‎ ‎5.(2019·蓉城名校第一次联考)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＝3＋2i2＋i5，则的值为(　　)‎ A. B. C.1 D. ‎6.(2019·重庆市学业质量调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是(　　)‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎7.(2019·武昌区调研考试)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s＝(　　)‎ A.26 B.102‎ C.410 D.512‎ 第 9 页 共 9 页 ‎ ‎ ‎8.(2019·长沙市统一模拟考试)在复平面内，复数对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－1) B.(－∞，0)‎ C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)‎ ‎9.(2019·山东泰安一轮复习质量检测)下图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是(　　)‎ A.9≤a＜10 B.9＜a≤10‎ C.10＜a≤11 D.8＜a≤9‎ ‎10.(2019·河北省九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，4，输出的M＝，那么判断框中应填入的条件为(　　)‎ A.n＜k? B.n≥k?‎ C.n＜k＋1? D.n≥k＋1?‎ ‎11.(2019·唐山市摸底考试)已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是(　　)‎ A.求1＋＋＋＋…＋的值 B.求1＋＋＋＋…＋的值 C.求1－＋－＋…－的值 D.求1－＋－＋…＋的值 ‎12.埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如＝＋.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的，不够，‎ 第 9 页 共 9 页 若每人分得一个面包的，还余，再将这分成5份，每人分得，这样每人分得＋.形如(n＝5，7，9，11，…)的分数的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此规律，＝(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 二、填空题 ‎13.已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.‎ ‎14.已知复数z＝x＋4i(x∈R)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z|＝5，则的共轭复数为________.‎ ‎15.在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________.‎ ‎16.使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第2 020位之前(不含第2 020位)，共有______个“○”.‎ ‎1解析：选C　法一：∵ z＝＝＝，∴ |z|＝ ＝.故选C.‎ 第 9 页 共 9 页 法二：|z|＝＝＝＝.‎ ‎2解析：选D　因为z＝＝＝－＝－＝－i，所以虚部为－，故D.‎ ‎3解析：选C　对于①，显然是正确的；对于②，若向量a，b互相垂直，则a·b＝0，所以②错误；对于③，取z1＝1，z2＝i，则z＋z＝0，所以③错误；对于④，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的.综上，类比结论正确的个数是2.‎ ‎4解析：选D　由得x＝－1；由得x＝0.故选D.‎ ‎5解析：选A　因为z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi⇒x＝1，y＝1，所以＝.故选A.‎ ‎6解：选D　假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学.从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故D.‎ ‎7解析：选B　s＝0，n＝1，第一次运行，s＝21－0＝2，n＝1＋2＝3；‎ 第二次运行，s＝23－2＝6，n＝3＋2＝5；第三次运行，s＝25－6＝26，n＝5＋2＝7；‎ 第四次运行，s＝27－26＝102，n＝7＋2＝9＞8，终止循环.输出s＝102，故选B.‎ ‎8解析：选D　因为复数＝＝＋i对应的点位于第一象限，所以解得m＞1，故选D.‎ ‎9解析：选B　输入n＝13，S＝0，第一次循环S＝13，n＝12；第二次循环S＝25，n＝11；‎ 第三次循环S＝36，n＝10；第四次循环S＝46，n＝9，输出S＝46，此时应满足退出循环的条件，‎ 故a的取值范围是9＜a≤10，故选B.‎ ‎10解析：选A　由于输入的a＝1，b＝2，k＝4，所以当n＝1时，M＝1＋＝，此时a＝2，b＝；当n＝2时，M＝2＋＝，此时a＝，b＝；当n＝3时，M＝＋＝，与输出的M值一致，故循环需终止.此时n＝4，而输入的k＝4，故结合选项知，判断框中应填入n＜k？.故选A.‎ ‎11解析：选C　执行程序框图，S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－，a＝1，n＝5；S＝1－＋，a＝－1，n＝7；…；S＝1－＋－＋…－，a＝1，n＝21＞19满足条件，退出循环，输出S.故该程序框图的功能是求S＝1－＋－＋…－的值，故选C.‎ ‎12解析：选A　根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，‎ 第 9 页 共 9 页 第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即＝＋＝＋.‎ ‎13解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，‎ ‎∴∴或∴a2＋b2＝5，ab＝2.答案：5　2‎ ‎14解析：由题意知x＜0，且x2＋42＝52，解得x＝－3，∴＝＝＝＋i，‎ 故其共轭复数为－i.答案：－i ‎15解析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝.理由如下：‎ 设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，‎ 所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR，所以内切球的半径R＝.答案： ‎16解析：记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k组共有2k个图形，故前k组共有k(k＋1)个图形，因为44×45＝1 980<2 019<45×46＝2 070，所以在这2 019个图形中有45个“□”，1 974个“○”.答案：1 974‎